Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Convergences et lois des grands nombres

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Inégalité de Markov : Pour $X \geq 0$ et $a > 0$ , $P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}$ .
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Pour $X$ de variance finie, $P(|X - E[X]| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .
Convergence en probabilité : $(X_n) \xrightarrow{P} X$ si $\forall \varepsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0$ .
Loi faible des grands nombres : Si $(X_n)$ sont i.i.d. d'espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$ , alors $\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu$ .
Théorème Central Limite (TCL) : La variable $\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ converge en loi vers une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer des probabilités sans connaître la loi exacte.
Vérifier la convergence en probabilité en calculant la limite de la variance de la suite.
Appliquer le TCL pour calculer des probabilités approchées de sommes de variables aléatoires.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $X_n$ une suite de variables avec $V(X_n) = \frac{1}{n}$ . Par Bienaymé-Tchebychev, $P(|X_n - E[X_n]| \geq \varepsilon) \leq \frac{1}{n\varepsilon^2}$ . La limite est 0, donc $X_n$ converge en probabilité vers $E[X_n]$ .
Exemple 2 : Somme de $n$ variables de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ . $E[\bar{X}_n] = p$ et $V(\bar{X}_n) = \frac{p(1-p)}{n}$ . Pour $n$ grand, $\bar{X}_n \approx \mathcal{N}(p, \frac{p(1-p)}{n})$ .

Erreurs fréquentes

Confondre convergence en probabilité et convergence presque sûre.
Oublier la condition d'indépendance pour appliquer la variance de la somme.
Appliquer le TCL alors que $n$ est trop petit (généralement $n \geq 30$ ).

L'essentiel du cours

Inégalité de Markov : Pour $X \geq 0$ et $a > 0$, $P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}$.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Pour $X$ de variance finie, $P(|X - E[X]| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}$.
Convergence en probabilité : $(X_n) \xrightarrow{P} X$ si $\forall \varepsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0$.
Loi faible des grands nombres : Si $(X_n)$ sont i.i.d. d'espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$, alors $\bar{X}n = \frac{1}{n} \sum{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu$.
Théorème Central Limite (TCL) : La variable $\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ converge en loi vers une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer des probabilités sans connaître la loi exacte.
Vérifier la convergence en probabilité en calculant la limite de la variance de la suite.
Appliquer le TCL pour calculer des probabilités approchées de sommes de variables aléatoires.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $X_n$ une suite de variables avec $V(X_n) = \frac{1}{n}$. Par Bienaymé-Tchebychev, $P(|X_n - E[X_n]| \geq \varepsilon) \leq \frac{1}{n\varepsilon^2}$. La limite est 0, donc $X_n$ converge en probabilité vers $E[X_n]$.
Exemple 2 : Somme de $n$ variables de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$. $E[\bar{X}_n] = p$ et $V(\bar{X}_n) = \frac{p(1-p)}{n}$. Pour $n$ grand, $\bar{X}_n \approx \mathcal{N}(p, \frac{p(1-p)}{n})$.

Erreurs fréquentes

Confondre convergence en probabilité et convergence presque sûre.
Oublier la condition d'indépendance pour appliquer la variance de la somme.
Appliquer le TCL alors que $n$ est trop petit (généralement $n \geq 30$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Convergences et lois des grands nombres

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Soit $X_n$ une suite de v.a. telle que $V(X_n) \to 0$ . Alors :

Soit $X_n$ une suite de v.a. telle que $V(X_n) \to 0$. Alors :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'probabilité d'wahed l'somme d'variables aléatoires ila kan n kbir?

Calcule l'espérance $E[S_n]$ et la variance $V(S_n)$ de la somme $S_n = \sum X_i$ .
Si les variables sont i.i.d., utilise le Théorème Central Limite (TCL).
Normalise la variable : $Z_n = \frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{V(S_n)}}$ .
Utilise la table de la loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ pour trouver la probabilité.

💡 À retenir : Le TCL est l'outil indispensable pour les grands échantillons.

Calcule l'espérance $E[S_n]$ et la variance $V(S_n)$ de la somme $S_n = \sum X_i$.
Si les variables sont i.i.d., utilise le Théorème Central Limite (TCL).
Normalise la variable : $Z_n = \frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{V(S_n)}}$.
Utilise la table de la loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ pour trouver la probabilité.

💡 À retenir : Le TCL est l'outil indispensable pour les grands échantillons.

Chno l'far9 bin convergence en probabilité w convergence en loi ?

La convergence en probabilité porte sur la distance entre $X_n$ et $X$ (valeurs proches).
La convergence en loi porte uniquement sur la distribution (les probabilités des événements).
La convergence en probabilité implique la convergence en loi, mais la réciproque est fausse en général.

💡 À retenir : La convergence en probabilité est plus forte que la convergence en loi.

La convergence en probabilité porte sur la distance entre $X_n$ et $X$ (valeurs proches).
La convergence en loi porte uniquement sur la distribution (les probabilités des événements).
La convergence en probabilité implique la convergence en loi, mais la réciproque est fausse en général.

💡 À retenir : La convergence en probabilité est plus forte que la convergence en loi.

Wach l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev kat3tina l'qima d'l'probabilité nichan ?

Non, elle donne seulement une borne supérieure (une majoration). Elle est utile quand on ne connaît pas la loi exacte de la variable aléatoire.

💡 À retenir : C'est une inégalité de concentration, pas une égalité.

Quelle est la différence entre la loi faible et la loi forte des grands nombres ?

La loi faible concerne la convergence en probabilité, tandis que la loi forte concerne la convergence presque sûre (plus forte).

💡 À retenir : La loi forte est un résultat plus puissant sur le comportement asymptotique.

Peut-on utiliser le TCL si les variables ne sont pas de même loi ?

Oui, sous certaines conditions (théorème de Lindeberg-Feller), mais au programme CPGE, on se limite au cas i.i.d.

💡 À retenir : Restez dans le cadre i.i.d. pour le programme officiel.

Comment montrer qu'une suite converge en probabilité vers une constante ?

Montrez que $E[X_n] \to c$ et $V(X_n) \to 0$ quand $n \to +\infty$ .

💡 À retenir : La variance qui tend vers 0 est la clé.

Montrez que $E[X_n] \to c$ et $V(X_n) \to 0$ quand $n \to +\infty$.

💡 À retenir : La variance qui tend vers 0 est la clé.

Est-ce que la convergence en loi implique la convergence des espérances ?

Pas nécessairement, sauf si la suite est uniformément intégrable.

💡 À retenir : La convergence en loi ne garantit pas la convergence des moments.

Pourquoi utilise-t-on varepsilon dans la définition de la convergence ?

Pour quantifier l'écart. On veut que la probabilité que l'écart dépasse n'importe quel petit $\varepsilon$ devienne nulle.

💡 À retenir : $\varepsilon$ représente la précision souhaitée.

Pour quantifier l'écart. On veut que la probabilité que l'écart dépasse n'importe quel petit $\varepsilon$ devienne nulle.

💡 À retenir : $\varepsilon$ représente la précision souhaitée.

Est-ce que Xn xrightarrow{P} X implique Xn^2 xrightarrow{P} X^2 ?

Oui, par le théorème de transfert (continuité de la fonction $x \mapsto x^2$ ).

💡 À retenir : Les fonctions continues préservent la convergence en probabilité.

Oui, par le théorème de transfert (continuité de la fonction $x \mapsto x^2$).

💡 À retenir : Les fonctions continues préservent la convergence en probabilité.

Chno l'fayda d'l'inégalité de Markov ?

Elle permet de majorer la probabilité d'une variable positive sans connaître sa variance, juste avec son espérance.

💡 À retenir : Moins précise que Bienaymé-Tchebychev mais plus générale.

Le TCL s'applique-t-il aux variables discrètes ?

Oui, par exemple pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ quand $n$ est grand, on peut l'approcher par une loi normale.

💡 À retenir : Le TCL fait le pont entre discret et continu.

Oui, par exemple pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ quand $n$ est grand, on peut l'approcher par une loi normale.

💡 À retenir : Le TCL fait le pont entre discret et continu.

Si V(Xn) = 0, que peut-on dire de Xn ?

$X_n$ est presque sûrement égale à son espérance $E[X_n]$ .

💡 À retenir : Variance nulle = constante.

$X_n$ est presque sûrement égale à son espérance $E[X_n]$.

💡 À retenir : Variance nulle = constante.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$ . On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ .

Calculer $E[S_n]$ et $V(S_n)$ .
Montrer que $\frac{S_n}{n} \xrightarrow{P} p$ .

Exercice 1

Soit $(X_n){n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$. On pose $S_n = \sum{k=1}^n X_k$.

Calculer $E[S_n]$ et $V(S_n)$.
Montrer que $\frac{S_n}{n} \xrightarrow{P} p$.

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Exercice 2

Soit $X_n$ une suite de variables aléatoires telle que $P(X_n = n) = \frac{1}{n}$ et $P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n}$ . Étudier la convergence en probabilité de $X_n$ vers 0.

Exercice 2

Soit $X_n$ une suite de variables aléatoires telle que $P(X_n = n) = \frac{1}{n}$ et $P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n}$. Étudier la convergence en probabilité de $X_n$ vers 0.

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Exercice 3

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, 0.5)$ . En utilisant le TCL, donner une approximation de $P(X_n \leq 0.6n)$ pour $n=100$ .

Exercice 3

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, 0.5)$. En utilisant le TCL, donner une approximation de $P(X_n \leq 0.6n)$ pour $n=100$.

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