📐 ⚡ Défi flash Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours Un espace préhilbertien réel $E$ est un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique définie positive notée $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
Norme associée : $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \le |x| \cdot |y|$.Inégalité triangulaire : $|x+y| \le |x| + |y|$.Identité du parallélogramme : $|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2)$.
Vérifier qu'une forme est un produit scalaire : Vérifier la bilinéarité, la symétrie et le caractère défini positif (positivité + annulation).Orthogonaliser une base : Utiliser le procédé de Gram-Schmidt pour transformer une base $(e_1, \dots, e_n)$ en une base orthogonale $(u_1, \dots, u_n)$.Calculer une distance : Utiliser $d(x, F) = \min_{y \in F} |x-y|$.
Exemple 1 : Dans $\mathbb{R}^2$, $\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1x_2 + 2y_1y_2$ est un produit scalaire.Exemple 2 : Si $(e_i)$ est une famille orthonormée, alors $| \sum \lambda_i e_i |^2 = \sum \lambda_i^2$.
Oublier de vérifier que la forme est "définie" (si $\langle x, x \rangle = 0$ alors $x=0$). Confondre famille orthogonale (produit scalaire nul) et famille orthonormée (norme 1 en plus). Appliquer Pythagore sans vérifier que les vecteurs sont orthogonaux. 🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.
Tout en arabe Produit scalaire Touche pour traduire Norme euclidienne Touche pour traduire Espace préhilbertien Touche pour traduire Orthogonalité Touche pour traduire Famille orthogonale Touche pour traduire Famille orthonormée Touche pour traduire Inégalité de Cauchy-Schwarz Touche pour traduire Inégalité de Minkowski Touche pour traduire Projection orthogonale Touche pour traduire Procédé de Gram-Schmidt Touche pour traduire Supplémentaire orthogonal Touche pour traduire Théorème de Pythagore Touche pour traduire Vecteurs colinéaires Touche pour traduire
La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à Ustad Zéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit. Commencer gratuitement ❓ Questions fréquentes Kifach n3ref wach had la forme hiya produit scalaire wla la ?
Vérifie la bilinéarité (linéarité par rapport à chaque variable).
Vérifie la symétrie : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$.
Vérifie le caractère défini positif : $\langle x, x \rangle \ge 0$ et $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$.
💡 À retenir : Si l'une de ces conditions manque, ce n'est pas un produit scalaire.
Chno hiya l'far9 bin espace préhilbertien et espace euclidien ? La différence est simple : un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie .
💡 À retenir : Tout espace euclidien est préhilbertien, mais la réciproque est fausse en dimension infinie.
Kifach nطبق Gram-Schmidt f'exercice ?
Pose $u_1 = e_1$.
Calcule $u_2 = e_2 - \frac{\langle e_2, u_1 \rangle}{|u_1|^2} u_1$.
Continue pour $u_n$ en soustrayant les projections sur tous les $u_i$ précédents.
💡 À retenir : À chaque étape, vérifie que $\langle u_n, u_i \rangle = 0$ pour $i < n$.
Qu'est-ce que le supplémentaire orthogonal d'un sous-espace F ? C'est l'ensemble $F^\perp = {x \in E \mid \forall y \in F, \langle x, y \rangle = 0}$. En dimension finie, $E = F \oplus F^\perp$.
💡 À retenir : $F^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel de $E$.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est-elle toujours une égalité ? Non, c'est une inégalité large. L'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs $x$ et $y$ sont colinéaires.
💡 À retenir : C'est un outil puissant pour majorer des produits scalaires.
Est-ce que la norme est toujours définie par un produit scalaire ? Non. Une norme est associée à un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme.
💡 À retenir : Si l'identité du parallélogramme échoue, la norme ne provient pas d'un produit scalaire.
Comment calculer la distance d'un vecteur à un sous-espace F ? Si $F$ est de dimension finie, on cherche la projection orthogonale $p_F(x)$. La distance est alors $|x - p_F(x)|$.
💡 À retenir : La projection orthogonale est le point de $F$ le plus proche de $x$.
Est-ce que toute famille orthogonale est libre ? Oui, à condition qu'aucun vecteur de la famille ne soit le vecteur nul.
💡 À retenir : Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est toujours libre.
Pourquoi on dit "réel" dans espace préhilbertien réel ? Parce que le corps de base est $\mathbb{R}$. Si le corps était $\mathbb{C}$, on parlerait d'espace hermitien avec une forme sesquilinéaire.
💡 À retenir : Le programme PSI se limite aux espaces réels.
Est-ce que le produit scalaire est distributif ? Oui, grâce à la bilinéarité : $\langle x+y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle$.
💡 À retenir : La distributivité est une conséquence directe de la linéarité.
Comment normaliser une famille orthogonale ? Il suffit de diviser chaque vecteur $u_i$ par sa norme $|u_i|$. La nouvelle famille $v_i = \frac{u_i}{|u_i|}$ est orthonormée.
💡 À retenir : La normalisation ne change pas la direction du vecteur.
Est-ce que F cap F^perp peut contenir un vecteur non nul ? Non, car si $x \in F \cap F^\perp$, alors $\langle x, x \rangle = 0$, donc $x=0$ par définition du produit scalaire.
💡 À retenir : L'intersection est toujours réduite au vecteur nul.
✍️ Exercices type examen national Exercice 1
Soit $E = \mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique. Soit $F = \text{Vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1))$.
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel.
Déterminer une base orthonormée de $F$ par le procédé de Gram-Schmidt.
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Être prévenu(e) gratuitement Autres chapitres de Mathématiques Un espace préhilbertien réel E E E ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ \langle \cdot, \cdot \rangle ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩
Norme associée : ∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} ∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩ Cauchy-Schwarz : ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \cdot \|y\| ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ Inégalité triangulaire : ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \|x+y\| \le \|x\| + \|y\| ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ Identité du parallélogramme : ∥ x + y ∥ 2 + ∥ x − y ∥ 2 = 2 ( ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 ) \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) ∥ x + y ∥ 2 + ∥ x − y ∥ 2 = 2 ( ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 )
Vérifier qu'une forme est un produit scalaire : Vérifier la bilinéarité, la symétrie et le caractère défini positif (positivité + annulation).Orthogonaliser une base : Utiliser le procédé de Gram-Schmidt pour transformer une base ( e 1 , … , e n ) (e_1, \dots, e_n) ( e 1 , … , e n ) ( u 1 , … , u n ) (u_1, \dots, u_n) ( u 1 , … , u n ) Calculer une distance : Utiliser d ( x , F ) = min y ∈ F ∥ x − y ∥ d(x, F) = \min_{y \in F} \|x-y\| d ( x , F ) = min y ∈ F ∥ x − y ∥
Exemple 1 : Dans R 2 \mathbb{R}^2 R 2 ⟨ ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ⟩ = x 1 x 2 + 2 y 1 y 2 \langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1x_2 + 2y_1y_2 ⟨( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 )⟩ = x 1 x 2 + 2 y 1 y 2 Exemple 2 : Si ( e i ) (e_i) ( e i ) ∥ ∑ λ i e i ∥ 2 = ∑ λ i 2 \| \sum \lambda_i e_i \|^2 = \sum \lambda_i^2 ∥ ∑ λ i e i ∥ 2 = ∑ λ i 2
Oublier de vérifier que la forme est "définie" (si ⟨ x , x ⟩ = 0 \langle x, x \rangle = 0 ⟨ x , x ⟩ = 0 x = 0 x=0 x = 0 Confondre famille orthogonale (produit scalaire nul) et famille orthonormée (norme 1 en plus). Appliquer Pythagore sans vérifier que les vecteurs sont orthogonaux. Dans un espace euclidien, si ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x, y \rangle = 0 ⟨ x , y ⟩ = 0 ⟨ x , z ⟩ = 0 \langle x, z \rangle = 0 ⟨ x , z ⟩ = 0
⟨ x , y + z ⟩ = 0 \langle x, y+z \rangle = 0 ⟨ x , y + z ⟩ = 0
⟨ x , y + z ⟩ = 1 \langle x, y+z \rangle = 1 ⟨ x , y + z ⟩ = 1
⟨ x , y + z ⟩ = ∥ x ∥ 2 \langle x, y+z \rangle = \|x\|^2 ⟨ x , y + z ⟩ = ∥ x ∥ 2
⟨ x , y + z ⟩ = ⟨ y , z ⟩ \langle x, y+z \rangle = \langle y, z \rangle ⟨ x , y + z ⟩ = ⟨ y , z ⟩
Vérifie la bilinéarité (linéarité par rapport à chaque variable).
Vérifie la symétrie : ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩
Vérifie le caractère défini positif : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 \langle x, x \rangle \ge 0 ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0 \langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0 ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0
💡 À retenir : Si l'une de ces conditions manque, ce n'est pas un produit scalaire.
Pose u 1 = e 1 u_1 = e_1 u 1 = e 1
Calcule u 2 = e 2 − ⟨ e 2 , u 1 ⟩ ∥ u 1 ∥ 2 u 1 u_2 = e_2 - \frac{\langle e_2, u_1 \rangle}{\|u_1\|^2} u_1 u 2 = e 2 − ∥ u 1 ∥ 2 ⟨ e 2 , u 1 ⟩ u 1
Continue pour u n u_n u n u i u_i u i
💡 À retenir : À chaque étape, vérifie que ⟨ u n , u i ⟩ = 0 \langle u_n, u_i \rangle = 0 ⟨ u n , u i ⟩ = 0 i < n i < n i < n
C'est l'ensemble F ⊥ = { x ∈ E ∣ ∀ y ∈ F , ⟨ x , y ⟩ = 0 } F^\perp = \{x \in E \mid \forall y \in F, \langle x, y \rangle = 0\} F ⊥ = { x ∈ E ∣ ∀ y ∈ F , ⟨ x , y ⟩ = 0 } E = F ⊕ F ⊥ E = F \oplus F^\perp E = F ⊕ F ⊥
💡 À retenir : F ⊥ F^\perp F ⊥ E E E
Non, c'est une inégalité large. L'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs x x x y y y
💡 À retenir : C'est un outil puissant pour majorer des produits scalaires.
Si F F F p F ( x ) p_F(x) p F ( x ) ∥ x − p F ( x ) ∥ \|x - p_F(x)\| ∥ x − p F ( x ) ∥
💡 À retenir : La projection orthogonale est le point de F F F x x x
Parce que le corps de base est R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C
💡 À retenir : Le programme PSI se limite aux espaces réels.
Oui, grâce à la bilinéarité : ⟨ x + y , z ⟩ = ⟨ x , z ⟩ + ⟨ y , z ⟩ \langle x+y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle ⟨ x + y , z ⟩ = ⟨ x , z ⟩ + ⟨ y , z ⟩
💡 À retenir : La distributivité est une conséquence directe de la linéarité.
Il suffit de diviser chaque vecteur u i u_i u i ∥ u i ∥ \|u_i\| ∥ u i ∥ v i = u i ∥ u i ∥ v_i = \frac{u_i}{\|u_i\|} v i = ∥ u i ∥ u i
💡 À retenir : La normalisation ne change pas la direction du vecteur.
Non, car si x ∈ F ∩ F ⊥ x \in F \cap F^\perp x ∈ F ∩ F ⊥ ⟨ x , x ⟩ = 0 \langle x, x \rangle = 0 ⟨ x , x ⟩ = 0 x = 0 x=0 x = 0
💡 À retenir : L'intersection est toujours réduite au vecteur nul.
Exercice 1
Soit E = R 3 E = \mathbb{R}^3 E = R 3 F = Vect ( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ) F = \text{Vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1)) F = Vect (( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ))
Montrer que F F F
Déterminer une base orthonormée de F F F
Exercice 2
Soit E = C ( [ 0 , 1 ] , R ) E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) E = C ([ 0 , 1 ] , R ) ⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 1 f ( t ) g ( t ) d t \langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) dt ⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 1 f ( t ) g ( t ) d t f 0 ( t ) = 1 f_0(t) = 1 f 0 ( t ) = 1 f 1 ( t ) = t f_1(t) = t f 1 ( t ) = t ⟨ f 0 , f 1 ⟩ \langle f_0, f_1 \rangle ⟨ f 0 , f 1 ⟩ ∥ f 1 ∥ \|f_1\| ∥ f 1 ∥
Exercice 3
Soit E E E ∀ x , y ∈ E , ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 ⟺ ⟨ x , y ⟩ = 0 \forall x, y \in E, \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \iff \langle x, y \rangle = 0 ∀ x , y ∈ E , ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 ⟺ ⟨ x , y ⟩ = 0