Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Suites de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $I \subset \mathbb{R}$ .

Convergence simple : $\forall x \in I, \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$ .
Convergence uniforme : $\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| = 0$ .
Théorème de continuité : Si $f_n \to f$ uniformément et chaque $f_n$ est continue, alors $f$ est continue.
Théorème d'intégration : Si $f_n \to f$ uniformément sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f_n(t) dt \to \int_a^b f(t) dt$ .

Méthodes à maîtriser

Étude de la convergence simple : Fixer $x$ et calculer la limite de la suite numérique $(f_n(x))$ .
Preuve de la convergence uniforme : Calculer $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$ en utilisant l'étude de fonction (dérivée). Si $\lim M_n = 0$ , alors il y a convergence uniforme.
Contre-exemple : Utiliser la négation de la convergence uniforme (si la limite de la fonction n'est pas continue, la convergence n'est pas uniforme).

Exemples corrigés

Soit $f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}$ sur $[0, 1]$ .

$f_n(0) = 0 \to 0$ . Pour $x > 0$ , $f_n(x) \sim \frac{nx}{n^2x^2} = \frac{1}{nx} \to 0$ . Donc $f_n \to 0$ simplement.
$f_n'(x) = \frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}$ . Max en $x = 1/n$ , $f_n(1/n) = 1/2$ .
$M_n = 1/2 \neq 0$ , donc la convergence n'est pas uniforme.

Erreurs fréquentes

Confondre convergence simple et uniforme.
Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le théorème d'interversion.
Mal calculer le sup sur un intervalle ouvert.

L'essentiel du cours

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $I \subset \mathbb{R}$.

Convergence simple : $\forall x \in I, \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$.
Convergence uniforme : $\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| = 0$.
Théorème de continuité : Si $f_n \to f$ uniformément et chaque $f_n$ est continue, alors $f$ est continue.
Théorème d'intégration : Si $f_n \to f$ uniformément sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f_n(t) dt \to \int_a^b f(t) dt$.

Méthodes à maîtriser

Étude de la convergence simple : Fixer $x$ et calculer la limite de la suite numérique $(f_n(x))$.
Preuve de la convergence uniforme : Calculer $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$ en utilisant l'étude de fonction (dérivée). Si $\lim M_n = 0$, alors il y a convergence uniforme.
Contre-exemple : Utiliser la négation de la convergence uniforme (si la limite de la fonction n'est pas continue, la convergence n'est pas uniforme).

Exemples corrigés

Soit $f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}$ sur $[0, 1]$.

$f_n(0) = 0 \to 0$. Pour $x > 0$, $f_n(x) \sim \frac{nx}{n^2x^2} = \frac{1}{nx} \to 0$. Donc $f_n \to 0$ simplement.
$f_n'(x) = \frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}$. Max en $x = 1/n$, $f_n(1/n) = 1/2$.
$M_n = 1/2 \neq 0$, donc la convergence n'est pas uniforme.

Erreurs fréquentes

Confondre convergence simple et uniforme.
Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le théorème d'interversion.
Mal calculer le sup sur un intervalle ouvert.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Suites de fonctions

1/4

Soit $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1/2]$ . La convergence est :

Soit $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1/2]$. La convergence est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la convergence uniforme implique la convergence simple ?

Oui, absolument. Si une suite de fonctions converge uniformément vers une fonction $f$ sur un intervalle $I$ , elle converge nécessairement simplement vers cette même fonction $f$ sur $I$ . La convergence uniforme est une condition beaucoup plus forte.

💡 À retenir : La convergence uniforme $\implies$ convergence simple.

Oui, absolument. Si une suite de fonctions converge uniformément vers une fonction $f$ sur un intervalle $I$, elle converge nécessairement simplement vers cette même fonction $f$ sur $I$. La convergence uniforme est une condition beaucoup plus forte.

💡 À retenir : La convergence uniforme $\implies$ convergence simple.

Kifach n3ref wach l-convergence uniforme f wahed l-intervalle ?

7seb l-limite simple $f(x)$ bach t3ref l-fct l-li kat9reb liha.
7seb $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$ .
Ila kan $\lim_{n \to +\infty} M_n = 0$ , ra l-convergence uniforme.

💡 À retenir : La convergence uniforme est équivalente à la nullité de la borne supérieure de l'écart.

7seb l-limite simple $f(x)$ bach t3ref l-fct l-li kat9reb liha.
7seb $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$.
Ila kan $\lim_{n \to +\infty} M_n = 0$, ra l-convergence uniforme.

💡 À retenir : La convergence uniforme est équivalente à la nullité de la borne supérieure de l'écart.

Si la limite simple est discontinue, que peut-on dire de la convergence ?

Si les fonctions $f_n$ sont toutes continues sur $I$ et que la limite simple $f$ est discontinue, alors la convergence ne peut pas être uniforme sur $I$ . C'est un outil très puissant pour démontrer l'absence de convergence uniforme.

💡 À retenir : Continuité de la limite est une condition nécessaire pour la convergence uniforme.

Si les fonctions $f_n$ sont toutes continues sur $I$ et que la limite simple $f$ est discontinue, alors la convergence ne peut pas être uniforme sur $I$. C'est un outil très puissant pour démontrer l'absence de convergence uniforme.

💡 À retenir : Continuité de la limite est une condition nécessaire pour la convergence uniforme.

Est-ce que fn to f uniformément sur [0, 1] implique int0^1 fn to int0^1 f ?

Oui, c'est le théorème d'intégration terme à terme. Si la convergence est uniforme sur un segment $[a, b]$ , alors l'intégrale de la limite est la limite des intégrales.

💡 À retenir : Sur un segment, convergence uniforme permet l'interversion limite-intégrale.

Oui, c'est le théorème d'intégration terme à terme. Si la convergence est uniforme sur un segment $[a, b]$, alors l'intégrale de la limite est la limite des intégrales.

💡 À retenir : Sur un segment, convergence uniforme permet l'interversion limite-intégrale.

Chno hiya l-far9 bin convergence uniforme f [0, 1] o f ]0, 1[ ?

La convergence uniforme dépend de l'intervalle. Sur un intervalle ouvert, une suite peut converger uniformément localement mais pas globalement. Il faut toujours préciser l'intervalle d'étude.

💡 À retenir : La convergence uniforme est une propriété liée à l'ensemble de définition.

Peut-on dériver la limite d'une suite de fonctions ?

Pas directement. Il faut que $f_n$ soit dérivable, que $f_n'$ converge uniformément vers une fonction $g$ , et que $f_n$ converge en au moins un point. Alors $f$ est dérivable et $f' = g$ .

💡 À retenir : La convergence des dérivées est plus exigeante que celle des fonctions.

Pas directement. Il faut que $f_n$ soit dérivable, que $f_n'$ converge uniformément vers une fonction $g$, et que $f_n$ converge en au moins un point. Alors $f$ est dérivable et $f' = g$.

💡 À retenir : La convergence des dérivées est plus exigeante que celle des fonctions.

Kifach n-montriw bli l-convergence machi uniforme ?

Il suffit de trouver une suite de points $(x_n)$ telle que $|f_n(x_n) - f(x_n)|$ ne tende pas vers 0. Souvent, on prend le point où la fonction atteint son maximum.

💡 À retenir : Un seul point "rebelle" suffit à briser l'uniformité.

Il suffit de trouver une suite de points $(x_n)$ telle que $|f_n(x_n) - f(x_n)|$ ne tende pas vers 0. Souvent, on prend le point où la fonction atteint son maximum.

💡 À retenir : Un seul point "rebelle" suffit à briser l'uniformité.

Est-ce que la somme de deux suites uniformément convergentes est uniformément convergente ?

Oui, la somme de deux suites uniformément convergentes sur $I$ est uniformément convergente sur $I$ . La limite est la somme des limites.

💡 À retenir : La convergence uniforme respecte les opérations linéaires.

Oui, la somme de deux suites uniformément convergentes sur $I$ est uniformément convergente sur $I$. La limite est la somme des limites.

💡 À retenir : La convergence uniforme respecte les opérations linéaires.

La convergence uniforme est-elle conservée par produit ?

Oui, si les suites sont bornées. Si $f_n \to f$ et $g_n \to g$ uniformément sur $I$ et que $f_n, g_n$ sont bornées, alors $f_n g_n \to fg$ uniformément.

💡 À retenir : Le produit nécessite des bornes pour rester uniforme.

Oui, si les suites sont bornées. Si $f_n \to f$ et $g_n \to g$ uniformément sur $I$ et que $f_n, g_n$ sont bornées, alors $f_n g_n \to fg$ uniformément.

💡 À retenir : Le produit nécessite des bornes pour rester uniforme.

Est-ce que fn(x) = x^n converge uniformément sur [0, 1] ?

Non. La limite simple est $f(x)=0$ si $x \in [0, 1[$ et $f(1)=1$ . La limite est discontinue, donc la convergence n'est pas uniforme.

💡 À retenir : La discontinuité de la limite simple est un obstacle immédiat.

Non. La limite simple est $f(x)=0$ si $x \in [0, 1[$ et $f(1)=1$. La limite est discontinue, donc la convergence n'est pas uniforme.

💡 À retenir : La discontinuité de la limite simple est un obstacle immédiat.

Peut-on utiliser la convergence uniforme pour calculer des limites de suites numériques ?

Oui, en passant à la limite sous le signe intégrale ou en évaluant en un point spécifique si la convergence est uniforme.

💡 À retenir : La convergence uniforme facilite les calculs de limites complexes.

Est-ce que la convergence uniforme implique la convergence en moyenne ?

Oui, sur un segment, la convergence uniforme implique la convergence de l'intégrale (convergence en moyenne).

💡 À retenir : L'uniformité est une condition suffisante très forte.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f_n(x) = \frac{x}{1+nx}$ pour $x \in [0, 1]$ .

Déterminer la limite simple $f$ de la suite $(f_n)$ .
Étudier la convergence uniforme de $(f_n)$ sur $[0, 1]$ .

Exercice 1

Soit $f_n(x) = \frac{x}{1+nx}$ pour $x \in [0, 1]$.

Déterminer la limite simple $f$ de la suite $(f_n)$.
Étudier la convergence uniforme de $(f_n)$ sur $[0, 1]$.

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Exercice 2

Soit $f_n(x) = n x e^{-nx}$ sur $[0, 1]$ .

Déterminer la limite simple $f$ de $(f_n)$ .
La convergence est-elle uniforme sur $[0, 1]$ ?

Exercice 2

Soit $f_n(x) = n x e^{-nx}$ sur $[0, 1]$.

Déterminer la limite simple $f$ de $(f_n)$.
La convergence est-elle uniforme sur $[0, 1]$ ?

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Exercice 3

Soit $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $f_n$ converge uniformément vers 0.

Exercice 3

Soit $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}$ sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f_n$ converge uniformément vers 0.

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