Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Extrema des fonctions de plusieurs variables

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f : U \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ .

Point critique : $a \in U$ est un point critique si $\nabla f(a) = 0$ , soit $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0$ pour tout $i$ .
Condition nécessaire : Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors $a$ est un point critique.
Condition suffisante : Soit $H_f(a)$ $H_{f} (a)$ la matrice Hessienne.
- Si $H_f(a)$ est définie positive, $f$ admet un minimum local en $a$ .
- Si $H_f(a)$ est définie négative, $f$ admet un maximum local en $a$ .
- Si $H_f(a)$ est indéfinie (valeurs propres de signes opposés), $a$ est un point selle.

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient et résoudre le système $\nabla f(x,y) = 0$ .
Établir la matrice Hessienne $H_f(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$ .
Utiliser le critère de Sylvester pour les matrices $2 \times 2$ : $\det(H) > 0$ et $f_{xx} > 0 \implies$ min ; $\det(H) > 0$ et $f_{xx} < 0 \implies$ max.

Exemples corrigés

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy$ .

$\nabla f = (2x-y, 2y-x) = (0,0) \implies x=y=0$ . Point critique $(0,0)$ .
$H_f = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . $\det(H) = 3 > 0$ et $f_{xx} = 2 > 0$ . Donc minimum local en $(0,0)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que la condition $\nabla f = 0$ est nécessaire mais pas suffisante.
Confondre point selle et extremum.
Oublier de vérifier si le point est dans l'ouvert $U$ .

L'essentiel du cours

Soit $f : U \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$.

Point critique : $a \in U$ est un point critique si $\nabla f(a) = 0$, soit $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0$ pour tout $i$.
Condition nécessaire : Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $a$ est un point critique.
Condition suffisante : Soit $H_f(a)$ la matrice Hessienne.
- Si $H_f(a)$ est définie positive, $f$ admet un minimum local en $a$.
- Si $H_f(a)$ est définie négative, $f$ admet un maximum local en $a$.
- Si $H_f(a)$ est indéfinie (valeurs propres de signes opposés), $a$ est un point selle.

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient et résoudre le système $\nabla f(x,y) = 0$.
Établir la matrice Hessienne $H_f(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$.
Utiliser le critère de Sylvester pour les matrices $2 \times 2$ : $\det(H) > 0$ et $f_{xx} > 0 \implies$ min ; $\det(H) > 0$ et $f_{xx} < 0 \implies$ max.

Exemples corrigés

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy$.

$\nabla f = (2x-y, 2y-x) = (0,0) \implies x=y=0$. Point critique $(0,0)$.
$H_f = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$. $\det(H) = 3 > 0$ et $f_{xx} = 2 > 0$. Donc minimum local en $(0,0)$.

Erreurs fréquentes

Oublier que la condition $\nabla f = 0$ est nécessaire mais pas suffisante.
Confondre point selle et extremum.
Oublier de vérifier si le point est dans l'ouvert $U$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Extrema des fonctions de plusieurs variables

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Soit $f(x,y) = x^2+y^2$ . Le point $(0,0)$ est :

Soit $f(x,y) = x^2+y^2$. Le point $(0,0)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un point critique est un extremum ?

Calculez la matrice Hessienne $H_f(a)$ au point critique.
Déterminez les valeurs propres de $H_f(a)$ ou utilisez le critère de Sylvester.
Si toutes les valeurs propres sont strictement positives, c'est un minimum. Si elles sont strictement négatives, c'est un maximum. Si elles sont de signes opposés, c'est un point selle.

💡 À retenir : Le signe des valeurs propres de la Hessienne dicte la nature du point critique.

Calculez la matrice Hessienne $H_f(a)$ au point critique.
Déterminez les valeurs propres de $H_f(a)$ ou utilisez le critère de Sylvester.
Si toutes les valeurs propres sont strictement positives, c'est un minimum. Si elles sont strictement négatives, c'est un maximum. Si elles sont de signes opposés, c'est un point selle.

💡 À retenir : Le signe des valeurs propres de la Hessienne dicte la nature du point critique.

Kifach n7seb les dérivées partielles f-fonction fiha 3 variables ?

Pour $\frac{\partial f}{\partial x}$ , tu considères $y$ et $z$ comme des constantes.
Pour $\frac{\partial f}{\partial y}$ , tu considères $x$ et $z$ comme des constantes.
Pour $\frac{\partial f}{\partial z}$ , tu considères $x$ et $y$ comme des constantes.

💡 À retenir : Dériver par rapport à une variable, c'est traiter les autres comme des nombres fixes.

Pour $\frac{\partial f}{\partial x}$, tu considères $y$ et $z$ comme des constantes.
Pour $\frac{\partial f}{\partial y}$, tu considères $x$ et $z$ comme des constantes.
Pour $\frac{\partial f}{\partial z}$, tu considères $x$ et $y$ comme des constantes.

💡 À retenir : Dériver par rapport à une variable, c'est traiter les autres comme des nombres fixes.

Est-ce qu'un point critique est toujours un extremum ?

Non, absolument pas. Un point critique est seulement un endroit où le plan tangent est horizontal. Il peut s'agir d'un maximum, d'un minimum ou d'un point selle (comme le sommet d'une selle de cheval).

💡 À retenir : La nullité du gradient est une condition nécessaire, pas suffisante.

Chno hiya "matrice définie positive" f-had l-chapiitre ?

C'est une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Pour une matrice $2 \times 2$ , cela revient à dire que son déterminant est positif et que son premier élément diagonal est positif.

💡 À retenir : Une matrice définie positive garantit une courbure "vers le haut" (convexe).

C'est une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Pour une matrice $2 \times 2$, cela revient à dire que son déterminant est positif et que son premier élément diagonal est positif.

💡 À retenir : Une matrice définie positive garantit une courbure "vers le haut" (convexe).

Peut-on avoir un extremum sans que le gradient soit nul ?

Si la fonction est dérivable sur un ouvert, non. Cependant, si l'on travaille sur un domaine fermé (avec bord), il peut y avoir des extrema sur le bord du domaine où le gradient n'est pas nul.

💡 À retenir : Sur un ouvert, le gradient doit être nul. Sur un fermé, il faut aussi tester le bord.

Kifach n3ref wach l-matrice Hessienne hiya définie négative ?

Calcule $\det(H)$ . S'il est positif, regarde le signe de $f_{xx}$ .
Si $\det(H) > 0$ et $f_{xx} < 0$ , alors elle est définie négative.
Sinon, vérifie que les valeurs propres sont toutes négatives.

💡 À retenir : $\det(H) > 0$ et $f_{xx} < 0$ est la signature d'un maximum local.

Calcule $\det(H)$. S'il est positif, regarde le signe de $f_{xx}$.
Si $\det(H) > 0$ et $f_{xx} < 0$, alors elle est définie négative.
Sinon, vérifie que les valeurs propres sont toutes négatives.

💡 À retenir : $\det(H) > 0$ et $f_{xx} < 0$ est la signature d'un maximum local.

Quelle est la différence entre extremum global et local ?

Un extremum local est la valeur la plus grande ou petite dans un petit voisinage du point. Un extremum global est la valeur la plus grande ou petite sur tout le domaine de définition de la fonction.

💡 À retenir : Tout extremum global est local, mais la réciproque est fausse.

Pourquoi on demande que la fonction soit de classe C^2 ?

Pour que la matrice Hessienne soit bien définie et symétrique (théorème de Schwarz). Si la fonction n'est pas $C^2$ , on ne peut pas garantir l'égalité des dérivées croisées $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

💡 À retenir : La régularité $C^2$ est indispensable pour utiliser la Hessienne.

Pour que la matrice Hessienne soit bien définie et symétrique (théorème de Schwarz). Si la fonction n'est pas $C^2$, on ne peut pas garantir l'égalité des dérivées croisées $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.

💡 À retenir : La régularité $C^2$ est indispensable pour utiliser la Hessienne.

Comment traiter les points où le gradient n'existe pas ?

Ces points ne sont pas des points critiques au sens du calcul différentiel classique. Il faut étudier la fonction localement (par exemple par un développement limité ou une étude de signe) pour déterminer s'il s'agit d'un extremum.

💡 À retenir : La non-dérivabilité nécessite une étude au cas par cas.

Est-ce que le déterminant de la Hessienne peut être nul ?

Oui. Si $\det(H) = 0$ , le test de la Hessienne est "non concluant". On ne peut rien conclure sur la nature du point critique avec cette seule méthode. Il faut alors regarder les termes d'ordre supérieur (Taylor).

💡 À retenir : Si $\det(H) = 0$ , le test est inopérant.

Oui. Si $\det(H) = 0$, le test de la Hessienne est "non concluant". On ne peut rien conclure sur la nature du point critique avec cette seule méthode. Il faut alors regarder les termes d'ordre supérieur (Taylor).

💡 À retenir : Si $\det(H) = 0$, le test est inopérant.

Est-ce que les valeurs propres sont toujours réelles ?

Oui, car la matrice Hessienne d'une fonction de classe $C^2$ est symétrique. D'après le théorème spectral, toute matrice symétrique réelle possède des valeurs propres réelles.

💡 À retenir : La symétrie de la Hessienne garantit des valeurs propres réelles.

Oui, car la matrice Hessienne d'une fonction de classe $C^2$ est symétrique. D'après le théorème spectral, toute matrice symétrique réelle possède des valeurs propres réelles.