Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Séries numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une série numérique est définie par la donnée d'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ . On étudie la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ . La série $\sum u_n$ converge si $(S_n)$ admet une limite finie.

Séries de référence :
- Géométrique : $\sum q^n$ converge ssi $|q| < 1$ .
- Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$ .
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ . (La réciproque est fausse).

Méthodes à maîtriser

Utiliser les sommes télescopiques : Écrire $u_n = v_{n+1} - v_n$ pour calculer $S_n$ .
Critères pour séries à termes positifs :
- Comparaison : $0 \le u_n \le v_n$ et $\sum v_n$ converge $\implies \sum u_n$ converge.
- Équivalence : Si $u_n \sim v_n$ ( $u_n, v_n > 0$ ), alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
- Règle de d'Alembert : Si $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$ , alors $\ell < 1 \implies$ CV, $\ell > 1 \implies$ DV.
Séries alternées : Vérifier que $|u_n|$ décroît vers 0.

Exemples corrigés

Série harmonique : $\sum \frac{1}{n}$ diverge (Riemann avec $\alpha=1$ ).
Série exponentielle : $\sum \frac{x^n}{n!}$ converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ (d'Alembert).

Erreurs fréquentes

Oublier que la condition $\lim u_n = 0$ n'est pas suffisante pour la convergence.
Appliquer d'Alembert quand la limite est 1 (cas douteux).
Confondre la nature de la série avec la limite de la suite $(u_n)$ .

L'essentiel du cours

Une série numérique est définie par la donnée d'une suite $(u_n){n \in \mathbb{N}}$. On étudie la suite des sommes partielles $S_n = \sum{k=0}^n u_k$. La série $\sum u_n$ converge si $(S_n)$ admet une limite finie.

Séries de référence :
- Géométrique : $\sum q^n$ converge ssi $|q| < 1$.
- Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$.
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. (La réciproque est fausse).

Méthodes à maîtriser

Utiliser les sommes télescopiques : Écrire $u_n = v_{n+1} - v_n$ pour calculer $S_n$.
Critères pour séries à termes positifs :
- Comparaison : $0 \le u_n \le v_n$ et $\sum v_n$ converge $\implies \sum u_n$ converge.
- Équivalence : Si $u_n \sim v_n$ ($u_n, v_n > 0$), alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
- Règle de d'Alembert : Si $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$, alors $\ell < 1 \implies$ CV, $\ell > 1 \implies$ DV.
Séries alternées : Vérifier que $|u_n|$ décroît vers 0.

Exemples corrigés

Série harmonique : $\sum \frac{1}{n}$ diverge (Riemann avec $\alpha=1$).
Série exponentielle : $\sum \frac{x^n}{n!}$ converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ (d'Alembert).

Erreurs fréquentes

Oublier que la condition $\lim u_n = 0$ n'est pas suffisante pour la convergence.
Appliquer d'Alembert quand la limite est 1 (cas douteux).
Confondre la nature de la série avec la limite de la suite $(u_n)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Séries numériques

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La série $\sum \frac{1}{n^2+1}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que si un to 0, alors la série sum un converge forcément ?

Non, c'est l'erreur la plus classique. La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante. Exemple : La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ . Ici $u_n = \frac{1}{n} \to 0$ , pourtant la série diverge.

💡 À retenir : La limite nulle est une condition de survie, pas une garantie de convergence.

Non, c'est l'erreur la plus classique. La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante. Exemple : La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$. Ici $u_n = \frac{1}{n} \to 0$, pourtant la série diverge.

💡 À retenir : La limite nulle est une condition de survie, pas une garantie de convergence.

Kifach n3ref wach nst3mel d'Alembert awla comparaison ?

Si tu vois des factorielles ( $n!$ ) ou des puissances ( $a^n$ ), d'Alembert est souvent le plus rapide.
Si tu as une fraction rationnelle (polynôme/polynôme), utilise l'équivalence ( $u_n \sim \frac{a}{n^k}$ ) pour comparer avec une série de Riemann.

💡 À retenir : D'Alembert pour les croissances rapides, Riemann pour les croissances polynomiales.

Si tu vois des factorielles ($n!$) ou des puissances ($a^n$), d'Alembert est souvent le plus rapide.
Si tu as une fraction rationnelle (polynôme/polynôme), utilise l'équivalence ($u_n \sim \frac{a}{n^k}$) pour comparer avec une série de Riemann.

💡 À retenir : D'Alembert pour les croissances rapides, Riemann pour les croissances polynomiales.

Chno hiya la différence bin convergence absolue et convergence simple ?

Une série est absolument convergente si $\sum |u_n|$ converge.
Une série est simplement convergente si $\sum u_n$ converge mais $\sum |u_n|$ diverge.
Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.

💡 À retenir : La convergence absolue est plus "forte" que la convergence simple.

Une série est absolument convergente si $\sum |u_n|$ converge.
Une série est simplement convergente si $\sum u_n$ converge mais $\sum |u_n|$ diverge.
Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.

💡 À retenir : La convergence absolue est plus "forte" que la convergence simple.

Comment démontrer qu'une série alternée converge ?

Utilise le Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA) :

Vérifie que la série est de la forme $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \ge 0$ .
Vérifie que $(a_n)$ est décroissante.
Vérifie que $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .

💡 À retenir : Si les 3 conditions sont réunies, la série converge.

Utilise le Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA) :

Vérifie que la série est de la forme $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \ge 0$.
Vérifie que $(a_n)$ est décroissante.
Vérifie que $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

💡 À retenir : Si les 3 conditions sont réunies, la série converge.

Wach momkin nst3mel l'équivalence f ay série ?

Non, attention ! L'équivalence ( $u_n \sim v_n$ ) ne fonctionne directement que si $u_n$ et $v_n$ sont de signe constant (positifs au voisinage de l'infini). Si la série change de signe, tu dois d'abord étudier la convergence absolue.

💡 À retenir : Signe constant obligatoire pour utiliser les équivalents.

Non, attention ! L'équivalence ($u_n \sim v_n$) ne fonctionne directement que si $u_n$ et $v_n$ sont de signe constant (positifs au voisinage de l'infini). Si la série change de signe, tu dois d'abord étudier la convergence absolue.

💡 À retenir : Signe constant obligatoire pour utiliser les équivalents.

Quelle est la nature de la série sum frac{1}{n^2} ?

C'est une série de Riemann avec $\alpha = 2$ . Comme $\alpha > 1$ , la série converge.

💡 À retenir : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$ .

C'est une série de Riemann avec $\alpha = 2$. Comme $\alpha > 1$, la série converge.

💡 À retenir : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$.

Comment calculer la somme d'une série ?

C'est très difficile en général ! On ne peut calculer la somme exacte que pour :

Les séries géométriques : $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .
Les séries télescopiques : $\sum (v_{k+1} - v_k) = v_{n+1} - v_0$ .

💡 À retenir : Pour la plupart des séries, on se contente de prouver la convergence sans calculer la somme.

C'est très difficile en général ! On ne peut calculer la somme exacte que pour :

Les séries géométriques : $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
Les séries télescopiques : $\sum (v_{k+1} - v_k) = v_{n+1} - v_0$.

💡 À retenir : Pour la plupart des séries, on se contente de prouver la convergence sans calculer la somme.

Est-ce que la somme de deux séries divergentes est toujours divergente ?

Non. Exemple : $\sum \frac{1}{n}$ diverge et $\sum -\frac{1}{n}$ diverge. Mais leur somme $\sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n}) = \sum 0$ converge.

💡 À retenir : La somme de deux séries divergentes peut être convergente.

Non. Exemple : $\sum \frac{1}{n}$ diverge et $\sum -\frac{1}{n}$ diverge. Mais leur somme $\sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n}) = \sum 0$ converge.

💡 À retenir : La somme de deux séries divergentes peut être convergente.

Est-ce que sum frac{sin(n)}{n^2} converge ?

Oui. On utilise la convergence absolue : $|\frac{\sin(n)}{n^2}| \le \frac{1}{n^2}$ . Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Riemann $\alpha=2$ ), la série converge absolument, donc elle converge.

💡 À retenir : Majoration par une série convergente = convergence.

Oui. On utilise la convergence absolue : $|\frac{\sin(n)}{n^2}| \le \frac{1}{n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Riemann $\alpha=2$), la série converge absolument, donc elle converge.

💡 À retenir : Majoration par une série convergente = convergence.

Kifach n7seb l'équivalent dyal un ila kan 3ndi ln ?

Utilise les développements limités (DL) au voisinage de 0. Si $u_n = \ln(1 + \frac{1}{n})$ , comme $\frac{1}{n} \to 0$ , alors $\ln(1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$ .

💡 À retenir : $\ln(1+x) \sim x$ quand $x \to 0$ .

Utilise les développements limités (DL) au voisinage de 0. Si $u_n = \ln(1 + \frac{1}{n})$, comme $\frac{1}{n} \to 0$, alors $\ln(1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$.

💡 À retenir : $\ln(1+x) \sim x$ quand $x \to 0$.

Pourquoi la série sum frac{1}{sqrt{n}} diverge ?

C'est une série de Riemann avec $\alpha = 1/2$ . Comme $1/2 \le 1$ , la série diverge.

💡 À retenir : Les séries de Riemann divergent pour $\alpha \le 1$ .

C'est une série de Riemann avec $\alpha = 1/2$. Comme $1/2 \le 1$, la série diverge.

💡 À retenir : Les séries de Riemann divergent pour $\alpha \le 1$.

Est-ce que le reste d'une série convergente tend vers 0 ?

Oui, par définition. Le reste $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$ est la différence entre la somme totale et la somme partielle $S_n$ . Comme $S_n \to S$ , alors $R_n \to 0$ .

💡 À retenir : Le reste mesure l'erreur commise en arrêtant la série à l'ordre $n$ .

Oui, par définition. Le reste $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$ est la différence entre la somme totale et la somme partielle $S_n$. Comme $S_n \to S$, alors $R_n \to 0$.