Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Intégration sur un intervalle quelconque

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b[$ . L'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est dite généralisée si $b$ est un réel ou $+\infty$ . Elle converge si la limite $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)dt$ existe et est finie.

Intégrale de Riemann : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .
Absolue convergence : Si $|f|$ est intégrable, alors $f$ est intégrable.

Méthodes à maîtriser

Utilisation des primitives : Calculer l'intégrale sur $[a, x]$ puis passer à la limite.
Critère de comparaison : Si $0 \leq f(t) \leq g(t)$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge.
Équivalence : Si $f(t) \sim g(t)$ au voisinage de la borne, alors $\int f$ et $\int g$ ont la même nature.

Exemples corrigés

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt = \lim_{x \to +\infty} [-1/t]_1^x = \lim_{x \to +\infty} (1 - 1/x) = 1$ . L'intégrale converge.
$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \lim_{x \to 0^+} [2\sqrt{t}]_x^1 = 2$ . L'intégrale converge.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle.
Appliquer Riemann sans vérifier le signe de la fonction (pour la comparaison).
Confondre la convergence avec la limite de la fonction (la fonction peut tendre vers 0 et l'intégrale diverger, ex: $1/t$ ).

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b[$. L'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est dite généralisée si $b$ est un réel ou $+\infty$. Elle converge si la limite $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)dt$ existe et est finie.

Intégrale de Riemann : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
Absolue convergence : Si $|f|$ est intégrable, alors $f$ est intégrable.

Méthodes à maîtriser

Utilisation des primitives : Calculer l'intégrale sur $[a, x]$ puis passer à la limite.
Critère de comparaison : Si $0 \leq f(t) \leq g(t)$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge.
Équivalence : Si $f(t) \sim g(t)$ au voisinage de la borne, alors $\int f$ et $\int g$ ont la même nature.

Exemples corrigés

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt = \lim_{x \to +\infty} [-1/t]1^x = \lim{x \to +\infty} (1 - 1/x) = 1$. L'intégrale converge.
$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \lim_{x \to 0^+} [2\sqrt{t}]_x^1 = 2$. L'intégrale converge.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle.
Appliquer Riemann sans vérifier le signe de la fonction (pour la comparaison).
Confondre la convergence avec la limite de la fonction (la fonction peut tendre vers 0 et l'intégrale diverger, ex: $1/t$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Intégration sur un intervalle quelconque

1/4

Laquelle de ces intégrales diverge ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une intégrale classique et généralisée ?

L'intégrale classique (Riemann) se calcule sur un segment $[a, b]$ où la fonction est bornée.
L'intégrale généralisée s'étend à des intervalles non bornés ou des fonctions non bornées près d'une borne.
On utilise la notion de limite pour définir la valeur de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale généralisée est une limite d'intégrales classiques.

L'intégrale classique (Riemann) se calcule sur un segment $[a, b]$ où la fonction est bornée.
L'intégrale généralisée s'étend à des intervalles non bornés ou des fonctions non bornées près d'une borne.
On utilise la notion de limite pour définir la valeur de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale généralisée est une limite d'intégrales classiques.

Kifach n3ref wach l'intégrale متقاربة ولا متباعدة؟

Calcule la primitive $F(x)$ et cherche $\lim_{x \to b} F(x)$ .
Si la limite est finie, c'est convergent.
Si la limite est $\pm \infty$ ou n'existe pas, c'est divergent.
Si le calcul est dur, utilise les théorèmes de comparaison (Riemann).

💡 À retenir : La limite est la clé de tout.

Calcule la primitive $F(x)$ et cherche $\lim_{x \to b} F(x)$.
Si la limite est finie, c'est convergent.
Si la limite est $\pm \infty$ ou n'existe pas, c'est divergent.
Si le calcul est dur, utilise les théorèmes de comparaison (Riemann).

💡 À retenir : La limite est la clé de tout.

Est-ce que si lim{x to +infty} f(x) = 0, alors int0^{+infty} f(x) dx converge ?

Non, c'est faux. Exemple classique : $f(x) = \frac{1}{x+1}$ . La limite est 0, mais l'intégrale diverge vers $+\infty$ .

💡 À retenir : La décroissance vers 0 ne suffit pas, il faut qu'elle soit "rapide" (plus vite que $1/x$ ).

Non, c'est faux. Exemple classique : $f(x) = \frac{1}{x+1}$. La limite est 0, mais l'intégrale diverge vers $+\infty$.

💡 À retenir : La décroissance vers 0 ne suffit pas, il faut qu'elle soit "rapide" (plus vite que $1/x$).

Wach momkin nst3mlou changement de variable f l'intégrale généralisée ?

Oui, tout à fait. Il faut juste faire attention aux bornes de l'intégrale qui changent aussi et vérifier que le changement est un $C^1$ -difféomorphisme.

💡 À retenir : Le changement de variable est très utile pour se ramener à des intégrales de Riemann.

Oui, tout à fait. Il faut juste faire attention aux bornes de l'intégrale qui changent aussi et vérifier que le changement est un $C^1$-difféomorphisme.

💡 À retenir : Le changement de variable est très utile pour se ramener à des intégrales de Riemann.

Comment utiliser le critère de Riemann ?

Identifie le comportement de $f(t)$ au voisinage de la borne problématique.
Trouve une fonction $g(t) = 1/t^\alpha$ équivalente à $f(t)$ .
Si $\alpha > 1$ (en $+\infty$ ) ou $\alpha < 1$ (en $0$ ), alors ça converge.

💡 À retenir : Compare toujours avec $1/t^\alpha$ .

Identifie le comportement de $f(t)$ au voisinage de la borne problématique.
Trouve une fonction $g(t) = 1/t^\alpha$ équivalente à $f(t)$.
Si $\alpha > 1$ (en $+\infty$) ou $\alpha < 1$ (en $0$), alors ça converge.

💡 À retenir : Compare toujours avec $1/t^\alpha$.

Kifach n7seb l'intégrale de Gauss int0^{+infty} e^{-t^2} dt ?

C'est une intégrale classique mais délicate. On utilise souvent le passage aux coordonnées polaires en calculant le carré de l'intégrale $I^2 = \int \int e^{-(x^2+y^2)} dx dy$ .

💡 À retenir : La valeur est $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ .

C'est une intégrale classique mais délicate. On utilise souvent le passage aux coordonnées polaires en calculant le carré de l'intégrale $I^2 = \int \int e^{-(x^2+y^2)} dx dy$.

💡 À retenir : La valeur est $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Qu'est-ce qu'une intégrale absolument convergente ?

C'est quand l'intégrale de la valeur absolue $\int |f(t)| dt$ converge.

💡 À retenir : Toute intégrale absolument convergente est convergente.

C'est quand l'intégrale de la valeur absolue $\int |f(t)| dt$ converge.

💡 À retenir : Toute intégrale absolument convergente est convergente.

Est-ce que la somme de deux intégrales divergentes est toujours divergente ?

Non, pas forcément. Par exemple, $\int f$ diverge vers $+\infty$ et $\int (-f)$ diverge vers $-\infty$ . Leur somme est nulle (donc convergente).

💡 À retenir : Attention aux formes indéterminées $\infty - \infty$ .

Non, pas forcément. Par exemple, $\int f$ diverge vers $+\infty$ et $\int (-f)$ diverge vers $-\infty$. Leur somme est nulle (donc convergente).

💡 À retenir : Attention aux formes indéterminées $\infty - \infty$.

Pourquoi on dit "intégrale sur un intervalle quelconque" ?

Parce que le programme ne se limite pas aux segments fermés $[a, b]$ . On traite les cas $[a, +\infty[$ , $]-\infty, b]$ , ou les fonctions qui explosent en un point.

💡 À retenir : C'est la généralisation du concept d'aire sous la courbe.

Parce que le programme ne se limite pas aux segments fermés $[a, b]$. On traite les cas $[a, +\infty[$, $]-\infty, b]$, ou les fonctions qui explosent en un point.

💡 À retenir : C'est la généralisation du concept d'aire sous la courbe.

Est-ce que le théorème de la convergence dominée est au programme ?

(à vérifier par le professeur) Oui, dans le cadre des suites de fonctions, c'est un outil puissant pour intervertir limite et intégrale.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier les hypothèses de domination.

Comment traiter une intégrale avec un paramètre ?

On utilise les théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe somme (théorème de Leibniz).

💡 À retenir : Vérifie la domination locale par une fonction intégrable.

Wach l'intégrale de 1/x entre 0 et 1 converge ?

Non, car $\int_\epsilon^1 \frac{1}{x} dx = [ \ln x ]_\epsilon^1 = -\ln(\epsilon)$ . Quand $\epsilon \to 0^+$ , $-\ln(\epsilon) \to +\infty$ .

💡 À retenir : La fonction explose trop vite en 0.

Non, car $\int_\epsilon^1 \frac{1}{x} dx = [ \ln x ]_\epsilon^1 = -\ln(\epsilon)$. Quand $\epsilon \to 0^+$, $-\ln(\epsilon) \to +\infty$.

💡 À retenir : La fonction explose trop vite en 0.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Étudier la nature de l'intégrale $I = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + \sqrt{t}}$ .

Exercice 1

Étudier la nature de l'intégrale $I = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + \sqrt{t}}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer $J = \int_0^{+\infty} t e^{-t} dt$ .

Exercice 2

Calculer $J = \int_0^{+\infty} t e^{-t} dt$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ converge mais n'est pas absolument convergente.

Exercice 3

Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ converge mais n'est pas absolument convergente.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Espaces préhilbertiens réels Espaces euclidiens Endomorphismes des espaces euclidiens Réduction des endomorphismes Séries numériques Suites et séries de fonctions Séries entières Fonctions définies par une intégrale Équations différentielles linéaires Calcul différentiel Extrema des fonctions de plusieurs variables Probabilités sur un univers fini Variables aléatoires discrètes Couples et suites de variables aléatoires discrètes