Physique-Chimie · 2 Bac Sciences Physiques

Dipôle RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Un dipôle RC est l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$ .
Relation courant-tension : Pour le condensateur, $i = \frac{dq}{dt}$ et $q = C \cdot u_C$ . Donc $i = C \frac{du_C}{dt}$ .
Loi d'additivité des tensions : $u_R + u_C = E$ (charge) ou $u_R + u_C = 0$ (décharge).
Équation différentielle :
- Charge : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = \frac{E}{RC}$
- Décharge : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = 0$
Constante de temps : $\tau = RC$ . Elle est homogène à un temps (seconde).
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ (charge) et $u_C(t) = E e^{-t/\tau}$ (décharge).
Énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions, remplacer $u_R$ par $Ri$ et $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$ .
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine (elle coupe l'asymptote à $t = \tau$ ) ou la valeur $u_C(\tau) \approx 0,63E$ (charge).
Calculer $i$ : Utiliser $i = \frac{u_R}{R} = \frac{E - u_C}{R}$ lors de la charge.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 \, \Omega$ et $C = 100 \, \mu F$ , alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 10^{-2} \, s = 10 \, ms$ .
Vérification de solution : Pour $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ , on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$ . En remplaçant dans l'éq. diff, on vérifie que $A=E$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$ ).
Confondre le sens du courant $i$ avec le sens de déplacement des électrons.
Croire que le condensateur est chargé instantanément (il faut environ $5\tau$ ).

L'essentiel du cours

Définition : Un dipôle RC est l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$.
Relation courant-tension : Pour le condensateur, $i = \frac{dq}{dt}$ et $q = C \cdot u_C$. Donc $i = C \frac{du_C}{dt}$.
Loi d'additivité des tensions : $u_R + u_C = E$ (charge) ou $u_R + u_C = 0$ (décharge).
Équation différentielle :
- Charge : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = \frac{E}{RC}$
- Décharge : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = 0$
Constante de temps : $\tau = RC$. Elle est homogène à un temps (seconde).
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ (charge) et $u_C(t) = E e^{-t/\tau}$ (décharge).
Énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions, remplacer $u_R$ par $Ri$ et $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$.
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine (elle coupe l'asymptote à $t = \tau$) ou la valeur $u_C(\tau) \approx 0,63E$ (charge).
Calculer $i$ : Utiliser $i = \frac{u_R}{R} = \frac{E - u_C}{R}$ lors de la charge.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 , \Omega$ et $C = 100 , \mu F$, alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 10^{-2} , s = 10 , ms$.
Vérification de solution : Pour $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$, on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$. En remplaçant dans l'éq. diff, on vérifie que $A=E$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$).
Confondre le sens du courant $i$ avec le sens de déplacement des électrons.
Croire que le condensateur est chargé instantanément (il faut environ $5\tau$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dipôle RC

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Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment calculer la charge q à partir de uC ?

La charge $q$ portée par l'armature positive est donnée par la relation $q = C \cdot u_C$ . Il suffit de multiplier la valeur de la tension par la capacité du condensateur.

💡 À retenir : $C$ doit être en Farad ( $F$ ) pour obtenir $q$ en Coulomb ( $C$ ).

La charge $q$ portée par l'armature positive est donnée par la relation $q = C \cdot u_C$. Il suffit de multiplier la valeur de la tension par la capacité du condensateur.

💡 À retenir : $C$ doit être en Farad ($F$) pour obtenir $q$ en Coulomb ($C$).

Est-ce que l'équation différentielle change si on change le sens du courant ?

L'équation différentielle dépend de la convention choisie (générateur ou récepteur). Si on inverse le sens du courant, les signes dans l'équation peuvent changer, mais la solution physique (l'évolution de $u_C$ ) reste la même.

💡 À retenir : Il faut toujours préciser le sens choisi sur le schéma.

Est-ce que uC peut être négative ?

Oui, si le condensateur est chargé avec une polarité inversée par rapport à la convention choisie, ou lors d'une inversion de branchement, $u_C$ peut prendre des valeurs négatives.

💡 À retenir : La tension est une grandeur algébrique.

Oui, si le condensateur est chargé avec une polarité inversée par rapport à la convention choisie, ou lors d'une inversion de branchement, $u_C$ peut prendre des valeurs négatives.

💡 À retenir : La tension est une grandeur algébrique.

Est-ce que le condensateur se charge instantanément ?

Non, la charge d'un condensateur n'est pas instantanée. Elle est limitée par la résistance $R$ du circuit. Le processus suit une loi exponentielle. On considère généralement que le condensateur est chargé à 99% au bout d'une durée de $5\tau$ .

💡 À retenir : La durée de la charge dépend uniquement du produit $RC$ .

💡 À retenir : La durée de la charge dépend uniquement du produit $RC$.

kifach n7seb tau mn l'mnhna dial uC(t) ?

Pour trouver $\tau$ graphiquement :

Trace la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'origine ( $t=0$ ).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (la valeur maximale $E$ ) donne l'abscisse $\tau$ .
Sinon, cherche la valeur $0,63 \times E$ sur l'axe des ordonnées et projette sur la courbe pour lire $t = \tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Pour trouver $\tau$ graphiquement :

Trace la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'origine ($t=0$).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (la valeur maximale $E$) donne l'abscisse $\tau$.
Sinon, cherche la valeur $0,63 \times E$ sur l'axe des ordonnées et projette sur la courbe pour lire $t = \tau$.

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Pourquoi on dit que le condensateur est un réservoir d'énergie ?

Le condensateur stocke l'énergie sous forme électrique grâce au champ électrique créé entre ses armatures. Cette énergie est proportionnelle au carré de la tension : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

💡 À retenir : L'énergie est maximale quand la tension aux bornes est maximale.

wach l'intensité i katb9a constante f l'charge ?

Non, l'intensité $i$ diminue au cours du temps. Au début ( $t=0$ ), $i = E/R$ (valeur maximale). À mesure que le condensateur se charge, la tension $u_C$ augmente, ce qui réduit la différence de potentiel aux bornes du conducteur ohmique ( $u_R = E - u_C$ ), donc $i$ diminue jusqu'à s'annuler quand le condensateur est chargé.

💡 À retenir : En régime permanent, $i = 0$ .

Non, l'intensité $i$ diminue au cours du temps. Au début ($t=0$), $i = E/R$ (valeur maximale). À mesure que le condensateur se charge, la tension $u_C$ augmente, ce qui réduit la différence de potentiel aux bornes du conducteur ohmique ($u_R = E - u_C$), donc $i$ diminue jusqu'à s'annuler quand le condensateur est chargé.

💡 À retenir : En régime permanent, $i = 0$.

Quelle est la différence entre le régime transitoire et le régime permanent ?

Régime transitoire : C'est la phase où les grandeurs électriques ( $u_C, i, q$ ) varient en fonction du temps. Elle dure environ $5\tau$ .
Régime permanent : C'est l'état final où les grandeurs deviennent constantes ( $u_C = E$ et $i = 0$ pour la charge).

💡 À retenir : Le régime permanent commence après environ $5\tau$ .

Régime transitoire : C'est la phase où les grandeurs électriques ($u_C, i, q$) varient en fonction du temps. Elle dure environ $5\tau$.
Régime permanent : C'est l'état final où les grandeurs deviennent constantes ($u_C = E$ et $i = 0$ pour la charge).

💡 À retenir : Le régime permanent commence après environ $5\tau$.

chhal hiya l'unite dial tau ?

L'unité de $\tau$ est la seconde ( $s$ ). Comme $\tau = RC$ , si $R$ est en Ohm ( $\Omega$ ) et $C$ en Farad ( $F$ ), alors le produit est en secondes.

💡 À retenir : $\tau$ est une durée, donc elle s'exprime toujours en unités de temps.

L'unité de $\tau$ est la seconde ($s$). Comme $\tau = RC$, si $R$ est en Ohm ($\Omega$) et $C$ en Farad ($F$), alors le produit est en secondes.

💡 À retenir : $\tau$ est une durée, donc elle s'exprime toujours en unités de temps.

Est-ce que la tension aux bornes du condensateur peut changer brusquement ?

Non, la tension aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps. Elle ne peut pas subir de discontinuité, car cela impliquerait un courant infini ( $i = C \frac{du_C}{dt}$ ), ce qui est physiquement impossible.

💡 À retenir : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ .

Non, la tension aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps. Elle ne peut pas subir de discontinuité, car cela impliquerait un courant infini ($i = C \frac{du_C}{dt}$), ce qui est physiquement impossible.

💡 À retenir : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$.

Comment varie l'énergie lors de la décharge ?

Lors de la décharge, l'énergie emmagasinée dans le condensateur diminue progressivement. Elle est dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique sous forme de chaleur.

💡 À retenir : L'énergie totale dissipée est égale à l'énergie initiale stockée : $E_{dissipée} = \frac{1}{2} C E^2$ .

Lors de la décharge, l'énergie emmagasinée dans le condensateur diminue progressivement. Elle est dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique sous forme de chaleur.

💡 À retenir : L'énergie totale dissipée est égale à l'énergie initiale stockée : $E_{dissipée} = \frac{1}{2} C E^2$.

Est-ce que le condensateur se décharge plus vite si R est grande ?

Non, au contraire. Plus la résistance $R$ est grande, plus le courant est faible, et plus la décharge est lente. La constante de temps $\tau = RC$ augmente avec $R$ .

💡 À retenir : Une grande résistance freine le passage du courant.

Non, au contraire. Plus la résistance $R$ est grande, plus le courant est faible, et plus la décharge est lente. La constante de temps $\tau = RC$ augmente avec $R$.

💡 À retenir : Une grande résistance freine le passage du courant.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 200 \, \mu F$ est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R$ . À $t=0$ , on ferme l'interrupteur. On mesure $\tau = 0,1 \, s$ .

Calculer la valeur de $R$ .
Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Calculer l'énergie stockée à $t = \tau$ si $E = 10 \, V$ .

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 200 , \mu F$ est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R$. À $t=0$, on ferme l'interrupteur. On mesure $\tau = 0,1 , s$.

Calculer la valeur de $R$.
Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Calculer l'énergie stockée à $t = \tau$ si $E = 10 , V$.

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Exercice 2

Un circuit RC est utilisé pour créer un retard. On donne $R = 10 \, k\Omega$ et $C = 10 \, \mu F$ . Le condensateur est initialement chargé sous $E = 12 \, V$ . On le décharge dans le conducteur ohmique.

Déterminer l'expression de $u_C(t)$ lors de la décharge.
À quel instant $t$ la tension $u_C$ est-elle égale à $1 \, V$ ?

Exercice 2

Un circuit RC est utilisé pour créer un retard. On donne $R = 10 , k\Omega$ et $C = 10 , \mu F$. Le condensateur est initialement chargé sous $E = 12 , V$. On le décharge dans le conducteur ohmique.

Déterminer l'expression de $u_C(t)$ lors de la décharge.
À quel instant $t$ la tension $u_C$ est-elle égale à $1 , V$ ?

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Exercice 3

On étudie la charge d'un condensateur. On trace la courbe $i(t)$ .

Montrer que $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$ .
Si la pente de la tangente à l'origine à la courbe $i(t)$ est $k = -20 \, A/s$ et $E = 10 \, V$ , déterminer $R$ et $C$ sachant que $\tau = 0,05 \, s$ .

Exercice 3

On étudie la charge d'un condensateur. On trace la courbe $i(t)$.

Montrer que $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$.
Si la pente de la tangente à l'origine à la courbe $i(t)$ est $k = -20 , A/s$ et $E = 10 , V$, déterminer $R$ et $C$ sachant que $\tau = 0,05 , s$.

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