Indépendance : $X$ et $Y$ sont indépendantes si $\forall (i, j), P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)$.
Covariance : $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$.
Coefficient de corrélation : $\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$.
Méthodes à maîtriser
Construction du tableau de loi conjointe : Vérifier que la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
Calcul de l'espérance d'un produit : Utiliser $E(XY) = \sum_{i,j} x_i y_j P(X=x_i, Y=y_j)$.
Vérification de l'indépendance : Ne jamais se contenter de $E(XY) = E(X)E(Y)$ (ceci n'est que la non-corrélation). Il faut tester la définition sur tous les couples.
Exemples corrigés
Soit $(X, Y)$ tel que $P(X=0, Y=0)=1/4, P(X=0, Y=1)=1/4, P(X=1, Y=1)=1/2$.
🎯 Couples et suites de variables aléatoires discrètes
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Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X, Y)$ est égale à :
❓ Questions fréquentes
Kifach n3ref wach X et Y independentes ghir mn tableau?
Calcule les lois marginales en sommant les lignes et les colonnes.
Pour chaque case $(i, j)$ du tableau, vérifie si $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \times P(Y=y_j)$.
Si une seule case ne respecte pas cette égalité, elles ne sont pas indépendantes.
💡 À retenir : L'indépendance est une propriété globale du tableau, pas seulement des espérances.
Est-ce que V(X+Y) = V(X) + V(Y) toujours ?
Non, seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes (ou au moins non corrélées). La formule générale est $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y)$.
💡 À retenir : La covariance est le "terme correctif" qui apparaît quand les variables sont liées.
Chno hiya l'utilité dyal coefficient de corrélation rho ?
Il mesure la force et le sens de la relation linéaire entre $X$ et $Y$.
Si $\rho = 1$ ou $-1$, il y a une relation linéaire parfaite.
Si $\rho = 0$, il n'y a pas de corrélation linéaire.
💡 À retenir : $\rho$ est toujours compris entre -1 et 1.
Kifach n7seb E(XY) ila ma3ndich la loi conjointe ?
Si tu n'as pas la loi conjointe, tu ne peux pas calculer $E(XY)$ sauf si on te donne une relation entre $X$ et $Y$ ou si tu sais qu'elles sont indépendantes (auquel cas $E(XY) = E(X)E(Y)$).
💡 À retenir : Sans loi conjointe, il manque une information cruciale sur le lien entre les variables.
La covariance peut-elle être négative ?
Oui, tout à fait. Une covariance négative signifie que quand $X$ augmente, $Y$ a tendance à diminuer (relation inverse).
💡 À retenir : Le signe de la covariance donne le sens de la variation conjointe.
Est-ce que E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) est toujours vrai ?
Oui, c'est la propriété de linéarité de l'espérance. Elle est vraie pour toutes les variables aléatoires, qu'elles soient indépendantes ou non.
💡 À retenir : La linéarité est l'outil le plus puissant pour simplifier les calculs d'espérance.
Pourquoi on divise par sigma(X)sigma(Y) dans le coefficient de corrélation ?
On divise pour "normaliser" la covariance. Cela permet d'obtenir une valeur sans unité comprise entre -1 et 1, ce qui rend la comparaison possible entre différentes variables.
💡 À retenir : C'est une mise à l'échelle pour rendre la mesure indépendante des unités.
Chno l'far9 bin loi conjointe et loi marginale ?
La loi conjointe décrit le comportement du couple $(X, Y)$ dans son ensemble. La loi marginale décrit le comportement d'une seule variable, en ignorant ce que fait l'autre.
💡 À retenir : La loi marginale est une "projection" de la loi conjointe.
Si Cov(X, Y) = 0, est-ce que X et Y sont indépendantes ?
Non, pas forcément. La non-corrélation est une condition plus faible que l'indépendance. Il existe des variables non corrélées qui sont fortement dépendantes.
💡 À retenir : Indépendance $\implies$ Non-corrélation, mais la réciproque est fausse.
Comment calculer V(aX) ?
La formule est $V(aX) = a^2 V(X)$. Attention, le coefficient sort au carré !
💡 À retenir : La variance n'est pas linéaire, elle est quadratique.
Est-ce que E(X^2) est égal à (E(X))^2 ?
Non, en général $E(X^2) \geq (E(X))^2$. La différence est exactement la variance $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
💡 À retenir : La variance mesure l'écart entre le carré de l'espérance et l'espérance du carré.
Peut-on avoir P(X=x, Y=y) P(X=x) ?
Non, car $P(X=x, Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y | X=x)$. Comme $P(Y=y | X=x) \leq 1$, alors la probabilité conjointe est toujours inférieure ou égale à la probabilité marginale.
💡 À retenir : Une intersection est toujours plus petite ou égale à l'un de ses ensembles.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires tel que $P(X=i, Y=j) = \frac{i+j}{12}$ pour $i \in {1, 2}$ et $j \in {1, 2}$.
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur un univers fini Ω.
Loi conjointe : définie par P(X=xi,Y=yj) pour tout (xi,yj)∈X(Ω)×Y(Ω).
Lois marginales : P(X=xi)=∑jP(X=xi,Y=yj) et P(Y=yj)=∑iP(X=xi,Y=yj).
Indépendance : X et Y sont indépendantes si ∀(i,j),P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj).
Covariance : Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y).
Coefficient de corrélation : ρ(X,Y)=σ(X)σ(Y)Cov(X,Y).
Méthodes à maîtriser
Construction du tableau de loi conjointe : Vérifier que la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
Calcul de l'espérance d'un produit : Utiliser E(XY)=∑i,jxiyjP(X=xi,Y=yj).
Vérification de l'indépendance : Ne jamais se contenter de E(XY)=E(X)E(Y) (ceci n'est que la non-corrélation). Il faut tester la définition sur tous les couples.
Exemples corrigés
Soit (X,Y) tel que P(X=0,Y=0)=1/4,P(X=0,Y=1)=1/4,P(X=1,Y=1)=1/2.
P(X=0)=1/4+1/4=1/2.
E(XY)=0⋅0⋅1/4+0⋅1⋅1/4+1⋅1⋅1/2=1/2.
Erreurs fréquentes
Confondre "non-corrélation" (Cov(X,Y)=0) et "indépendance". L'indépendance implique la non-corrélation, mais la réciproque est fausse.
Oublier de vérifier la condition ∑P=1 avant de commencer les calculs.
Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y) est égale à :
V(X)V(Y)
E(X)E(Y)
Calcule les lois marginales en sommant les lignes et les colonnes.
Pour chaque case (i,j) du tableau, vérifie si P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)×P(Y=yj).
Si une seule case ne respecte pas cette égalité, elles ne sont pas indépendantes.
💡 À retenir : L'indépendance est une propriété globale du tableau, pas seulement des espérances.
Non, seulement si X et Y sont indépendantes (ou au moins non corrélées). La formule générale est V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y).
💡 À retenir : La covariance est le "terme correctif" qui apparaît quand les variables sont liées.
Il mesure la force et le sens de la relation linéaire entre X et Y.
Si ρ=1 ou −1, il y a une relation linéaire parfaite.
Si ρ=0, il n'y a pas de corrélation linéaire.
💡 À retenir : ρ est toujours compris entre -1 et 1.
Si tu n'as pas la loi conjointe, tu ne peux pas calculer E(XY) sauf si on te donne une relation entre X et Y ou si tu sais qu'elles sont indépendantes (auquel cas E(XY)=E(X)E(Y)).
💡 À retenir : Sans loi conjointe, il manque une information cruciale sur le lien entre les variables.
Oui, tout à fait. Une covariance négative signifie que quand X augmente, Y a tendance à diminuer (relation inverse).
💡 À retenir : Le signe de la covariance donne le sens de la variation conjointe.
La loi conjointe décrit le comportement du couple (X,Y) dans son ensemble. La loi marginale décrit le comportement d'une seule variable, en ignorant ce que fait l'autre.
💡 À retenir : La loi marginale est une "projection" de la loi conjointe.
Non, pas forcément. La non-corrélation est une condition plus faible que l'indépendance. Il existe des variables non corrélées qui sont fortement dépendantes.
💡 À retenir : Indépendance ⟹ Non-corrélation, mais la réciproque est fausse.
La formule est V(aX)=a2V(X). Attention, le coefficient sort au carré !
💡 À retenir : La variance n'est pas linéaire, elle est quadratique.
Non, en général E(X2)≥(E(X))2. La différence est exactement la variance V(X)=E(X2)−(E(X))2.
💡 À retenir : La variance mesure l'écart entre le carré de l'espérance et l'espérance du carré.
Non, car P(X=x,Y=y)=P(X=x)×P(Y=y∣X=x). Comme P(Y=y∣X=x)≤1, alors la probabilité conjointe est toujours inférieure ou égale à la probabilité marginale.
💡 À retenir : Une intersection est toujours plus petite ou égale à l'un de ses ensembles.
Exercice 1
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires tel que P(X=i,Y=j)=12i+j pour i∈{1,2} et j∈{1,2}.
Dresser le tableau de la loi conjointe.
Déterminer les lois marginales de X et Y.
Calculer E(X) et E(Y).
Calculer Cov(X,Y).
Exercice 2
Soient X et Y deux variables indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p=1/2.
Soit S=X+Y et D=X−Y.
Calculer Cov(S,D).
Exercice 3
Soit X et Y deux variables aléatoires. On donne V(X)=1,V(Y)=4 et V(X+Y)=6.
Calculer le coefficient de corrélation ρ(X,Y).