Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Variables aléatoires discrètes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application d'un univers fini $\Omega$ vers $\mathbb{R}$ .

Loi de probabilité : C'est la donnée de l'ensemble $X(\Omega) = \{x_1, \dots, x_n\}$ et des probabilités $p_i = P(X=x_i)$ telles que $\sum_{i=1}^n p_i = 1$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$ .
Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ . $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$ .
Loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$ . $E(X)=\lambda$ , $V(X)=\lambda$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer la loi : Lister toutes les valeurs possibles de $X$ puis calculer $P(X=x_i)$ en utilisant le dénombrement.
Calculer l'espérance : Toujours vérifier que la somme des probabilités vaut 1 avant de calculer $E(X)$ .
Utiliser la linéarité : $E(aX+b) = aE(X)+b$ . Attention, $V(aX+b) = a^2V(X)$ .

Exemples corrigés

Si $X \sim \mathcal{B}(3, 0.5)$ , alors $P(X=1) = \binom{3}{1} (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \times 0.125 = 0.375$ .
Pour $X$ prenant les valeurs $\{-1, 1\}$ avec $P(X=-1)=0.4$ et $P(X=1)=0.6$ : $E(X) = (-1 \times 0.4) + (1 \times 0.6) = 0.2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $V(X) \geq 0$ .
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ .
Appliquer la formule de la loi binomiale alors que les tirages ne sont pas indépendants (sans remise).

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application d'un univers fini $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.

Loi de probabilité : C'est la donnée de l'ensemble $X(\Omega) = {x_1, \dots, x_n}$ et des probabilités $p_i = P(X=x_i)$ telles que $\sum_{i=1}^n p_i = 1$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$.
Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.
Loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$. $E(X)=\lambda$, $V(X)=\lambda$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la loi : Lister toutes les valeurs possibles de $X$ puis calculer $P(X=x_i)$ en utilisant le dénombrement.
Calculer l'espérance : Toujours vérifier que la somme des probabilités vaut 1 avant de calculer $E(X)$.
Utiliser la linéarité : $E(aX+b) = aE(X)+b$. Attention, $V(aX+b) = a^2V(X)$.

Exemples corrigés

Si $X \sim \mathcal{B}(3, 0.5)$, alors $P(X=1) = \binom{3}{1} (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \times 0.125 = 0.375$.
Pour $X$ prenant les valeurs ${-1, 1}$ avec $P(X=-1)=0.4$ et $P(X=1)=0.6$ : $E(X) = (-1 \times 0.4) + (1 \times 0.6) = 0.2$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $V(X) \geq 0$.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$.
Appliquer la formule de la loi binomiale alors que les tirages ne sont pas indépendants (sans remise).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Variables aléatoires discrètes

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Si $X$ est une variable aléatoire, alors $V(X)$ est toujours :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que E(X+Y) = E(X) + E(Y) est toujours vrai ?

Oui, c'est la propriété de linéarité de l'espérance. Elle est vraie même si les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

💡 À retenir : La linéarité est toujours vraie, contrairement à la variance qui nécessite l'indépendance pour $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ .

Oui, c'est la propriété de linéarité de l'espérance. Elle est vraie même si les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

💡 À retenir : La linéarité est toujours vraie, contrairement à la variance qui nécessite l'indépendance pour $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$.

Kifach n3ref wach nkhdem b loi binomiale wla Poisson ?

Binomiale : Ila knti f tajriba mkarra $n$ marrat b nafs l-i7timal $p$ (tirage avec remise).
Poisson : Ila knti f tajriba li fiha $n$ kbir bzzaf o $p$ sghir bzzaf (ex: nombre d'appels par heure).

💡 À retenir : Binomiale = nombre fini d'essais ; Poisson = processus temporel ou spatial.

Binomiale : Ila knti f tajriba mkarra $n$ marrat b nafs l-i7timal $p$ (tirage avec remise).
Poisson : Ila knti f tajriba li fiha $n$ kbir bzzaf o $p$ sghir bzzaf (ex: nombre d'appels par heure).

💡 À retenir : Binomiale = nombre fini d'essais ; Poisson = processus temporel ou spatial.

Est-ce que la variance peut être négative ?

Non, jamais. La variance est une somme de carrés pondérés par des probabilités positives. Si tu trouves un résultat négatif, refais tes calculs.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$ toujours.

Non, jamais. La variance est une somme de carrés pondérés par des probabilités positives. Si tu trouves un résultat négatif, refais tes calculs.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$ toujours.

Chno hiya l-far9 bin variable aléatoire discrète et continue ?

La variable discrète prend des valeurs isolées (ex: 1, 2, 3), alors que la continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (ex: taille, poids).

💡 À retenir : Le programme PSI se concentre sur le discret.

Kifach n7seb V(X) ila kan 3ndi E(X) o E(X^2) ?

Tu utilises la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .

💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide pour calculer la variance.

Tu utilises la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide pour calculer la variance.

Est-ce que P(X=k) peut être supérieur à 1 ?

Absolument pas. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus.

💡 À retenir : Si $P > 1$ , il y a une erreur de calcul dans ton dénombrement.

Absolument pas. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus.

💡 À retenir : Si $P > 1$, il y a une erreur de calcul dans ton dénombrement.

Est-ce que l'espérance est toujours une valeur que X peut prendre ?

Non, pas forcément. Par exemple, si $X$ prend les valeurs 0 et 1 avec probabilité 0.5, $E(X) = 0.5$ , qui n'est ni 0 ni 1.

💡 À retenir : L'espérance est une valeur moyenne théorique.

Non, pas forcément. Par exemple, si $X$ prend les valeurs 0 et 1 avec probabilité 0.5, $E(X) = 0.5$, qui n'est ni 0 ni 1.

💡 À retenir : L'espérance est une valeur moyenne théorique.

Comment calculer P(X leq k) ?

Il faut sommer les probabilités : $P(X \leq k) = \sum_{i \leq k} P(X=x_i)$ .

💡 À retenir : C'est la fonction de répartition.

Il faut sommer les probabilités : $P(X \leq k) = \sum_{i \leq k} P(X=x_i)$.

💡 À retenir : C'est la fonction de répartition.

Est-ce que V(aX) = aV(X) ?

Non, c'est $V(aX) = a^2 V(X)$ . Le facteur $a$ sort au carré.

💡 À retenir : Attention au carré pour la variance !

Non, c'est $V(aX) = a^2 V(X)$. Le facteur $a$ sort au carré.

💡 À retenir : Attention au carré pour la variance !

Est-ce que la loi de Poisson est une approximation de la loi binomiale ?

Oui, quand $n$ est grand et $p$ est petit, on peut approximer $\mathcal{B}(n, p)$ par $\mathcal{P}(np)$ .

💡 À retenir : $\lambda = np$ .

Oui, quand $n$ est grand et $p$ est petit, on peut approximer $\mathcal{B}(n, p)$ par $\mathcal{P}(np)$.

💡 À retenir : $\lambda = np$.

Est-ce que deux variables indépendantes ont forcément la même loi ?

Non, l'indépendance concerne le lien entre les variables, pas leurs lois. Elles peuvent avoir des lois totalement différentes.

💡 À retenir : Indépendance $\neq$ Identité de loi.

Non, l'indépendance concerne le lien entre les variables, pas leurs lois. Elles peuvent avoir des lois totalement différentes.

💡 À retenir : Indépendance $\neq$ Identité de loi.

Comment démontrer que X suit une loi binomiale ?

Il faut montrer trois choses : 1) Il y a $n$ répétitions. 2) Chaque répétition n'a que deux issues (succès/échec). 3) Les répétitions sont indépendantes.

💡 À retenir : Schéma de Bernoulli.

Il faut montrer trois choses : 1) Il y a $n$ répétitions. 2) Chaque répétition n'a que deux issues (succès/échec). 3) Les répétitions sont indépendantes.

💡 À retenir : Schéma de Bernoulli.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 2 rouges et 3 blanches. On tire 2 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 2 rouges et 3 blanches. On tire 2 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

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Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 2$ . Calculer $P(X \geq 2)$ .

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 2$. Calculer $P(X \geq 2)$.

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Exercice 3

Un QCM comporte 10 questions, chaque question a 4 choix dont un seul est correct. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.

Quelle est la loi de $X$ ?
Calculer la probabilité que l'élève ait exactement 3 bonnes réponses.

Exercice 3

Un QCM comporte 10 questions, chaque question a 4 choix dont un seul est correct. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.

Quelle est la loi de $X$ ?
Calculer la probabilité que l'élève ait exactement 3 bonnes réponses.

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