Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Intégration sur un segment

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ . L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x) dx$ , est égale à $F(b) - F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ .
Positivité : Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ .
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Utiliser les primitives usuelles.
Changement de variable : Poser $t = \varphi(x)$ , donc $dt = \varphi'(x)dx$ . Ne pas oublier de changer les bornes.
Encadrement : Si $m \leq f(x) \leq M$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$ .

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$ . Par IPP : $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$ . $I = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la variable d'intégration ( $dx$ ) avec les bornes.
Appliquer l'IPP sans vérifier que les fonctions sont dérivables.

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) dx$, est égale à $F(b) - F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$.
Positivité : Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Utiliser les primitives usuelles.
Changement de variable : Poser $t = \varphi(x)$, donc $dt = \varphi'(x)dx$. Ne pas oublier de changer les bornes.
Encadrement : Si $m \leq f(x) \leq M$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$.

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$. Par IPP : $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$. $I = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la variable d'intégration ($dx$) avec les bornes.
Appliquer l'IPP sans vérifier que les fonctions sont dérivables.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Intégration sur un segment

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La valeur de $\int_0^1 e^{2x} dx$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser l'intégration par parties ou le changement de variable ?

Si tu vois un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: polynôme $\times$ exponentielle), pense à l'IPP.
Si tu vois une fonction composée ou une expression qui ressemble à $u'(x) \times f(u(x))$ , le changement de variable est souvent plus efficace.

💡 À retenir : L'IPP sert à "dériver" une partie pour simplifier, le changement de variable sert à "transformer" l'expression pour qu'elle devienne une primitive usuelle.

Si tu vois un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: polynôme $\times$ exponentielle), pense à l'IPP.
Si tu vois une fonction composée ou une expression qui ressemble à $u'(x) \times f(u(x))$, le changement de variable est souvent plus efficace.

💡 À retenir : L'IPP sert à "dériver" une partie pour simplifier, le changement de variable sert à "transformer" l'expression pour qu'elle devienne une primitive usuelle.

Kifach n7seb l'intégrale ila kan l'majal [b, a] au lieu de [a, b] ?

La règle est simple : $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$ .
Il suffit d'inverser les bornes et de changer le signe du résultat final.

💡 À retenir : Inverser les bornes multiplie toujours le résultat par $-1$ .

La règle est simple : $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$.
Il suffit d'inverser les bornes et de changer le signe du résultat final.

💡 À retenir : Inverser les bornes multiplie toujours le résultat par $-1$.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours strictement positive ?

Non. Si $f \geq 0$ et $f$ est continue, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ . Elle est strictement positive seulement si $f$ n'est pas identiquement nulle sur $[a, b]$ .

💡 À retenir : Une fonction peut être positive et avoir une intégrale nulle si elle est nulle partout sauf en un nombre fini de points.

Non. Si $f \geq 0$ et $f$ est continue, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$. Elle est strictement positive seulement si $f$ n'est pas identiquement nulle sur $[a, b]$.

💡 À retenir : Une fonction peut être positive et avoir une intégrale nulle si elle est nulle partout sauf en un nombre fini de points.

Chno hiya l'tariqa bach n3ref primitive dyal 1/x ?

La primitive de $1/x$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln(x)$ .
Sur $]-\infty, 0[$ , c'est $\ln(-x)$ .

💡 À retenir : La primitive est $\ln|x|$ sur tout intervalle ne contenant pas 0.

La primitive de $1/x$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln(x)$.
Sur $]-\infty, 0[$, c'est $\ln(-x)$.

💡 À retenir : La primitive est $\ln|x|$ sur tout intervalle ne contenant pas 0.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx times inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur très grave. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

💡 À retenir : Il n'existe pas de formule simple pour l'intégrale d'un produit, il faut utiliser l'IPP ou une autre méthode.

Kifach n7seb l'intégrale dyal sin^2(x) ?

Il faut utiliser la linéarisation : $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ .
Ensuite, tu intègres chaque terme séparément : $\int \frac{1}{2} dx - \int \frac{\cos(2x)}{2} dx$ .

💡 À retenir : Pour les puissances de sinus et cosinus, linéariser est toujours la première étape.

Il faut utiliser la linéarisation : $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Ensuite, tu intègres chaque terme séparément : $\int \frac{1}{2} dx - \int \frac{\cos(2x)}{2} dx$.

💡 À retenir : Pour les puissances de sinus et cosinus, linéariser est toujours la première étape.

Est-ce que je peux sortir une variable x de l'intégrale ?

Non, tu ne peux sortir que les constantes (les nombres réels). La variable $x$ est liée à $dx$ .

💡 À retenir : $\int_a^b x f(x) dx \neq x \int_a^b f(x) dx$ .

Non, tu ne peux sortir que les constantes (les nombres réels). La variable $x$ est liée à $dx$.

💡 À retenir : $\int_a^b x f(x) dx \neq x \int_a^b f(x) dx$.

Pourquoi on ajoute toujours la constante C dans les primitives mais pas dans les intégrales ?

Dans une primitive, on cherche une famille de fonctions, donc $+C$ est nécessaire.
Dans une intégrale, on calcule une valeur numérique précise, donc le $C$ s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$ .

💡 À retenir : L'intégrale est un nombre, la primitive est une fonction.

Dans une primitive, on cherche une famille de fonctions, donc $+C$ est nécessaire.
Dans une intégrale, on calcule une valeur numérique précise, donc le $C$ s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$.

💡 À retenir : L'intégrale est un nombre, la primitive est une fonction.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction impaire sur [-a, a] est toujours nulle ?

Oui, si la fonction est continue sur $[-a, a]$ .

💡 À retenir : Pour une fonction impaire, l'aire à gauche de l'axe des ordonnées compense exactement l'aire à droite.

Oui, si la fonction est continue sur $[-a, a]$.

💡 À retenir : Pour une fonction impaire, l'aire à gauche de l'axe des ordonnées compense exactement l'aire à droite.

Comment encadrer une intégrale compliquée ?

Cherche le minimum $m$ et le maximum $M$ de $f$ sur $[a, b]$ .
Applique la formule : $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$ .

💡 À retenir : L'encadrement est utile quand on ne peut pas calculer la primitive.

Cherche le minimum $m$ et le maximum $M$ de $f$ sur $[a, b]$.
Applique la formule : $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$.

💡 À retenir : L'encadrement est utile quand on ne peut pas calculer la primitive.

Est-ce que le changement de variable est obligatoire pour int0^1 frac{2x}{x^2+1} dx ?

Oui, c'est la méthode la plus propre. Tu poses $u = x^2+1$ , donc $du = 2x dx$ .

💡 À retenir : Quand le numérateur est la dérivée du dénominateur, on reconnaît la forme $u'/u$ .

Oui, c'est la méthode la plus propre. Tu poses $u = x^2+1$, donc $du = 2x dx$.

💡 À retenir : Quand le numérateur est la dérivée du dénominateur, on reconnaît la forme $u'/u$.

Est-ce que l'ordre des bornes change le résultat de l'intégrale ?

Oui, comme vu précédemment, inverser les bornes change le signe.

💡 À retenir : $\int_a^b = - \int_b^a$ .

Oui, comme vu précédemment, inverser les bornes change le signe.

💡 À retenir : $\int_a^b = - \int_b^a$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{x^2+3x+2} dx$ .

Exercice 1

Calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{x^2+3x+2} dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \ln(x)$ . Calculer $J = \int_1^e \ln(x) dx$ en utilisant l'intégration par parties.

Exercice 2

Soit $f(x) = \ln(x)$. Calculer $J = \int_1^e \ln(x) dx$ en utilisant l'intégration par parties.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $K = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$ .

Exercice 3

Calculer $K = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$.

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