Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Un espace euclidien $E$ est un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
Produit scalaire : Forme bilinéaire, symétrique, définie et positive.
Norme : $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.
Théorème de Pythagore : $x \perp y \iff |x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2$.
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq |x| \cdot |y|$.
Théorème de projection : Si $F$ est un sous-espace de $E$, alors $E = F \oplus F^\perp$.
Méthodes à maîtriser
Orthonormalisation de Gram-Schmidt : Pour transformer une base $(e_1, \dots, e_n)$ en une base orthonormée $(u_1, \dots, u_n)$.
Calcul de projection : Utiliser une base orthonormée $(u_i)$ de $F$ : $p_F(x) = \sum_{i=1}^k \langle x, u_i \rangle u_i$.
Vérification d'orthogonalité : Toujours vérifier si la famille est libre avant d'orthonormaliser.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire usuel, la famille ${(1,1), (1,-1)}$ est orthogonale. Après normalisation, on obtient ${(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})}$.
Exemple 2 : Soit $F = \text{Vect}((1,1,1))$. $F^\perp$ est le plan d'équation $x+y+z=0$.
Erreurs fréquentes
Oublier que le produit scalaire doit être défini (si $\langle x, x \rangle = 0$ alors $x=0$).
Appliquer Gram-Schmidt sur une famille liée.
Confondre la norme euclidienne avec la norme infinie.
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Soit $E$ un espace euclidien. Si $\langle x, y \rangle = 0$, alors :
❓ Questions fréquentes
Est-ce que tout espace préhilbertien est euclidien ?
Non. Un espace est dit euclidien s'il est de dimension finie. Un espace préhilbertien peut être de dimension infinie (comme l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$).
Khassou ykon bilinéaire (linéaire f kol variable).
Khassou ykon symétrique ($\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$).
Khassou ykon défini positif ($\langle x, x \rangle \geq 0$ et $\langle x, x \rangle = 0 \iff x=0$).
💡 À retenir : Vérifie toujours la condition "défini" en résolvant $\langle x, x \rangle = 0$.
C'est quoi la différence entre orthogonal et supplémentaire orthogonal ?
L'orthogonalité est une relation entre deux vecteurs. Le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est l'ensemble de tous les vecteurs de $E$ qui sont orthogonaux à chaque vecteur de $F$.
💡 À retenir : $F^\perp = {x \in E / \forall y \in F, \langle x, y \rangle = 0}$.
Wach Gram-Schmidt kaysla7 ghir l-les bases?
Oui, Gram-Schmidt s'applique à une famille libre pour obtenir une base orthonormée du sous-espace engendré par cette famille.
💡 À retenir : Si la famille est liée, le procédé échoue (on obtient un vecteur nul).
Comment calculer la distance d'un point à un sous-espace ?
La distance $d(x, F)$ est égale à $|x - p_F(x)|$, où $p_F(x)$ est la projection orthogonale de $x$ sur $F$.
💡 À retenir : La distance est la norme du vecteur "erreur" de projection.
Kifach n7seb l-projection orthogonale ila ma3ndich base orthonormée ?
Il faut d'abord orthonormaliser la base de $F$ en utilisant Gram-Schmidt, puis appliquer la formule de projection.
💡 À retenir : La formule $\sum \langle x, u_i \rangle u_i$ ne marche qu'avec une base orthonormée.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est-elle toujours une égalité ?
Non, c'est une inégalité. L'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs $x$ et $y$ sont colinéaires.
💡 À retenir : $|\langle x, y \rangle| = |x| |y| \iff x, y$ liés.
Est-ce que F cap F^perp est toujours réduit à {0} ?
Oui, car si $x \in F \cap F^\perp$, alors $\langle x, x \rangle = 0$ (car $x \in F$ et $x \in F^\perp$), donc $x=0$.
💡 À retenir : L'intersection d'un sous-espace et de son orthogonal est toujours nulle.
Est-ce que tout endomorphisme est un projecteur orthogonal ?
Non. Un endomorphisme $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $p^2 = p$ (projecteur) et $p^* = p$ (autoadjoint).
💡 À retenir : Projecteur orthogonal = Projecteur + Autoadjoint.
Peut-on utiliser le produit scalaire usuel dans tous les exercices ?
Non, seulement si l'énoncé le précise. Sinon, il faut utiliser le produit scalaire défini dans l'exercice.
💡 À retenir : Toujours lire la définition du produit scalaire au début de l'énoncé.
Soit $E = \mathbb{R}_2[X]$ muni du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t) dt$.
Calculer la projection orthogonale de $P(X) = X^2$ sur $F = \text{Vect}(1)$.
Un espace euclidien E est un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire ⟨⋅,⋅⟩.
Produit scalaire : Forme bilinéaire, symétrique, définie et positive.
Norme : ∥x∥=⟨x,x⟩.
Théorème de Pythagore : x⊥y⟺∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2.
Inégalité de Cauchy-Schwarz : ∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥⋅∥y∥.
Théorème de projection : Si F est un sous-espace de E, alors E=F⊕F⊥.
Méthodes à maîtriser
Orthonormalisation de Gram-Schmidt : Pour transformer une base (e1,…,en) en une base orthonormée (u1,…,un).
Calcul de projection : Utiliser une base orthonormée (ui) de F : pF(x)=∑i=1k⟨x,ui⟩ui.
Vérification d'orthogonalité : Toujours vérifier si la famille est libre avant d'orthonormaliser.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Dans R2 muni du produit scalaire usuel, la famille {(1,1),(1,−1)} est orthogonale. Après normalisation, on obtient {(21,21),(21,−21)}.
Exemple 2 : Soit F=Vect((1,1,1)). F⊥ est le plan d'équation x+y+z=0.
Erreurs fréquentes
Oublier que le produit scalaire doit être défini (si ⟨x,x⟩=0 alors x=0).
Appliquer Gram-Schmidt sur une famille liée.
Confondre la norme euclidienne avec la norme infinie.
Soit E un espace euclidien. Si ⟨x,y⟩=0, alors :
x=0 ou y=0
∥x+y∥=∥x−y∥
∥x+y∥2=∥x∥2−∥y∥2
x et y sont colinéaires
Non. Un espace est dit euclidien s'il est de dimension finie. Un espace préhilbertien peut être de dimension infinie (comme l'espace des fonctions continues sur [0,1]).
Khassou ykon bilinéaire (linéaire f kol variable).
Khassou ykon symétrique (⟨x,y⟩=⟨y,x⟩).
Khassou ykon défini positif (⟨x,x⟩≥0 et ⟨x,x⟩=0⟺x=0).
💡 À retenir : Vérifie toujours la condition "défini" en résolvant ⟨x,x⟩=0.
L'orthogonalité est une relation entre deux vecteurs. Le supplémentaire orthogonal F⊥ est l'ensemble de tous les vecteurs de E qui sont orthogonaux à chaque vecteur de F.
💡 À retenir : F⊥={x∈E/∀y∈F,⟨x,y⟩=0}.
La distance d(x,F) est égale à ∥x−pF(x)∥, où pF(x) est la projection orthogonale de x sur F.
💡 À retenir : La distance est la norme du vecteur "erreur" de projection.
Il faut d'abord orthonormaliser la base de F en utilisant Gram-Schmidt, puis appliquer la formule de projection.
💡 À retenir : La formule ∑⟨x,ui⟩ui ne marche qu'avec une base orthonormée.
Non, c'est une inégalité. L'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs x et y sont colinéaires.
💡 À retenir : ∣⟨x,y⟩∣=∥x∥∥y∥⟺x,y liés.
Oui, car si x∈F∩F⊥, alors ⟨x,x⟩=0 (car x∈F et x∈F⊥), donc x=0.
💡 À retenir : L'intersection d'un sous-espace et de son orthogonal est toujours nulle.
Non. Un endomorphisme p est un projecteur orthogonal si et seulement si p2=p (projecteur) et p∗=p (autoadjoint).
💡 À retenir : Projecteur orthogonal = Projecteur + Autoadjoint.
Exercice 1
Soit E=R3 muni du produit scalaire usuel. Soit F=Vect(u1,u2) avec u1=(1,1,0) et u2=(1,0,1).
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormée (e1,e2) de F.
Déterminer une base de F⊥.
Exercice 2
Soit E un espace euclidien et p un projecteur. Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si ∀x∈E,∥p(x)∥≤∥x∥.
Exercice 3
Soit E=R2[X] muni du produit scalaire ⟨P,Q⟩=∫01P(t)Q(t)dt.
Calculer la projection orthogonale de P(X)=X2 sur F=Vect(1).