Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Calcul différentiel

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f: U \to \mathbb{R}^m$ .

Définition : $f$ est différentiable en $a \in U$ s'il existe une application linéaire $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ telle que : $f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)$ quand $h \to 0$ .
Matrice Jacobienne : Si $f$ est différentiable en $a$ , sa différentielle $df_a$ est représentée par la matrice $J_f(a) = \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \right)_{i,j}$ .
Théorème : Si les dérivées partielles existent et sont continues sur $U$ , alors $f$ est de classe $C^1$ et donc différentiable.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la différentielle : Utiliser la définition ou calculer les dérivées partielles pour former la matrice Jacobienne.
Différentiabilité d'une composée : Utiliser la règle de la chaîne : $d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a$ .
Vérification de la classe $C^1$ : Vérifier la continuité des dérivées partielles sur l'ouvert considéré.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x,y) = x^2y$ . $df_{(x,y)}(h_1, h_2) = \frac{\partial f}{\partial x}h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}h_2 = 2xyh_1 + x^2h_2$ .
Exemple 2 : Pour $f(x,y) = (e^x, \sin(xy))$ , la matrice Jacobienne est $\begin{pmatrix} e^x & 0 \\ y\cos(xy) & x\cos(xy) \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre différentiabilité et existence des dérivées partielles (l'existence ne suffit pas).
Oublier le reste $o(\|h\|)$ dans la définition.
Ne pas préciser que l'application doit être linéaire.

L'essentiel du cours

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f: U \to \mathbb{R}^m$.

Définition : $f$ est différentiable en $a \in U$ s'il existe une application linéaire $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ telle que : $f(a+h) = f(a) + L(h) + o(|h|)$ quand $h \to 0$.
Matrice Jacobienne : Si $f$ est différentiable en $a$, sa différentielle $df_a$ est représentée par la matrice $J_f(a) = \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \right)_{i,j}$.
Théorème : Si les dérivées partielles existent et sont continues sur $U$, alors $f$ est de classe $C^1$ et donc différentiable.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la différentielle : Utiliser la définition ou calculer les dérivées partielles pour former la matrice Jacobienne.
Différentiabilité d'une composée : Utiliser la règle de la chaîne : $d(g \circ f)a = dg{f(a)} \circ df_a$.
Vérification de la classe $C^1$ : Vérifier la continuité des dérivées partielles sur l'ouvert considéré.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x,y) = x^2y$. $df_{(x,y)}(h_1, h_2) = \frac{\partial f}{\partial x}h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}h_2 = 2xyh_1 + x^2h_2$.
Exemple 2 : Pour $f(x,y) = (e^x, \sin(xy))$, la matrice Jacobienne est $\begin{pmatrix} e^x & 0 \ y\cos(xy) & x\cos(xy) \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Confondre différentiabilité et existence des dérivées partielles (l'existence ne suffit pas).
Oublier le reste $o(|h|)$ dans la définition.
Ne pas préciser que l'application doit être linéaire.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul différentiel

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La matrice Jacobienne d'une fonction $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ est de taille :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que si toutes les dérivées partielles existent, la fonction est forcément différentiable ?

Non, ce n'est pas suffisant. L'existence des dérivées partielles assure seulement la directionnalité, mais pas la continuité de l'approximation linéaire. Il faut que les dérivées partielles soient continues (classe $C^1$ ) pour garantir la différentiabilité.

💡 À retenir : Existence des dérivées partielles $\neq$ Différentiabilité.

Kifach n-7seb la matrice Jacobienne dial fonction f(x,y,z) = (x+y, z^2) ?

Tu calcules les dérivées partielles de chaque composante par rapport à chaque variable.
La première ligne correspond à la dérivée de $x+y$ : $(1, 1, 0)$ .
La deuxième ligne correspond à la dérivée de $z^2$ : $(0, 0, 2z)$ .
La matrice est donc $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2z \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Lignes = composantes, Colonnes = variables.

Tu calcules les dérivées partielles de chaque composante par rapport à chaque variable.
La première ligne correspond à la dérivée de $x+y$ : $(1, 1, 0)$.
La deuxième ligne correspond à la dérivée de $z^2$ : $(0, 0, 2z)$.
La matrice est donc $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 2z \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Lignes = composantes, Colonnes = variables.

C'est quoi le lien entre la différentielle et le gradient ?

Le gradient est un vecteur, tandis que la différentielle est une forme linéaire. Pour une fonction $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , on a $df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$ . Le gradient est le vecteur dont les coordonnées sont les dérivées partielles.

💡 À retenir : $df_a(h) = \nabla f(a) \cdot h$ .

Le gradient est un vecteur, tandis que la différentielle est une forme linéaire. Pour une fonction $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, on a $df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$. Le gradient est le vecteur dont les coordonnées sont les dérivées partielles.

💡 À retenir : $df_a(h) = \nabla f(a) \cdot h$.

Chno hiya "o(|h|)" f'ta3rif dial différentielle ?

C'est une notation qui signifie que le reste de l'approximation devient négligeable par rapport à la norme de $h$ quand $h$ tend vers zéro. Mathématiquement : $\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a+h) - f(a) - L(h)\|}{\|h\|} = 0$ .

💡 À retenir : C'est l'erreur d'approximation qui doit tendre vers 0 très vite.

Comment montrer qu'une fonction est de classe C^1 ?

Tu calcules les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ .
Tu vérifies que ces fonctions sont continues sur l'ouvert $U$ .
Si elles sont continues, alors $f$ est $C^1$ .

💡 À retenir : $C^1$ = dérivées partielles existent et sont continues.

Tu calcules les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_i}$.
Tu vérifies que ces fonctions sont continues sur l'ouvert $U$.
Si elles sont continues, alors $f$ est $C^1$.

💡 À retenir : $C^1$ = dérivées partielles existent et sont continues.

Wach la différentielle kat-bdel ila bdelna la base ?

La différentielle en tant qu'application linéaire est un objet intrinsèque, elle ne dépend pas de la base. Par contre, la matrice Jacobienne, elle, dépend de la base choisie pour représenter cette application.

💡 À retenir : L'application est unique, la matrice dépend de la base.

Est-ce qu'une fonction différentiable est forcément continue ?

Oui, toute fonction différentiable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. C'est une condition nécessaire.

💡 À retenir : Différentiable $\implies$ Continue.

Oui, toute fonction différentiable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. C'est une condition nécessaire.

💡 À retenir : Différentiable $\implies$ Continue.

Kifach n-st3mlo la règle de la chaîne f'exercice ?

Si tu as $h = g \circ f$ , alors $dh_a = dg_{f(a)} \circ df_a$ . En termes de matrices, cela revient à multiplier la matrice Jacobienne de $g$ par celle de $f$ .

💡 À retenir : $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a)$ .

Si tu as $h = g \circ f$, alors $dh_a = dg_{f(a)} \circ df_a$. En termes de matrices, cela revient à multiplier la matrice Jacobienne de $g$ par celle de $f$.

💡 À retenir : $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a)$.

Pourquoi on utilise la norme euclidienne dans la définition ?

Parce que dans $\mathbb{R}^n$ , toutes les normes sont équivalentes. La définition de la différentiabilité ne dépend pas du choix de la norme, mais la norme euclidienne est la plus simple pour les calculs.

💡 À retenir : Le choix de la norme ne change pas la différentiabilité.

Parce que dans $\mathbb{R}^n$, toutes les normes sont équivalentes. La définition de la différentiabilité ne dépend pas du choix de la norme, mais la norme euclidienne est la plus simple pour les calculs.

💡 À retenir : Le choix de la norme ne change pas la différentiabilité.

Est-ce que la différentielle est unique ?

Oui, si elle existe, l'application linéaire $L$ est unique. On la note $df_a$ .

💡 À retenir : Unicité de l'approximation linéaire.

Oui, si elle existe, l'application linéaire $L$ est unique. On la note $df_a$.

💡 À retenir : Unicité de l'approximation linéaire.

Est-ce qu'une fonction peut être différentiable sans être C^1 ?

Oui, c'est possible. Une fonction peut être différentiable en un point sans que ses dérivées partielles soient continues au voisinage de ce point.

💡 À retenir : $C^1 \implies$ Différentiable, mais la réciproque est fausse.

Oui, c'est possible. Une fonction peut être différentiable en un point sans que ses dérivées partielles soient continues au voisinage de ce point.

💡 À retenir : $C^1 \implies$ Différentiable, mais la réciproque est fausse.

Comment calculer la différentielle d'une somme de fonctions ?

La différentielle est une opération linéaire : $d(f+g)_a = df_a + dg_a$ . C'est très pratique pour décomposer des calculs complexes.

💡 À retenir : La différentielle respecte la linéarité.

La différentielle est une opération linéaire : $d(f+g)_a = df_a + dg_a$. C'est très pratique pour décomposer des calculs complexes.

💡 À retenir : La différentielle respecte la linéarité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = x^2 + y^2$ .

Calculer les dérivées partielles de $f$ .
Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2$ .
Déterminer $df_{(x,y)}(h_1, h_2)$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = x^2 + y^2$.

Calculer les dérivées partielles de $f$.
Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2$.
Déterminer $df_{(x,y)}(h_1, h_2)$.

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Exercice 2

Soit $f(x,y) = (x+y, xy)$ . Calculer la matrice Jacobienne de $f$ en tout point $(x,y)$ .

Exercice 2

Soit $f(x,y) = (x+y, xy)$. Calculer la matrice Jacobienne de $f$ en tout point $(x,y)$.

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Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ . Étudier la continuité de $f$ en $(0,0)$ .

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$. Étudier la continuité de $f$ en $(0,0)$.

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