Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Fonctions de plusieurs variables

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Topologie de $\mathbb{R}^n$ : Une partie $U$ est ouverte si pour tout $a \in U$ , il existe une boule ouverte $B(a, r) \subset U$ .
Différentiabilité : Une fonction $f: U \to \mathbb{R}^p$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L$ telle que $f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)$ .
Gradient : Pour $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , $\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$ .
Théorème de Schwarz : Si $f$ est de classe $C^2$ , alors $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient et la matrice jacobienne.
Déterminer les points critiques en résolvant le système $\nabla f(x,y) = 0$ .
Utiliser la matrice Hessienne pour caractériser la nature d'un point critique (définie positive, négative, ou indéfinie).

Exemples corrigés

Calcul de gradient : Soit $f(x,y) = x^2y + e^x$ . Alors $\nabla f(x,y) = (2xy + e^x, x^2)$ .
Point critique : Pour $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$ , $\nabla f = (2x-2, 2y) = (0,0) \implies (1,0)$ .

Erreurs fréquentes

Confondre dérivées partielles et différentielle totale.
Oublier de vérifier la continuité des dérivées secondes avant d'appliquer Schwarz.
Croire qu'un point critique est forcément un extremum (oublier les points selles).

L'essentiel du cours

Topologie de $\mathbb{R}^n$ : Une partie $U$ est ouverte si pour tout $a \in U$, il existe une boule ouverte $B(a, r) \subset U$.
Différentiabilité : Une fonction $f: U \to \mathbb{R}^p$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L$ telle que $f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|)$.
Gradient : Pour $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$.
Théorème de Schwarz : Si $f$ est de classe $C^2$, alors $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient et la matrice jacobienne.
Déterminer les points critiques en résolvant le système $\nabla f(x,y) = 0$.
Utiliser la matrice Hessienne pour caractériser la nature d'un point critique (définie positive, négative, ou indéfinie).

Exemples corrigés

Calcul de gradient : Soit $f(x,y) = x^2y + e^x$. Alors $\nabla f(x,y) = (2xy + e^x, x^2)$.
Point critique : Pour $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$, $\nabla f = (2x-2, 2y) = (0,0) \implies (1,0)$.

Erreurs fréquentes

Confondre dérivées partielles et différentielle totale.
Oublier de vérifier la continuité des dérivées secondes avant d'appliquer Schwarz.
Croire qu'un point critique est forcément un extremum (oublier les points selles).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions de plusieurs variables

1/4

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$ . Quel est le gradient en $(1,1)$ ?

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$. Quel est le gradient en $(1,1)$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi un ouvert dans mathbb{R}^n ?

C'est un ensemble où, pour chaque point, tu peux tracer une petite boule autour de lui qui reste entièrement dans l'ensemble.

💡 À retenir : Un ouvert ne contient pas sa "frontière".

Si le gradient est nul, est-ce que j'ai forcément un extremum ?

Non, tu as un point critique. Cela peut être un maximum, un minimum, ou un point selle (comme pour $f(x,y) = x^2 - y^2$ en $(0,0)$ ).

💡 À retenir : Le gradient nul est une condition nécessaire, mais pas suffisante.

Non, tu as un point critique. Cela peut être un maximum, un minimum, ou un point selle (comme pour $f(x,y) = x^2 - y^2$ en $(0,0)$).

💡 À retenir : Le gradient nul est une condition nécessaire, mais pas suffisante.

Pourquoi on utilise les formes quadratiques ici ?

Parce que la nature d'un point critique dépend du signe de la variation de la fonction, qui est donnée par la forme quadratique associée à la Hessienne.

💡 À retenir : Le signe de la forme quadratique détermine la courbure de la surface.

C'est quoi la différence entre dérivée partielle et différentielle ?

La dérivée partielle mesure la variation de la fonction selon un seul axe (x ou y).
La différentielle est une application linéaire qui donne la meilleure approximation affine de la variation de la fonction dans toutes les directions à la fois.

💡 À retenir : La différentielle est la somme des dérivées partielles multipliées par les accroissements des variables ( $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$ ).

La dérivée partielle mesure la variation de la fonction selon un seul axe (x ou y).
La différentielle est une application linéaire qui donne la meilleure approximation affine de la variation de la fonction dans toutes les directions à la fois.

💡 À retenir : La différentielle est la somme des dérivées partielles multipliées par les accroissements des variables ($df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$).

Kifach n3ref wach had l'point critique max wla min wla ghir point selle ?

Calcule la matrice Hessienne $H(x,y)$ au point critique.
Regarde les valeurs propres ou le signe des mineurs principaux.
Si $H$ est définie positive, c'est un minimum local. Si elle est définie négative, c'est un maximum. Si elle est indéfinie, c'est un point selle.

💡 À retenir : Utilise le déterminant de la Hessienne ( $det(H) = f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2$ ).

Calcule la matrice Hessienne $H(x,y)$ au point critique.
Regarde les valeurs propres ou le signe des mineurs principaux.
Si $H$ est définie positive, c'est un minimum local. Si elle est définie négative, c'est un maximum. Si elle est indéfinie, c'est un point selle.

💡 À retenir : Utilise le déterminant de la Hessienne ($det(H) = f''{xx}f''{yy} - (f''_{xy})^2$).

Wash darouri nst3mlo Schwarz f ga3 les exercices ?

Non, le théorème de Schwarz n'est utile que si tu dois calculer des dérivées secondes croisées.
Il te permet de dire que $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ sans faire le calcul deux fois.

💡 À retenir : Vérifie toujours que la fonction est de classe $C^2$ avant de l'appliquer.

Non, le théorème de Schwarz n'est utile que si tu dois calculer des dérivées secondes croisées.
Il te permet de dire que $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ sans faire le calcul deux fois.

💡 À retenir : Vérifie toujours que la fonction est de classe $C^2$ avant de l'appliquer.

Chno hiya l'condition bach n9olo bli f différentiable f point a ?

Il faut que les dérivées partielles existent en $a$ .
Il faut surtout que l'application $h \mapsto \nabla f(a) \cdot h$ soit une approximation de $f(a+h) - f(a)$ avec un reste négligeable devant $\|h\|$ .

💡 À retenir : Si les dérivées partielles sont continues au voisinage de $a$ , alors $f$ est différentiable en $a$ .

Il faut que les dérivées partielles existent en $a$.
Il faut surtout que l'application $h \mapsto \nabla f(a) \cdot h$ soit une approximation de $f(a+h) - f(a)$ avec un reste négligeable devant $|h|$.

💡 À retenir : Si les dérivées partielles sont continues au voisinage de $a$, alors $f$ est différentiable en $a$.

Kifach n7seb la matrice Jacobienne d'une fonction de mathbb{R}^2 vers mathbb{R}^2 ?

Soit $f(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$ .
La matrice est : $J_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y} \\ \frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial y} \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Chaque ligne correspond aux dérivées partielles d'une composante de la fonction.

Soit $f(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$.
La matrice est : $J_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y} \ \frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial y} \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Chaque ligne correspond aux dérivées partielles d'une composante de la fonction.

Est-ce qu'une fonction peut avoir des dérivées partielles partout sans être continue ?

Oui, c'est un piège classique. L'existence des dérivées partielles ne garantit pas la continuité.

💡 À retenir : La différentiabilité implique la continuité, mais pas l'existence des dérivées partielles seules.

Comment on montre qu'une fonction n'est pas différentiable ?

Montre qu'elle n'est pas continue en ce point.
Ou montre que le reste $f(a+h) - f(a) - L(h)$ n'est pas un $o(\|h\|)$ .

💡 À retenir : Le test de la limite du taux d'accroissement est souvent le plus efficace.

Montre qu'elle n'est pas continue en ce point.
Ou montre que le reste $f(a+h) - f(a) - L(h)$ n'est pas un $o(|h|)$.

💡 À retenir : Le test de la limite du taux d'accroissement est souvent le plus efficace.

Est-ce que le théorème de Schwarz marche pour les fonctions C^1 ?

Non, il faut que la fonction soit au moins $C^2$ pour garantir l'égalité des dérivées croisées.

💡 À retenir : $C^2$ signifie que les dérivées secondes sont continues.

Non, il faut que la fonction soit au moins $C^2$ pour garantir l'égalité des dérivées croisées.

💡 À retenir : $C^2$ signifie que les dérivées secondes sont continues.

C'est quoi le lien entre gradient et lignes de niveau ?

Le gradient en un point est toujours orthogonal à la ligne de niveau passant par ce point.

💡 À retenir : Le gradient indique la direction de la plus forte pente.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ . Déterminer les points critiques de $f$ et préciser leur nature.

Exercice 1

Soit $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Déterminer les points critiques de $f$ et préciser leur nature.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x,y) = e^{x^2+y^2}$ . Calculer la différentielle de $f$ en tout point $(x,y)$ .

Exercice 2

Soit $f(x,y) = e^{x^2+y^2}$. Calculer la différentielle de $f$ en tout point $(x,y)$.

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Exercice 3

Montrer que $f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$ n'est pas différentiable en $(0,0)$ .

Exercice 3

Montrer que $f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.

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