Physique-Chimie · 2 Bac Sciences Physiques

Lois de Newton et mouvement d'un satellite

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Référentiel géocentrique : Utilisé pour l'étude du mouvement des satellites terrestres. Il est considéré comme galiléen.
Loi de gravitation universelle : La force exercée par la Terre (masse $M_T$ ) sur un satellite (masse $m$ ) est : $\vec{F} = G \frac{M_T \cdot m}{r^2} \vec{n}$ , où $\vec{n}$ est le vecteur unitaire dirigé du satellite vers le centre de la Terre.
Accélération : Dans le repère de Frenet $(S, \vec{u}_n, \vec{u}_t)$ , pour un mouvement circulaire uniforme : $\vec{a} = \frac{v^2}{r} \vec{u}_n$ .
Vitesse orbitale : En appliquant la 2ème loi de Newton : $v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$ .
Période de révolution : $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}$ .
Troisième loi de Kepler : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T} = \text{constante}$ .

Méthodes à maîtriser

Bilan des forces : Identifier uniquement la force gravitationnelle.
Application de la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$ .
Projection : Projeter la relation vectorielle sur l'axe normal $\vec{u}_n$ du repère de Frenet.
Expression de $r$ : Ne pas oublier que $r = R_T + h$ , où $h$ est l'altitude.

Exemples corrigés

Calcul de la vitesse : Pour un satellite à $h=500$ km, $r = 6380 + 500 = 6880$ km. $v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,97 \cdot 10^{24}}{6,88 \cdot 10^6}} \approx 7,6 \cdot 10^3$ m/s.
Vérification de Kepler : Si $T$ est donné en jours, convertir en secondes ( $T \times 86400$ ) avant d'utiliser la loi de Kepler.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir l'altitude $h$ en mètres.
Confondre le rayon de la Terre $R_T$ avec la distance $r$ au centre de la Terre.
Croire que la masse du satellite $m$ influence sa vitesse (elle se simplifie).

L'essentiel du cours

Référentiel géocentrique : Utilisé pour l'étude du mouvement des satellites terrestres. Il est considéré comme galiléen.
Loi de gravitation universelle : La force exercée par la Terre (masse $M_T$) sur un satellite (masse $m$) est : $\vec{F} = G \frac{M_T \cdot m}{r^2} \vec{n}$, où $\vec{n}$ est le vecteur unitaire dirigé du satellite vers le centre de la Terre.
Accélération : Dans le repère de Frenet $(S, \vec{u}_n, \vec{u}_t)$, pour un mouvement circulaire uniforme : $\vec{a} = \frac{v^2}{r} \vec{u}_n$.
Vitesse orbitale : En appliquant la 2ème loi de Newton : $v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$.
Période de révolution : $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}$.
Troisième loi de Kepler : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T} = \text{constante}$.

Méthodes à maîtriser

Bilan des forces : Identifier uniquement la force gravitationnelle.
Application de la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.
Projection : Projeter la relation vectorielle sur l'axe normal $\vec{u}_n$ du repère de Frenet.
Expression de $r$ : Ne pas oublier que $r = R_T + h$, où $h$ est l'altitude.

Exemples corrigés

Calcul de la vitesse : Pour un satellite à $h=500$ km, $r = 6380 + 500 = 6880$ km. $v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,97 \cdot 10^{24}}{6,88 \cdot 10^6}} \approx 7,6 \cdot 10^3$ m/s.
Vérification de Kepler : Si $T$ est donné en jours, convertir en secondes ($T \times 86400$) avant d'utiliser la loi de Kepler.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir l'altitude $h$ en mètres.
Confondre le rayon de la Terre $R_T$ avec la distance $r$ au centre de la Terre.
Croire que la masse du satellite $m$ influence sa vitesse (elle se simplifie).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Lois de Newton et mouvement d'un satellite

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L'accélération d'un satellite en orbite circulaire est :

❓ Questions fréquentes

1. Est-ce que la masse du satellite change sa vitesse ?

Non. Dans l'expression $v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$ , la masse $m$ du satellite n'apparaît pas car elle se simplifie lors de l'application de la 2ème loi de Newton ( $m \cdot a = F \implies a = F/m$ ).

💡 À retenir : Tous les satellites à une même altitude ont la même vitesse, quelle que soit leur masse.

Non. Dans l'expression $v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$, la masse $m$ du satellite n'apparaît pas car elle se simplifie lors de l'application de la 2ème loi de Newton ($m \cdot a = F \implies a = F/m$).

💡 À retenir : Tous les satellites à une même altitude ont la même vitesse, quelle que soit leur masse.

2. Kifach n7seb r ila 3tawni ghi h (l'altitude) ?

Le rayon $r$ est la distance entre le centre de la Terre et le satellite.
$r = R_T + h$ .
Assure-toi que $R_T$ et $h$ sont dans la même unité (généralement en mètres).

💡 À retenir : $r$ est toujours la distance centre à centre.

Le rayon $r$ est la distance entre le centre de la Terre et le satellite.
$r = R_T + h$.
Assure-toi que $R_T$ et $h$ sont dans la même unité (généralement en mètres).

💡 À retenir : $r$ est toujours la distance centre à centre.

3. Pourquoi on utilise le repère de Frenet ?

Le repère de Frenet est adapté aux mouvements curvilignes (circulaires ici). Il permet de séparer l'accélération normale (liée au changement de direction) et l'accélération tangentielle (liée au changement de vitesse).

💡 À retenir : Pour un mouvement circulaire uniforme, $\vec{a} = a_n \vec{n} = \frac{v^2}{r} \vec{n}$ .

💡 À retenir : Pour un mouvement circulaire uniforme, $\vec{a} = a_n \vec{n} = \frac{v^2}{r} \vec{n}$.

4. Wach la période T kat3temed 3la masse dyal satellite ?

Non, la période $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}$ dépend uniquement du rayon de l'orbite $r$ et de la masse de la Terre $M_T$ .

💡 À retenir : La masse du satellite n'influence ni sa vitesse ni sa période.

Non, la période $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}$ dépend uniquement du rayon de l'orbite $r$ et de la masse de la Terre $M_T$.

💡 À retenir : La masse du satellite n'influence ni sa vitesse ni sa période.

5. Est-ce que le satellite est en apesanteur ?

Oui, à l'intérieur du satellite, les objets sont en "chute libre" autour de la Terre. Ils subissent la même accélération que le satellite lui-même, donc ils flottent.

💡 À retenir : L'apesanteur est due à la chute libre, pas à l'absence de gravité.

6. Kifach n7seb MT ila ma3tathach lina f l'exercice ?

Si $M_T$ n'est pas donnée, on utilise souvent $g_0 = \frac{G M_T}{R_T^2}$ (pesanteur au sol). Donc $G M_T = g_0 R_T^2$ .

💡 À retenir : $G M_T = g_0 R_T^2$ est une substitution très fréquente au bac.

Si $M_T$ n'est pas donnée, on utilise souvent $g_0 = \frac{G M_T}{R_T^2}$ (pesanteur au sol). Donc $G M_T = g_0 R_T^2$.

💡 À retenir : $G M_T = g_0 R_T^2$ est une substitution très fréquente au bac.

7. Le mouvement est-il toujours circulaire ?

Dans le programme de 2ème Bac, on étudie uniquement le cas des orbites circulaires uniformes.

💡 À retenir : Le vecteur accélération est toujours centripète (dirigé vers le centre de la Terre).

8. Pourquoi le satellite ne tombe-t-il pas sur Terre ?

Il tombe en permanence, mais sa vitesse horizontale est telle que la courbure de sa trajectoire correspond à la courbure de la Terre.

💡 À retenir : C'est une chute libre permanente sans jamais toucher le sol.

9. Quelle est la différence entre g et g0 ?

$g_0$ est l'intensité de la pesanteur au sol ( $h=0$ ). $g$ est l'intensité de la pesanteur à une altitude $h$ donnée : $g = \frac{G M_T}{(R_T+h)^2}$ .

💡 À retenir : $g$ diminue quand l'altitude $h$ augmente.

$g_0$ est l'intensité de la pesanteur au sol ($h=0$). $g$ est l'intensité de la pesanteur à une altitude $h$ donnée : $g = \frac{G M_T}{(R_T+h)^2}$.

💡 À retenir : $g$ diminue quand l'altitude $h$ augmente.

10. Est-ce que la 3ème loi de Kepler est toujours vraie ?

Oui, pour tout satellite en orbite circulaire autour d'un même astre central, le rapport $\frac{T^2}{r^3}$ est constant.

💡 À retenir : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T}$ .

Oui, pour tout satellite en orbite circulaire autour d'un même astre central, le rapport $\frac{T^2}{r^3}$ est constant.

💡 À retenir : $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T}$.

11. Comment projeter la force gravitationnelle sur vec{u}n ?

Le vecteur $\vec{F}$ est dirigé vers le centre de la Terre, tout comme le vecteur $\vec{u}_n$ du repère de Frenet. La projection est donc positive : $F = G \frac{M_T m}{r^2}$ .

💡 À retenir : $\vec{F} = F \vec{u}_n$ .

Le vecteur $\vec{F}$ est dirigé vers le centre de la Terre, tout comme le vecteur $\vec{u}_n$ du repère de Frenet. La projection est donc positive : $F = G \frac{M_T m}{r^2}$.

💡 À retenir : $\vec{F} = F \vec{u}_n$.

12. Est-ce que le satellite tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ?

Cela dépend de l'orbite, mais le sens n'influence pas les formules de vitesse ou de période.

💡 À retenir : Seul le rayon $r$ compte pour les calculs cinématiques.

Cela dépend de l'orbite, mais le sens n'influence pas les formules de vitesse ou de période.

💡 À retenir : Seul le rayon $r$ compte pour les calculs cinématiques.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un satellite de télécommunication de masse $m = 500$ kg est en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude $h = 36000$ km. Données : $R_T = 6400$ km ; $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ SI ; $M_T = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg.

Exprimer la vitesse $v$ du satellite en fonction de $G, M_T, R_T$ et $h$ .
Calculer la valeur de $v$ .
Calculer la période de révolution $T$ en heures.

Exercice 1

Exprimer la vitesse $v$ du satellite en fonction de $G, M_T, R_T$ et $h$.
Calculer la valeur de $v$.
Calculer la période de révolution $T$ en heures.

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Exercice 2

Un satellite géostationnaire a une période égale à la période de rotation propre de la Terre.

Montrer que le rayon de l'orbite $r$ est donné par $r = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4\pi^2}}$ .
Calculer la valeur de $r$ pour un satellite géostationnaire ( $T \approx 86164$ s).

Exercice 2

Un satellite géostationnaire a une période égale à la période de rotation propre de la Terre.

Montrer que le rayon de l'orbite $r$ est donné par $r = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4\pi^2}}$.
Calculer la valeur de $r$ pour un satellite géostationnaire ($T \approx 86164$ s).

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Exercice 3

Deux satellites $S_1$ et $S_2$ orbitent autour de la Terre. Le rayon de l'orbite de $S_1$ est $r_1$ et celui de $S_2$ est $r_2 = 4 r_1$ .

Comparer les vitesses $v_1$ et $v_2$ .
Comparer les périodes $T_1$ et $T_2$ .

Exercice 3

Deux satellites $S_1$ et $S_2$ orbitent autour de la Terre. Le rayon de l'orbite de $S_1$ est $r_1$ et celui de $S_2$ est $r_2 = 4 r_1$.

Comparer les vitesses $v_1$ et $v_2$.
Comparer les périodes $T_1$ et $T_2$.

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