Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès
Logique et raisonnements
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Connecteurs logiques : La table de vérité est l'outil de base. $P \implies Q$ est équivalent à $(\text{non } Q) \implies (\text{non } P)$.
Quantificateurs : $\forall x \in E, P(x)$ signifie que $P$ est vraie pour tout élément. $\exists x \in E, P(x)$ signifie qu'il existe au moins un élément.
Raisonnement par récurrence :
Initialisation : Vérifier pour le premier rang (souvent $n_0$).
Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Méthodes à maîtriser
Négation d'une assertion : Inverser les quantificateurs ($\forall \leftrightarrow \exists$) et nier la proposition.
Raisonnement par l'absurde : Supposer le contraire de ce qu'on veut démontrer et aboutir à une impossibilité (ex: $0=1$).
Raisonnement par contraposée : Très utile pour les implications du type "Si $x^2 \neq y^2$ alors $x \neq y$".
Exemples corrigés
Exemple 1 : Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. On suppose $\sqrt{2} = p/q$ (irréductible), on élève au carré, on trouve $p^2=2q^2$, donc $p$ est pair, ce qui mène à une contradiction sur l'irréductibilité.
Exemple 2 : Montrer par récurrence que $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.
Initialisation : $1 = \frac{1(2)}{2}$ (vrai).
Hérédité : Supposons la somme jusqu'à $n$, ajoutons $(n+1)$ et factorisons.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre la négation de $\forall$ avec $\exists$ (ne pas oublier de nier la condition).
Utiliser un exemple pour prouver une propriété générale (il faut un raisonnement formel).
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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La négation de "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$" est :
❓ Questions fréquentes
Kifach n7seb l'négation dyal "exists x in mathbb{R}, x^2=2 et x0"?
La négation est : "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \neq 2$ ou $x \leq 0$".
$\exists$ devient $\forall$.
"et" devient "ou".
On nie chaque partie de la proposition.
💡 À retenir : La loi de De Morgan transforme "et" en "ou" lors de la négation.
Est-ce que le raisonnement par disjonction des cas est toujours utile ?
Il est très utile quand la fonction ou la propriété change de comportement selon la valeur de $x$ (ex: valeur absolue $|x|$).
💡 À retenir : Si tu ne peux pas traiter le cas général, divise-le en sous-cas.
Est-ce que P implies Q est la même chose que Q implies P ?
Non, ce n'est pas la même chose. $Q \implies P$ est appelée la "réciproque" de $P \implies Q$. Par exemple, "S'il pleut, le sol est mouillé" est vrai, mais sa réciproque "Si le sol est mouillé, il pleut" est fausse (car on peut arroser le jardin).
Utilise la contraposée quand tu as une implication $P \implies Q$ où $non-Q$ est facile à manipuler.
Utilise l'absurde quand tu veux montrer qu'une propriété est impossible (ex: montrer qu'un nombre n'est pas rationnel).
💡 À retenir : L'absurde est plus général, la contraposée est plus directe pour les implications.
Chno hiya l'farq bin forall o exists ?
$\forall$ (pour tout) : La propriété doit être vraie pour chaque élément de l'ensemble.
$\exists$ (il existe) : Il suffit de trouver un seul élément qui vérifie la propriété.
💡 À retenir : $\forall$ est exigeant, $\exists$ est permissif.
Est-ce que la récurrence marche pour tous les entiers ?
Oui, à condition de bien définir le rang initial $n_0$. Si tu veux montrer une propriété pour $n \geq 5$, ton initialisation doit commencer à $n=5$.
💡 À retenir : Ne jamais oublier l'étape d'initialisation.
Kifach nnefi "forall x in mathbb{R}, x^2 0" ?
La négation est : "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0$".
On change $\forall$ en $\exists$.
On nie la proposition $x^2 > 0$ qui devient $x^2 \leq 0$.
💡 À retenir : La négation de "strictement supérieur" est "inférieur ou égal".
Est-ce qu'on peut démontrer une égalité par l'absurde ?
Oui, tu supposes que l'égalité est fausse (donc $A \neq B$) et tu cherches une contradiction. Cependant, il est souvent plus simple de calculer $A-B$ et de montrer qu'il est nul.
💡 À retenir : L'absurde est un recours, pas la méthode prioritaire.
Est-ce que P iff Q signifie que P et Q sont vraies en même temps ?
Oui, cela signifie qu'elles ont la même valeur de vérité. Soit les deux sont vraies, soit les deux sont fausses.
💡 À retenir : L'équivalence est une double implication ($P \implies Q$ et $Q \implies P$).
Est-ce qu'il faut toujours écrire "Soit n in mathbb{N}" au début d'une récurrence ?
Oui, c'est indispensable pour fixer le cadre de ton raisonnement. Tu dois préciser l'ensemble dans lequel travaille ta variable.
💡 À retenir : La rigueur commence par la définition des variables.
Est-ce que le contre-exemple suffit pour montrer qu'une proposition est fausse ?
Oui, absolument. Si tu veux montrer que "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$" est fausse, il suffit de donner $x=0$. Comme $0^2 = 0$ (qui n'est pas $>0$), la proposition est réfutée.
💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle.
Est-ce que je peux utiliser la récurrence forte ?
Oui, si pour montrer $P(n+1)$, tu as besoin de supposer que $P(k)$ est vraie pour tous les $k \leq n$. C'est une variante valide du programme.
💡 À retenir : La récurrence forte est parfois nécessaire pour les suites définies par plusieurs termes précédents.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a : $\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$.
Négation d'une assertion : Inverser les quantificateurs (∀↔∃) et nier la proposition.
Raisonnement par l'absurde : Supposer le contraire de ce qu'on veut démontrer et aboutir à une impossibilité (ex: 0=1).
Raisonnement par contraposée : Très utile pour les implications du type "Si x2=y2 alors x=y".
Exemples corrigés
Exemple 1 : Montrer que 2∈/Q. On suppose 2=p/q (irréductible), on élève au carré, on trouve p2=2q2, donc p est pair, ce qui mène à une contradiction sur l'irréductibilité.
Exemple 2 : Montrer par récurrence que ∑k=1nk=2n(n+1).
Initialisation : 1=21(2) (vrai).
Hérédité : Supposons la somme jusqu'à n, ajoutons (n+1) et factorisons.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre la négation de ∀ avec ∃ (ne pas oublier de nier la condition).
Utiliser un exemple pour prouver une propriété générale (il faut un raisonnement formel).
La négation de "∀x∈R,x2≥0" est :
∀x∈R,x2<0
∃x∈R,x2<0
∃x∈R,x2≤0
∀x∈R,x2≤0
La négation est : "∀x∈R,x2=2 ou x≤0".
∃ devient ∀.
"et" devient "ou".
On nie chaque partie de la proposition.
💡 À retenir : La loi de De Morgan transforme "et" en "ou" lors de la négation.
Il est très utile quand la fonction ou la propriété change de comportement selon la valeur de x (ex: valeur absolue ∣x∣).
💡 À retenir : Si tu ne peux pas traiter le cas général, divise-le en sous-cas.
Non, ce n'est pas la même chose. Q⟹P est appelée la "réciproque" de P⟹Q. Par exemple, "S'il pleut, le sol est mouillé" est vrai, mais sa réciproque "Si le sol est mouillé, il pleut" est fausse (car on peut arroser le jardin).
💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.
Utilise la contraposée quand tu as une implication P⟹Q où non−Q est facile à manipuler.
Utilise l'absurde quand tu veux montrer qu'une propriété est impossible (ex: montrer qu'un nombre n'est pas rationnel).
💡 À retenir : L'absurde est plus général, la contraposée est plus directe pour les implications.
∀ (pour tout) : La propriété doit être vraie pour chaque élément de l'ensemble.
∃ (il existe) : Il suffit de trouver un seul élément qui vérifie la propriété.
💡 À retenir : ∀ est exigeant, ∃ est permissif.
Oui, à condition de bien définir le rang initial n0. Si tu veux montrer une propriété pour n≥5, ton initialisation doit commencer à n=5.
💡 À retenir : Ne jamais oublier l'étape d'initialisation.
La négation est : "∃x∈R,x2≤0".
On change ∀ en ∃.
On nie la proposition x2>0 qui devient x2≤0.
💡 À retenir : La négation de "strictement supérieur" est "inférieur ou égal".
Oui, tu supposes que l'égalité est fausse (donc A=B) et tu cherches une contradiction. Cependant, il est souvent plus simple de calculer A−B et de montrer qu'il est nul.
💡 À retenir : L'absurde est un recours, pas la méthode prioritaire.
Oui, cela signifie qu'elles ont la même valeur de vérité. Soit les deux sont vraies, soit les deux sont fausses.
💡 À retenir : L'équivalence est une double implication (P⟹Q et Q⟹P).
Oui, absolument. Si tu veux montrer que "∀x∈R,x2>0" est fausse, il suffit de donner x=0. Comme 02=0 (qui n'est pas >0), la proposition est réfutée.
💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle.
Oui, si pour montrer P(n+1), tu as besoin de supposer que P(k) est vraie pour tous les k≤n. C'est une variante valide du programme.
💡 À retenir : La récurrence forte est parfois nécessaire pour les suites définies par plusieurs termes précédents.
Exercice 1
Montrer par récurrence que pour tout n∈N∗, on a : ∑k=1n(2k−1)=n2.
Exercice 2
Montrer par l'absurde que si x est un réel tel que x2 est irrationnel, alors x est irrationnel.