Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Probabilités sur un univers fini

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $\Omega$ un univers fini. Une probabilité $P$ sur $\Omega$ est une application $P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$ telle que $P(\Omega) = 1$ et pour tout couple d'événements disjoints $(A, B)$ , $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Si $\Omega$ est muni d'une équiprobabilité, pour tout $A \subset \Omega$ , $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$ .
Formule des probabilités totales : Si $(A_i)_{i \in I}$ est un système complet d'événements, alors $P(B) = \sum_{i \in I} P(B|A_i)P(A_i)$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les arrangements $A_n^k$ (ordre compte) ou les combinaisons $C_n^k$ (ordre ne compte pas).
Calcul d'intersection : Utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ .
Utilisation du complémentaire : $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ , très utile pour les événements "au moins un".

Exemples corrigés

Tirage de 2 boules parmi 10 : $\text{card}(\Omega) = C_{10}^2 = 45$ .
Si $P(A) = 0.3$ et $P(B|A) = 0.5$ , alors $P(A \cap B) = 0.3 \times 0.5 = 0.15$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$ .
Oublier de vérifier si les événements forment un système complet avant d'appliquer la formule des probabilités totales.
Utiliser $C_n^k$ quand l'ordre est important.

L'essentiel du cours

Si $\Omega$ est muni d'une équiprobabilité, pour tout $A \subset \Omega$, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$.
Formule des probabilités totales : Si $(A_i){i \in I}$ est un système complet d'événements, alors $P(B) = \sum{i \in I} P(B|A_i)P(A_i)$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les arrangements $A_n^k$ (ordre compte) ou les combinaisons $C_n^k$ (ordre ne compte pas).
Calcul d'intersection : Utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$.
Utilisation du complémentaire : $P(A) = 1 - P(\overline{A})$, très utile pour les événements "au moins un".

Exemples corrigés

Tirage de 2 boules parmi 10 : $\text{card}(\Omega) = C_{10}^2 = 45$.
Si $P(A) = 0.3$ et $P(B|A) = 0.5$, alors $P(A \cap B) = 0.3 \times 0.5 = 0.15$.

Erreurs fréquentes

Confondre $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$.
Oublier de vérifier si les événements forment un système complet avant d'appliquer la formule des probabilités totales.
Utiliser $C_n^k$ quand l'ordre est important.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Probabilités sur un univers fini

1/4

Dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 noires, on tire une boule. Quelle est la probabilité d'avoir une blanche ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach nst3mel An^k wla Cn^k f l'exercice ?

Chuf wach l'ordre dyal les éléments li khditi mhm (ex: podium, numéro de téléphone) -> $A_n^k$ .
Ila kan l'ordre ma kayswetch (ex: tirage d'une main de cartes, groupe de personnes) -> $C_n^k$ .

💡 À retenir : L'ordre compte = Arrangement ; L'ordre ne compte pas = Combinaison.

Chuf wach l'ordre dyal les éléments li khditi mhm (ex: podium, numéro de téléphone) -> $A_n^k$.
Ila kan l'ordre ma kayswetch (ex: tirage d'une main de cartes, groupe de personnes) -> $C_n^k$.

💡 À retenir : L'ordre compte = Arrangement ; L'ordre ne compte pas = Combinaison.

Chno hiya l'farq bin l'événements indépendants w l'événements incompatibles ?

Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$ , donc $P(A \cap B) = 0$ . Ils ne peuvent pas arriver ensemble.
Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . L'un n'influence pas la probabilité de l'autre.

💡 À retenir : Incompatible = ne peuvent pas arriver ensemble ; Indépendant = l'un n'influence pas l'autre.

Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$. Ils ne peuvent pas arriver ensemble.
Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. L'un n'influence pas la probabilité de l'autre.

💡 À retenir : Incompatible = ne peuvent pas arriver ensemble ; Indépendant = l'un n'influence pas l'autre.

Kifach n7seb l'probabilité dyal "au moins un" ?

Dima khdem b l'événement contraire.
L'événement contraire de "au moins un" est "aucun".
$P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

Dima khdem b l'événement contraire.
L'événement contraire de "au moins un" est "aucun".
$P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Est-ce que la formule de Bayes est toujours nécessaire ?

Non, elle est utile quand on connaît $P(B|A)$ et qu'on cherche $P(A|B)$ . Elle permet d'inverser le conditionnement.

💡 À retenir : Bayes sert à inverser le conditionnement.

Non, elle est utile quand on connaît $P(B|A)$ et qu'on cherche $P(A|B)$. Elle permet d'inverser le conditionnement.

💡 À retenir : Bayes sert à inverser le conditionnement.

Comment démontrer que deux événements sont indépendants ?

Il faut calculer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ séparément, puis comparer les résultats. S'ils sont égaux, alors ils sont indépendants.

💡 À retenir : Indépendance $\iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

Il faut calculer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ séparément, puis comparer les résultats. S'ils sont égaux, alors ils sont indépendants.

💡 À retenir : Indépendance $\iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Peut-on avoir une probabilité supérieure à 1 ?

Non, par définition, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves plus, vérifie tes calculs de cardinal.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, par définition, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves plus, vérifie tes calculs de cardinal.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Qu'est-ce qu'un système complet d'événements ?

C'est une famille d'événements $(A_i)$ tels que leur réunion est $\Omega$ et ils sont deux à deux disjoints.

💡 À retenir : Union = $\Omega$ et Intersection = $\emptyset$ .

C'est une famille d'événements $(A_i)$ tels que leur réunion est $\Omega$ et ils sont deux à deux disjoints.

💡 À retenir : Union = $\Omega$ et Intersection = $\emptyset$.

Pourquoi on utilise souvent le dénombrement ?

Parce que dans les cas d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ . Le dénombrement permet de calculer ces cardinaux.

💡 À retenir : Dénombrement = outil de calcul de probabilité.

Parce que dans les cas d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$. Le dénombrement permet de calculer ces cardinaux.

💡 À retenir : Dénombrement = outil de calcul de probabilité.

Si P(A) = 0, que signifie l'événement A ?

Cela signifie que $A$ est un événement quasi-impossible (il ne se réalisera jamais dans le modèle choisi).

💡 À retenir : $P(A) = 0 \implies$ événement impossible.

Cela signifie que $A$ est un événement quasi-impossible (il ne se réalisera jamais dans le modèle choisi).

💡 À retenir : $P(A) = 0 \implies$ événement impossible.

Quelle est la différence entre tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise, les tirages sont indépendants et le nombre de choix reste constant. Sans remise, le nombre de choix diminue et les tirages sont dépendants.

💡 À retenir : Avec remise = Indépendant ; Sans remise = Dépendant.

Comment calculer P(A cup B) ?

On utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection !

On utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection !

Est-ce que P(A|B) = P(B|A) ?

Non, sauf cas très particuliers. Ce sont deux probabilités conditionnelles différentes.

💡 À retenir : $P(A|B) \neq P(B|A)$ en général.

Non, sauf cas très particuliers. Ce sont deux probabilités conditionnelles différentes.

💡 À retenir : $P(A|B) \neq P(B|A)$ en général.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire 2 boules simultanément. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.

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Exercice 2

Un dé équilibré est lancé. Si le résultat est pair, on tire une boule d'une urne U1 (2R, 3N). S'il est impair, on tire d'une urne U2 (4R, 1N). Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.

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Exercice 3

On tire successivement 3 cartes d'un jeu de 32, sans remise. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un As ?

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