Probabilités sur un univers fini

Non, cette formule n'est vraie que si les événements $A$ et $B$ sont incompatibles, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$. Dans le cas général, il faut utiliser la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Vérifie toujours si les événements peuvent se réaliser simultanément avant d'additionner.

1. Si l'ordre de tirage est important (ex: podium, code secret), utilise les arrangements $A_n^k$.
2. Si l'ordre n'a pas d'importance (ex: main de cartes, tirage simultané), utilise les combinaisons $\binom{n}{k}$.

💡 À retenir : Pose-toi toujours la question : "Est-ce que changer l'ordre change le résultat ?"

1. Incompatibilité : $A \cap B = \emptyset$. Si $A$ arrive, $B$ ne peut pas arriver.
2. Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. La réalisation de $A$ ne change pas la probabilité de $B$.

💡 À retenir : Deux événements peuvent être indépendants sans être incompatibles.

Tu peux utiliser la formule de Bayes : $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$. Il faut souvent calculer $P(B)$ en utilisant la formule des probabilités totales si $B$ est lié à plusieurs cas de $A$.

💡 À retenir : La formule de Bayes est l'outil principal pour inverser un conditionnement.

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 (inclus). Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ est la règle d'or.

C'est une famille d'événements $(A_i)$ telle que :

1. Ils sont deux à deux incompatibles ($A_i \cap A_j = \emptyset$ pour $i \neq j$).
2. Leur réunion est égale à l'univers $\Omega$ ($\bigcup A_i = \Omega$).
3. $P(A_i) > 0$.

💡 À retenir : Cela permet de découper un problème complexe en cas plus simples.

Il faut calculer séparément $P(A \cap B)$ et le produit $P(A) \times P(B)$. Si les deux valeurs sont égales, alors ils sont indépendants. Sinon, ils ne le sont pas.

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'indépendance, il faut toujours la vérifier par le calcul.

Généralement non. C'est une erreur classique. $P(A|B)$ est la probabilité de $A$ sachant $B$, alors que $P(B|A)$ est la probabilité de $B$ sachant $A$. Ils ne sont égaux que si $P(A) = P(B)$.

💡 À retenir : L'ordre du conditionnement change tout.

Si $(A_1, A_2, ..., A_n)$ est un système complet, alors pour tout événement $B$ : $P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)$.

💡 À retenir : C'est la méthode pour calculer la probabilité d'un événement qui dépend de plusieurs chemins.

On utilise la règle de l'événement contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. C'est très utile quand l'énoncé demande "au moins un".

💡 À retenir : "Au moins un" se traduit souvent par $1 - P(\text{aucun})$.

L'arbre est idéal pour les expériences successives (tirages avec ou sans remise). Cependant, s'il y a trop d'étapes, l'arbre devient illisible. Dans ce cas, passe au calcul algébrique.

💡 À retenir : L'arbre est un outil de visualisation, pas une démonstration en soi.

Dans un univers fini avec équiprobabilité, la probabilité est définie comme le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. C'est la définition fondamentale.

💡 À retenir : Assure-toi toujours que les cas sont équiprobables avant de diviser.