Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soit $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$.
Condition nécessaire : Si $f$ admet un extremum local en $a \in U$, alors $\nabla f(a) = 0$ (point critique).
Condition suffisante : Soit $a$ un point critique. On étudie la matrice Hessienne $H_f(a) = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) \right)$.
Si $H_f(a)$ est définie positive, $f$ admet un minimum local en $a$.
Si $H_f(a)$ est définie négative, $f$ admet un maximum local en $a$.
Si $H_f(a)$ est indéfinie (valeurs propres de signes opposés), $a$ est un point selle.
Méthodes à maîtriser
Recherche des points critiques : Résoudre le système $\frac{\partial f}{\partial x_i} = 0$.
Test de la Hessienne : Calculer les dérivées secondes et vérifier le signe des valeurs propres ou utiliser le critère de Sylvester (pour $n=2$, regarder le déterminant et la trace).
Extrema liés : Utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour $f(x,y)$ sous contrainte $g(x,y)=0$.
Exemples corrigés
Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy$.
$\nabla f = (2x-y, 2y-x) = (0,0) \implies x=y=0$. Point critique $(0,0)$.
$\det(H_f) = 3 > 0$ et $\text{tr}(H_f) = 4 > 0$. $H_f$ est définie positive. $(0,0)$ est un minimum local.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que la fonction est $C^2$ avant d'utiliser la Hessienne.
Confondre point critique et extremum (un point critique n'est pas forcément un extremum).
Se tromper dans le calcul des dérivées croisées (théorème de Schwarz : $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$).
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C'est un point critique où la fonction monte dans une direction et descend dans une autre. Graphiquement, cela ressemble à une selle de cheval.
💡 À retenir : La Hessienne en ce point possède des valeurs propres de signes opposés.
Est-ce que le programme inclut les extrema globaux ?
Le programme se concentre principalement sur les extrema locaux. Pour les extrema globaux, il faut étudier le comportement de la fonction sur les bords du domaine ou à l'infini (limites).
💡 À retenir : Sur un compact, une fonction continue admet toujours un maximum et un minimum global.
Pourquoi on demande que la fonction soit C^2 ?
Parce que la matrice Hessienne utilise les dérivées secondes. Si la fonction n'est pas $C^2$, les dérivées secondes peuvent ne pas exister ou ne pas être continues, ce qui rend l'étude de la nature du point critique impossible avec cette méthode.
💡 À retenir : La régularité $C^2$ est la condition sine qua non pour utiliser la Hessienne.
Comment savoir si un point critique est un maximum ou un minimum ?
Calcule la matrice Hessienne $H_f(a)$ au point critique.
Détermine ses valeurs propres ou utilise les mineurs principaux.
Si toutes les valeurs propres sont strictement positives, c'est un minimum. Si elles sont toutes strictement négatives, c'est un maximum.
💡 À retenir : Si les valeurs propres sont de signes différents, c'est un point selle (ni max ni min).
Kifach n7seb les points critiques ila kan 3ndi fonction f(x,y) ?
7seb les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.
Les solutions $(x,y)$ li l9iti homa les points critiques.
💡 À retenir : Dima t2kked wach les points li l9iti kaynin f domaine de définition.
C'est quoi le théorème de Schwarz et pourquoi il est utile ?
Le théorème de Schwarz dit que pour une fonction de classe $C^2$, les dérivées partielles croisées sont égales : $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.
C'est utile pour simplifier le calcul de la matrice Hessienne, car elle devient symétrique.
💡 À retenir : La symétrie de la Hessienne permet d'utiliser les outils de réduction des endomorphismes (valeurs propres réelles).
Bach t9lbi 3la l'extrema dyal $f$ sous contrainte $g(x,y)=0$, t9lbi 3la les points $(x,y,\lambda)$ li kay7e99o $\nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y)$ et $g(x,y)=0$.
Had $\lambda$ kaysmmiwah multiplicateur de Lagrange.
💡 À retenir : Had l'méthode kat3tina les candidats pour l'extrema sous contrainte.
Est-ce qu'un point critique est toujours un extremum ?
Non, pas du tout. Un point critique est une condition nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, pour $f(x,y) = x^2 - y^2$, le point $(0,0)$ est critique mais c'est un point selle.
💡 À retenir : Il faut toujours étudier la nature du point avec la Hessienne ou le voisinage.
Kifach n3ref wach matrice définie positive bla ma n7seb les valeurs propres ?
Utilise le critère de Sylvester :
Pour une matrice $2 \times 2$, elle est définie positive si $\det(H) > 0$ et $a_{11} > 0$.
Pour $n \times n$, tous les mineurs principaux doivent être strictement positifs.
💡 À retenir : C'est souvent plus rapide que de chercher les racines du polynôme caractéristique.
Comment gérer les extrema avec des contraintes d'inégalité ?
(à vérifier par le professeur) Le programme de MP se concentre sur les contraintes d'égalité avec les multiplicateurs de Lagrange. Les contraintes d'inégalité (conditions de Karush-Kuhn-Tucker) dépassent généralement le cadre strict du programme de 2ème année.
💡 À retenir : Concentrez-vous sur l'égalité $g(x,y)=0$.
Est-ce que je peux utiliser le développement de Taylor pour trouver un extremum ?
Oui, le développement de Taylor à l'ordre 2 au voisinage d'un point critique $a$ est $f(a+h) = f(a) + \frac{1}{2} H_f(a)(h,h) + o(|h|^2)$. Le signe de la forme quadratique $H_f(a)$ détermine la nature du point.
💡 À retenir : C'est exactement la justification théorique de la méthode de la Hessienne.
Est-ce que la Hessienne peut être nulle ?
Oui, si $\det(H_f) = 0$, on dit que le point est dégénéré. Dans ce cas, le test de la Hessienne ne permet pas de conclure. Il faut étudier le signe de $f(x,y) - f(a)$ localement.
💡 À retenir : Si le test échoue, il faut revenir à la définition de l'extremum local.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Déterminer les points critiques de $f$ et étudier leur nature.
Condition nécessaire : Si f admet un extremum local en a∈U, alors ∇f(a)=0 (point critique).
Condition suffisante : Soit a un point critique. On étudie la matrice Hessienne Hf(a)=(∂xi∂xj∂2f(a)).
Si Hf(a) est définie positive, f admet un minimum local en a.
Si Hf(a) est définie négative, f admet un maximum local en a.
Si Hf(a) est indéfinie (valeurs propres de signes opposés), a est un point selle.
Méthodes à maîtriser
Recherche des points critiques : Résoudre le système ∂xi∂f=0.
Test de la Hessienne : Calculer les dérivées secondes et vérifier le signe des valeurs propres ou utiliser le critère de Sylvester (pour n=2, regarder le déterminant et la trace).
Extrema liés : Utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour f(x,y) sous contrainte g(x,y)=0.
Exemples corrigés
Soit f(x,y)=x2+y2−xy.
∇f=(2x−y,2y−x)=(0,0)⟹x=y=0. Point critique (0,0).
Hf=(2−1−12).
det(Hf)=3>0 et tr(Hf)=4>0. Hf est définie positive. (0,0) est un minimum local.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que la fonction est C2 avant d'utiliser la Hessienne.
Confondre point critique et extremum (un point critique n'est pas forcément un extremum).
Se tromper dans le calcul des dérivées croisées (théorème de Schwarz : ∂x∂y∂2f=∂y∂x∂2f).
Soit f(x,y)=x2+y2. Le point (0,0) est :
Parce que la matrice Hessienne utilise les dérivées secondes. Si la fonction n'est pas C2, les dérivées secondes peuvent ne pas exister ou ne pas être continues, ce qui rend l'étude de la nature du point critique impossible avec cette méthode.
💡 À retenir : La régularité C2 est la condition sine qua non pour utiliser la Hessienne.
Calcule la matrice Hessienne Hf(a) au point critique.
Détermine ses valeurs propres ou utilise les mineurs principaux.
Si toutes les valeurs propres sont strictement positives, c'est un minimum. Si elles sont toutes strictement négatives, c'est un maximum.
💡 À retenir : Si les valeurs propres sont de signes différents, c'est un point selle (ni max ni min).
7seb les dérivées partielles ∂x∂f et ∂y∂f.
7el système {∂x∂f=0∂y∂f=0.
Les solutions (x,y) li l9iti homa les points critiques.
💡 À retenir : Dima t2kked wach les points li l9iti kaynin f domaine de définition.
Le théorème de Schwarz dit que pour une fonction de classe C2, les dérivées partielles croisées sont égales : ∂x∂y∂2f=∂y∂x∂2f.
C'est utile pour simplifier le calcul de la matrice Hessienne, car elle devient symétrique.
💡 À retenir : La symétrie de la Hessienne permet d'utiliser les outils de réduction des endomorphismes (valeurs propres réelles).
Bach t9lbi 3la l'extrema dyal f sous contrainte g(x,y)=0, t9lbi 3la les points (x,y,λ) li kay7e99o ∇f(x,y)=λ∇g(x,y) et g(x,y)=0.
Had λ kaysmmiwah multiplicateur de Lagrange.
💡 À retenir : Had l'méthode kat3tina les candidats pour l'extrema sous contrainte.
Non, pas du tout. Un point critique est une condition nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, pour f(x,y)=x2−y2, le point (0,0) est critique mais c'est un point selle.
💡 À retenir : Il faut toujours étudier la nature du point avec la Hessienne ou le voisinage.
Utilise le critère de Sylvester :
Pour une matrice 2×2, elle est définie positive si det(H)>0 et a11>0.
Pour n×n, tous les mineurs principaux doivent être strictement positifs.
💡 À retenir : C'est souvent plus rapide que de chercher les racines du polynôme caractéristique.
(à vérifier par le professeur) Le programme de MP se concentre sur les contraintes d'égalité avec les multiplicateurs de Lagrange. Les contraintes d'inégalité (conditions de Karush-Kuhn-Tucker) dépassent généralement le cadre strict du programme de 2ème année.
💡 À retenir : Concentrez-vous sur l'égalité g(x,y)=0.
Oui, le développement de Taylor à l'ordre 2 au voisinage d'un point critique a est f(a+h)=f(a)+21Hf(a)(h,h)+o(∥h∥2). Le signe de la forme quadratique Hf(a) détermine la nature du point.
💡 À retenir : C'est exactement la justification théorique de la méthode de la Hessienne.
Oui, si det(Hf)=0, on dit que le point est dégénéré. Dans ce cas, le test de la Hessienne ne permet pas de conclure. Il faut étudier le signe de f(x,y)−f(a) localement.
💡 À retenir : Si le test échoue, il faut revenir à la définition de l'extremum local.
Exercice 1
Soit f(x,y)=x3+y3−3xy. Déterminer les points critiques de f et étudier leur nature.
Exercice 2
Soit f(x,y)=x2+2y2. Trouver le minimum de f sous la contrainte x+y=1.
Exercice 3
Soit f(x,y)=ex2+y2. Déterminer les extrema locaux.