Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Intégrales à paramètre

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f : I \times J \to \mathbb{R}$ une fonction. On définit $F(x) = \int_I f(x, t) dt$ .

Continuité : Si $f$ est continue sur $I \times J$ et dominée par une fonction intégrable sur $I$ , alors $F$ est continue sur $J$ .
Dérivation (Leibniz) : Si $f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$ sont continues et dominées, alors $F$ est de classe $C^1$ et $F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) dt$ .
Convergence dominée : Si $f_n(t) \to f(t)$ et $|f_n(t)| \le g(t)$ avec $g$ intégrable, alors $\lim \int f_n = \int \lim f_n$ .

Méthodes à maîtriser

Majoration : Trouver une fonction $g(t)$ indépendante de $x$ telle que $|f(x, t)| \le g(t)$ avec $\int g < +\infty$ .
Dérivation sous le signe somme : Vérifier la continuité de la dérivée partielle et l'existence d'une domination locale.
Utilisation des théorèmes de convergence : Toujours vérifier les hypothèses (continuité, domination) avant d'appliquer le théorème.

Exemples corrigés

Exemple : $F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} dt$ pour $x > 0$ . On a $|e^{-xt}| \le e^{-at}$ pour $x \ge a > 0$ . Comme $t \mapsto e^{-at}$ est intégrable, $F$ est continue. $F'(x) = \int_0^{+\infty} -t e^{-xt} dt = -1/x^2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la domination est locale pour la dérivation.
Confondre la variable d'intégration ( $t$ ) et le paramètre ( $x$ ).
Ne pas vérifier l'intégrabilité de la fonction dominante $g(t)$ .

L'essentiel du cours

Soit $f : I \times J \to \mathbb{R}$ une fonction. On définit $F(x) = \int_I f(x, t) dt$.

Continuité : Si $f$ est continue sur $I \times J$ et dominée par une fonction intégrable sur $I$, alors $F$ est continue sur $J$.
Dérivation (Leibniz) : Si $f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$ sont continues et dominées, alors $F$ est de classe $C^1$ et $F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) dt$.
Convergence dominée : Si $f_n(t) \to f(t)$ et $|f_n(t)| \le g(t)$ avec $g$ intégrable, alors $\lim \int f_n = \int \lim f_n$.

Méthodes à maîtriser

Majoration : Trouver une fonction $g(t)$ indépendante de $x$ telle que $|f(x, t)| \le g(t)$ avec $\int g < +\infty$.
Dérivation sous le signe somme : Vérifier la continuité de la dérivée partielle et l'existence d'une domination locale.
Utilisation des théorèmes de convergence : Toujours vérifier les hypothèses (continuité, domination) avant d'appliquer le théorème.

Exemples corrigés

Exemple : $F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} dt$ pour $x > 0$. On a $|e^{-xt}| \le e^{-at}$ pour $x \ge a > 0$. Comme $t \mapsto e^{-at}$ est intégrable, $F$ est continue. $F'(x) = \int_0^{+\infty} -t e^{-xt} dt = -1/x^2$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la domination est locale pour la dérivation.
Confondre la variable d'intégration ($t$) et le paramètre ($x$).
Ne pas vérifier l'intégrabilité de la fonction dominante $g(t)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Intégrales à paramètre

1/4

Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} dt$ . Le domaine de définition est :

Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} dt$. Le domaine de définition est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je peux dériver sous le signe intégral ?

Vérifie que $f(x, t)$ est dérivable par rapport à $x$ .
Vérifie que $\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est continue sur $I \times J$ .
Trouve une fonction $g(t)$ intégrable sur $I$ telle que $|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)| \le g(t)$ pour tout $x$ dans un intervalle $[a, b]$ .

💡 À retenir : La domination est indispensable pour justifier le passage de la dérivée sous l'intégrale.

Vérifie que $f(x, t)$ est dérivable par rapport à $x$.
Vérifie que $\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est continue sur $I \times J$.
Trouve une fonction $g(t)$ intégrable sur $I$ telle que $|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)| \le g(t)$ pour tout $x$ dans un intervalle $[a, b]$.

💡 À retenir : La domination est indispensable pour justifier le passage de la dérivée sous l'intégrale.

Kifach n-majorer l-fonction bach n-bayan l-continuité ?

Chouf l-intervalle dyal $t$ (wach fini aw infini).
Ila kan $t$ kbir, sta3mel l-croissance comparée (ex: $e^{-t}$ kaysghor bzaf).
Ila kan $t$ sghir, chouf wach l-fonction محدودة (bornée).
Ila kan l-parametre $x$ f-intervalle $[a, b]$ , sta3mel l-valeurs dyal $a$ et $b$ bach t-majorer.

💡 À retenir : Dima قلب على fonction $g(t)$ li ma-fiha-ch $x$ .

Chouf l-intervalle dyal $t$ (wach fini aw infini).
Ila kan $t$ kbir, sta3mel l-croissance comparée (ex: $e^{-t}$ kaysghor bzaf).
Ila kan $t$ sghir, chouf wach l-fonction محدودة (bornée).
Ila kan l-parametre $x$ f-intervalle $[a, b]$, sta3mel l-valeurs dyal $a$ et $b$ bach t-majorer.

💡 À retenir : Dima قلب على fonction $g(t)$ li ma-fiha-ch $x$.

Est-ce que le théorème de convergence dominée s'applique toujours ?

Non, il faut impérativement trois conditions :

La suite de fonctions $f_n$ doit converger simplement vers $f$ .
Les fonctions $f_n$ doivent être mesurables (souvent vérifié car continues).
Il doit exister une fonction $g$ intégrable telle que $|f_n(t)| \le g(t)$ pour tout $n$ et tout $t$ .

💡 À retenir : Sans domination, le théorème est faux (ex: suite de "bosses" qui s'échappent à l'infini).

Non, il faut impérativement trois conditions :

La suite de fonctions $f_n$ doit converger simplement vers $f$.
Les fonctions $f_n$ doivent être mesurables (souvent vérifié car continues).
Il doit exister une fonction $g$ intégrable telle que $|f_n(t)| \le g(t)$ pour tout $n$ et tout $t$.

💡 À retenir : Sans domination, le théorème est faux (ex: suite de "bosses" qui s'échappent à l'infini).

Chno hiya l-far9 bin l-intégrale 3la intervalle compact et 3la intervalle quelconque ?

Sur un compact $[a, b]$ , la continuité de $f$ suffit pour la continuité de $F$ .
Sur un intervalle quelconque (ex: $[0, +\infty[$ ), il faut la domination par une fonction intégrable pour garantir la continuité et la dérivation.

💡 À retenir : Sur un intervalle quelconque, l'intégrale peut "diverger" à l'infini, d'où le besoin de domination.

Sur un compact $[a, b]$, la continuité de $f$ suffit pour la continuité de $F$.
Sur un intervalle quelconque (ex: $[0, +\infty[$), il faut la domination par une fonction intégrable pour garantir la continuité et la dérivation.

💡 À retenir : Sur un intervalle quelconque, l'intégrale peut "diverger" à l'infini, d'où le besoin de domination.

Comment traiter une intégrale avec un paramètre dans les bornes ?

Utilise la formule de Leibniz : $\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(x, t) dt = f(x, v(x))v'(x) - f(x, u(x))u'(x) + \int_{u(x)}^{v(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) dt$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais les termes de bord (les bornes).

Utilise la formule de Leibniz : $\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(x, t) dt = f(x, v(x))v'(x) - f(x, u(x))u'(x) + \int_{u(x)}^{v(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) dt$.

💡 À retenir : N'oublie jamais les termes de bord (les bornes).

Kifach n-bayan bli F est de classe C^k ?

Il faut faire une récurrence :

Montrer que $f$ est $C^k$ par rapport à $x$ .
Montrer que chaque dérivée partielle $\frac{\partial^p f}{\partial x^p}$ est dominée par une fonction intégrable $g_p(t)$ .

💡 À retenir : Il faut une domination pour chaque ordre de dérivation.

Il faut faire une récurrence :

Montrer que $f$ est $C^k$ par rapport à $x$.
Montrer que chaque dérivée partielle $\frac{\partial^p f}{\partial x^p}$ est dominée par une fonction intégrable $g_p(t)$.

💡 À retenir : Il faut une domination pour chaque ordre de dérivation.

Est-ce que je peux permuter deux intégrales ?

Oui, avec le théorème de Fubini, si la fonction est continue et si l'intégrale de la valeur absolue est finie (intégrale double convergente).

💡 À retenir : Vérifie toujours l'intégrabilité absolue avant de permuter.

Comment gérer le cas où x tend vers l'infini ?

Utilise le théorème de convergence dominée en posant $x_n \to +\infty$ .

💡 À retenir : La limite de l'intégrale est l'intégrale de la limite si la domination est respectée.

Utilise le théorème de convergence dominée en posant $x_n \to +\infty$.

💡 À retenir : La limite de l'intégrale est l'intégrale de la limite si la domination est respectée.

Est-ce que la fonction F(x) = int0^1 frac{sin(xt)}{t} dt est continue ?

Oui, car pour $t \in ]0, 1]$ , $|\frac{\sin(xt)}{t}| \le |x|$ . Sur $[0, 1]$ , la fonction est prolongeable par continuité en $0$ ( $f(x, 0) = x$ ).

💡 À retenir : Vérifie toujours les points singuliers comme $t=0$ .

Oui, car pour $t \in ]0, 1]$, $|\frac{\sin(xt)}{t}| \le |x|$. Sur $[0, 1]$, la fonction est prolongeable par continuité en $0$ ($f(x, 0) = x$).

💡 À retenir : Vérifie toujours les points singuliers comme $t=0$.

Wach momkin n-khdem b-changement de variable f-intégrale à paramètre ?

Oui, tout à fait. Le changement de variable $u = \phi(t)$ est permis si $\phi$ est un $C^1$ -difféomorphisme.

💡 À retenir : N'oublie pas de changer les bornes et de multiplier par le Jacobien $|\phi'(t)|$ .

Oui, tout à fait. Le changement de variable $u = \phi(t)$ est permis si $\phi$ est un $C^1$-difféomorphisme.

💡 À retenir : N'oublie pas de changer les bornes et de multiplier par le Jacobien $|\phi'(t)|$.

Quelle est la différence entre convergence simple et uniforme pour les intégrales ?

La convergence uniforme sur tout segment de $I$ est souvent suffisante pour la continuité, mais pour l'intégrale sur un intervalle non borné, la domination est plus forte et plus pratique.

💡 À retenir : La domination implique la convergence uniforme locale.

La convergence uniforme sur tout segment de $I$ est souvent suffisante pour la continuité, mais pour l'intégrale sur un intervalle non borné, la domination est plus forte et plus pratique.

💡 À retenir : La domination implique la convergence uniforme locale.

Pourquoi on demande souvent de montrer que F est C^1 sur tout segment ?

Parce que la domination globale est parfois difficile à obtenir, alors qu'une domination locale (sur tout $[a, b] \subset I$ ) est souvent plus simple.

💡 À retenir : $C^1$ sur tout segment implique $C^1$ sur l'intervalle ouvert.

Parce que la domination globale est parfois difficile à obtenir, alors qu'une domination locale (sur tout $[a, b] \subset I$) est souvent plus simple.

💡 À retenir : $C^1$ sur tout segment implique $C^1$ sur l'intervalle ouvert.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$ pour $x \ge 0$ .

Montrer que $F$ est continue sur $[0, +\infty[$ .
Montrer que $F$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 1

Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$ pour $x \ge 0$.

Montrer que $F$ est continue sur $[0, +\infty[$.
Montrer que $F$ est dérivable sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Étudier la limite de $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t} dt$ quand $x \to +\infty$ .

Exercice 2

Étudier la limite de $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t} dt$ quand $x \to +\infty$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $F'(x)$ pour $F(x) = \int_0^x \sin(x+t) dt$ .

Exercice 3

Calculer $F'(x)$ pour $F(x) = \int_0^x \sin(x+t) dt$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Espaces préhilbertiens réels Espaces euclidiens Endomorphismes des espaces euclidiens Réduction des endomorphismes Séries numériques Séries de fonctions Suites de fonctions Intégration sur un intervalle quelconque Séries entières Équations différentielles linéaires Fonctions de plusieurs variables Calcul différentiel Extrema des fonctions de plusieurs variables Probabilités sur un univers fini Variables aléatoires discrètes Couples et suites de variables aléatoires discrètes Convergences et lois des grands nombres