Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Dénombrement et probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal : Pour un ensemble fini $E$ , $|E|$ est le nombre d'éléments.
Principe multiplicatif : Si une tâche se fait en $n$ étapes, le nombre total est le produit des possibilités.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Probabilité : $P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |}$ (équiprobabilité).
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ , $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage : Avec ou sans remise ? Ordre important ou non ?
Utiliser l'événement contraire : Très utile quand la question contient "au moins un".
Arbre de probabilités : Indispensable pour les tirages successifs.
Formule de Bayes/Probabilités totales : Pour les systèmes complets d'événements.

Exemples corrigés

Tirage de 3 boules parmi 10 sans remise : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Probabilité d'avoir au moins une boule blanche : $1 - P(\text{aucune boule blanche})$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ .
Oublier que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ n'est vrai que si $A \cap B = \emptyset$ .
Ne pas vérifier si le tirage est avec ou sans remise.

L'essentiel du cours

Cardinal : Pour un ensemble fini $E$, $|E|$ est le nombre d'éléments.
Principe multiplicatif : Si une tâche se fait en $n$ étapes, le nombre total est le produit des possibilités.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Probabilité : $P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |}$ (équiprobabilité).
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage : Avec ou sans remise ? Ordre important ou non ?
Utiliser l'événement contraire : Très utile quand la question contient "au moins un".
Arbre de probabilités : Indispensable pour les tirages successifs.
Formule de Bayes/Probabilités totales : Pour les systèmes complets d'événements.

Exemples corrigés

Tirage de 3 boules parmi 10 sans remise : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Probabilité d'avoir au moins une boule blanche : $1 - P(\text{aucune boule blanche})$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$.
Oublier que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ n'est vrai que si $A \cap B = \emptyset$.
Ne pas vérifier si le tirage est avec ou sans remise.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dénombrement et probabilités

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Combien de façons de choisir 2 élèves parmi 10 pour un comité ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre arrangement et combinaison ?

Dans un arrangement, l'ordre compte (ex: un podium, un code secret).
Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas (ex: une main de cartes, un groupe de travail).

💡 À retenir : Pose-toi toujours la question : "Si j'inverse deux éléments, est-ce que le résultat change ?" Si oui, c'est un arrangement.

Kifach n3ref wach nkhdem b Cn^k wla An^k f l'examen ?

Ila kan l'tirtib mouhim (khalat, l'manassib, l'ar9am), khdem b $A_n^k$ .
Ila kan l'tirtib machi mouhim (kora, majmo3a, l'a3da' d'lajna), khdem b $C_n^k$ .

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Ordre = Arrangement", "Pas d'ordre = Combinaison".

Ila kan l'tirtib mouhim (khalat, l'manassib, l'ar9am), khdem b $A_n^k$.
Ila kan l'tirtib machi mouhim (kora, majmo3a, l'a3da' d'lajna), khdem b $C_n^k$.

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Ordre = Arrangement", "Pas d'ordre = Combinaison".

Comment calculer la probabilité d'un événement contraire ?

Identifie l'événement $A$ .
Détermine son contraire $\bar{A}$ (ce qui se passe si $A$ ne se réalise pas).
Utilise la formule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ .

💡 À retenir : C'est souvent plus rapide quand la question contient "au moins un".

Identifie l'événement $A$.
Détermine son contraire $\bar{A}$ (ce qui se passe si $A$ ne se réalise pas).
Utilise la formule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

💡 À retenir : C'est souvent plus rapide quand la question contient "au moins un".

Chno hiya l'far9 bin tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise : Le nombre total de boules reste constant à chaque tirage.
Sans remise : Le nombre total de boules diminue de 1 à chaque tirage.

💡 À retenir : Avec remise, on utilise souvent les puissances ( $n^k$ ). Sans remise, on utilise les factorielles ou combinaisons.

Avec remise : Le nombre total de boules reste constant à chaque tirage.
Sans remise : Le nombre total de boules diminue de 1 à chaque tirage.

💡 À retenir : Avec remise, on utilise souvent les puissances ($n^k$). Sans remise, on utilise les factorielles ou combinaisons.

Est-ce que P(A cap B) = P(A) times P(B) est toujours vrai ?

Non, cette formule n'est vraie que si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

💡 À retenir : Si les événements sont dépendants, utilise $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

Non, cette formule n'est vraie que si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

💡 À retenir : Si les événements sont dépendants, utilise $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Kifach n7seb l'i7timal dyal "au moins une boule blanche" ?

L'événement contraire de "au moins une blanche" est "aucune boule blanche" (toutes sont d'une autre couleur).
Calcule $P(\text{aucune blanche})$ .
Fais $1 - P(\text{aucune blanche})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

L'événement contraire de "au moins une blanche" est "aucune boule blanche" (toutes sont d'une autre couleur).
Calcule $P(\text{aucune blanche})$.
Fais $1 - P(\text{aucune blanche})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Qu'est-ce qu'un système complet d'événements ?

C'est une famille d'événements $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$ tels que :

Ils sont deux à deux incompatibles ( $A_i \cap A_j = \emptyset$ ).
Leur union forme l'univers $\Omega$ ( $\sum P(A_i) = 1$ ).

💡 À retenir : Utile pour la formule des probabilités totales.

C'est une famille d'événements ${A_1, A_2, ..., A_n}$ tels que :

Ils sont deux à deux incompatibles ($A_i \cap A_j = \emptyset$).
Leur union forme l'univers $\Omega$ ($\sum P(A_i) = 1$).

💡 À retenir : Utile pour la formule des probabilités totales.

Comment utiliser l'arbre de probabilités ?

Chaque branche représente une issue possible.
La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud vaut 1.
Pour un chemin, on multiplie les probabilités.

💡 À retenir : Pour $P(A \cap B)$ , on suit le chemin de $A$ puis $B$ .

Chaque branche représente une issue possible.
La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud vaut 1.
Pour un chemin, on multiplie les probabilités.

💡 À retenir : Pour $P(A \cap B)$, on suit le chemin de $A$ puis $B$.

Est-ce que la probabilité peut être supérieure à 1 ?

Non, jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat $>1$ , vérifie tes calculs de cardinal.

Non, jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat $>1$, vérifie tes calculs de cardinal.

C'est quoi la différence entre événements incompatibles et indépendants ?

Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$ (ils ne peuvent pas arriver en même temps).
Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (l'un n'influence pas l'autre).

💡 À retenir : Ne confonds pas les deux, ce sont deux notions totalement différentes.

Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$ (ils ne peuvent pas arriver en même temps).
Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (l'un n'influence pas l'autre).

💡 À retenir : Ne confonds pas les deux, ce sont deux notions totalement différentes.

Pourquoi on divise par le nombre total de cas possibles ?

Parce que la probabilité est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas équiprobables.

💡 À retenir : C'est la définition fondamentale dans un univers fini.

Comment savoir si on doit utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand l'événement $A$ peut se réaliser via plusieurs chemins (plusieurs cas distincts).

💡 À retenir : $P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + ...$ où les $B_i$ forment un système complet.

Quand l'événement $A$ peut se réaliser via plusieurs chemins (plusieurs cas distincts).

💡 À retenir : $P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + ...$ où les $B_i$ forment un système complet.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 3 boules.

Quel est le nombre de tirages possibles ?
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 boules rouges et 1 verte ?

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Exercice 2

On tire deux boules successivement sans remise d'une urne contenant 4 boules blanches et 2 noires.

Calculer la probabilité que les deux boules soient de même couleur.

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Exercice 3

Une urne $U_1$ contient 2 boules blanches et 3 noires. Une urne $U_2$ contient 3 blanches et 1 noire. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule.

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

Exercice 3

Une urne $U_1$ contient 2 boules blanches et 3 noires. Une urne $U_2$ contient 3 blanches et 1 noire. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule.

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

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