Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$ .

Méthodes à maîtriser

Lever une forme indéterminée (factorisation, conjugaison).
Utiliser le TVI pour prouver l'existence d'une solution à $f(x) = k$ .
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue et monotone.
Montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque $f^{-1}$ .

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$ . $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$ , donc $f$ est continue en 1.
TVI : $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $f$ est continue et $0 \in [-1, 1]$ , il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ et la valeur $f(a)$ .
Oublier la stricte monotonie pour appliquer le théorème de la bijection.

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

Méthodes à maîtriser

Lever une forme indéterminée (factorisation, conjugaison).
Utiliser le TVI pour prouver l'existence d'une solution à $f(x) = k$.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue et monotone.
Montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque $f^{-1}$.

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$. $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$, donc $f$ est continue en 1.
TVI : $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f$ est continue et $0 \in [-1, 1]$, il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ et la valeur $f(a)$.
Oublier la stricte monotonie pour appliquer le théorème de la bijection.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

1/4

La fonction $f(x) = \tan(x)$ est continue sur :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'une équation f(x)=0 a une solution unique ?

Montrer que $f$ est continue.
Montrer que $f$ est strictement monotone.
Vérifier que 0 est compris entre les bornes de l'image de l'intervalle.

💡 À retenir : Continuité + Stricte monotonie = Bijection.

Montrer que $f$ est continue.
Montrer que $f$ est strictement monotone.
Vérifier que 0 est compris entre les bornes de l'image de l'intervalle.

💡 À retenir : Continuité + Stricte monotonie = Bijection.

Kifach n3ref wach founction mtassla f-noqta?

Hseb l-limite dyal $f(x)$ fach $x$ katqreb l- $a$ .
Hseb $f(a)$ (l-image dyal $a$ ).
Ila kant $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , rah l-founction mtassla.

💡 À retenir : La limite doit être égale à l'image.

Hseb l-limite dyal $f(x)$ fach $x$ katqreb l-$a$.
Hseb $f(a)$ (l-image dyal $a$).
Ila kant $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, rah l-founction mtassla.

💡 À retenir : La limite doit être égale à l'image.

Wach TVI kayslah ghir bach nbayno kayn l-hal?

Oui, le TVI sert principalement à prouver l'existence d'au moins une solution. Si on ajoute que la fonction est strictement monotone, on prouve que la solution est unique.

💡 À retenir : TVI = Existence ; Stricte monotonie = Unicité.

Chno hiya l-farq bin l-ittissal f-noqta o l-ittissal 3la l-intervalle?

L-ittissal f-noqta: kanchoufou ghir wach l-founction mroq3a f-dik l-noqta.
L-ittissal 3la l-intervalle: khass tkoun l-founction mtassla f-ga3 n-noqat li kaynin f-dak l-intervalle.

💡 À retenir : L'intervalle est une infinité de points.

Comment lever une forme indéterminée infty - infty ?

Factoriser par le terme de plus haut degré.
Utiliser la quantité conjuguée si la fonction contient des racines carrées.

💡 À retenir : La factorisation est l'outil principal.

Wach l-founction réciproque katbqa mtassla?

Oui, si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est aussi continue sur l'intervalle $f(I)$ .

💡 À retenir : La réciproque hérite de la continuité.

Oui, si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est aussi continue sur l'intervalle $f(I)$.

💡 À retenir : La réciproque hérite de la continuité.

Kifach n7seb l-image dyal intervalle [a, b]?

Ila kant $f$ tzaidiya (croissante) : $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ .
Ila kant $f$ tnaqossiya (décroissante) : $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : L'ordre change si la fonction est décroissante.

Ila kant $f$ tzaidiya (croissante) : $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Ila kant $f$ tnaqossiya (décroissante) : $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : L'ordre change si la fonction est décroissante.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la courbe a un point anguleux).

💡 À retenir : Continuité n'implique pas dérivabilité.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la courbe a un point anguleux).

💡 À retenir : Continuité n'implique pas dérivabilité.

Chno l-fayda dyal l-prolongement par continuité?

Il sert à définir une fonction en un point où elle n'était pas définie initialement, tout en gardant la continuité. On "bouche le trou" de la courbe.

💡 À retenir : On crée une nouvelle fonction $\tilde{f}$ qui prolonge $f$ .

Il sert à définir une fonction en un point où elle n'était pas définie initialement, tout en gardant la continuité. On "bouche le trou" de la courbe.

💡 À retenir : On crée une nouvelle fonction $\tilde{f}$ qui prolonge $f$.

Est-ce que la somme de deux fonctions continues est continue ?

Oui, la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions continues sont des fonctions continues sur leur domaine de définition.

💡 À retenir : Les opérations conservent la continuité.

Kifach n3ref wach l-founction 3ndha asymptote?

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ , alors $y=L$ est une asymptote horizontale.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ , alors $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Asymptote = limite infinie ou valeur finie à l'infini.

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, alors $y=L$ est une asymptote horizontale.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Asymptote = limite infinie ou valeur finie à l'infini.

Est-ce que le TVI marche sur un intervalle ouvert ?

Le TVI classique s'applique sur un intervalle fermé $[a, b]$ . Sur un intervalle ouvert, on utilise les limites aux bornes pour encadrer les valeurs.

💡 À retenir : Le TVI nécessite des bornes incluses ou des limites.

Le TVI classique s'applique sur un intervalle fermé $[a, b]$. Sur un intervalle ouvert, on utilise les limites aux bornes pour encadrer les valeurs.

💡 À retenir : Le TVI nécessite des bornes incluses ou des limites.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 2x - 1$ .

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0, 1]$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 2x - 1$.

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0, 1]$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$ .

Déterminer $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Définir le prolongement par continuité de $f$ en 0.

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$.

Déterminer $\lim_{x \to 0} f(x)$.
Définir le prolongement par continuité de $f$ en 0.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f$ une fonction continue sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=1$ et $f(1)=0$ . Montrer qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = c$ .

Exercice 3

Soit $f$ une fonction continue sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=1$ et $f(1)=0$. Montrer qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = c$.

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