Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ .
Module et Conjugué : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ et $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ .
Forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ où $r = |z|$ et $\theta \equiv \arg(z) [2\pi]$ .
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$ .
Interprétation géométrique : L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$ . La distance $AB = |z_B - z_A|$ .

Méthodes à maîtriser

Passage d'une forme à l'autre : Savoir calculer le module et l'argument pour passer à la forme exponentielle.
Linéarisation : Utiliser les formules d'Euler $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ .
Résolution d'équations : Utiliser le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ (même si $\Delta < 0$ , les solutions sont complexes).
Transformations géométriques :
- Translation : $z' = z + b$ .
- Rotation : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .
- Homothétie : $z' - \omega = k(z - \omega)$ .

Exemples corrigés

Calcul : Pour $z = 1 + i\sqrt{3}$ , $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ . Donc $z = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{i\pi/3}$ .
Équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . Solutions : $z_1 = \frac{2-2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Ne pas vérifier le signe du discriminant avant de calculer les racines.

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
Module et Conjugué : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ et $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$.
Forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ où $r = |z|$ et $\theta \equiv \arg(z) [2\pi]$.
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$.
Interprétation géométrique : L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$. La distance $AB = |z_B - z_A|$.

Méthodes à maîtriser

Passage d'une forme à l'autre : Savoir calculer le module et l'argument pour passer à la forme exponentielle.
Linéarisation : Utiliser les formules d'Euler $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.
Résolution d'équations : Utiliser le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ (même si $\Delta < 0$, les solutions sont complexes).
Transformations géométriques :
- Translation : $z' = z + b$.
- Rotation : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.
- Homothétie : $z' - \omega = k(z - \omega)$.

Exemples corrigés

Calcul : Pour $z = 1 + i\sqrt{3}$, $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. Donc $z = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{i\pi/3}$.
Équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. Solutions : $z_1 = \frac{2-2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Ne pas vérifier le signe du discriminant avant de calculer les racines.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes

1/4

Le module de $z = 3i$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment calculer le module d'un quotient ?

Pour calculer le module d'un quotient $\frac{z_1}{z_2}$ , on utilise la propriété $| \frac{z_1}{z_2} | = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (avec $z_2 \neq 0$ ).

Calcule le module du numérateur $|z_1|$ .
Calcule le module du dénominateur $|z_2|$ .
Fais la division des deux résultats.

💡 À retenir : Le module d'un quotient est le quotient des modules.

Pour calculer le module d'un quotient $\frac{z_1}{z_2}$, on utilise la propriété $| \frac{z_1}{z_2} | = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (avec $z_2 \neq 0$).

Calcule le module du numérateur $|z_1|$.
Calcule le module du dénominateur $|z_2|$.
Fais la division des deux résultats.

💡 À retenir : Le module d'un quotient est le quotient des modules.

Kifach n7seb l-argument dyal z = -1 + i ?

Hseb l-module : $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .
Factoriser b l-module : $z = \sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$ .
3rf l-zawiya li l-cos dyalha $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ o sin dyalha $\frac{\sqrt{2}}{2}$ : hiya $\frac{3\pi}{4}$ .
Donc $\arg(z) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]$ .

💡 À retenir : Dima factoriser b l-module bach tban lik l-zawiya f l-me3lam.

Hseb l-module : $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Factoriser b l-module : $z = \sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$.
3rf l-zawiya li l-cos dyalha $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ o sin dyalha $\frac{\sqrt{2}}{2}$ : hiya $\frac{3\pi}{4}$.
Donc $\arg(z) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]$.

💡 À retenir : Dima factoriser b l-module bach tban lik l-zawiya f l-me3lam.

Est-ce que bar{z1 cdot z2} = bar{z1} cdot bar{z2} ?

Oui, c'est une propriété fondamentale des nombres complexes. Le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués. Cela se démontre facilement en posant $z_1 = a+ib$ et $z_2 = c+id$ .

💡 À retenir : Le conjugué "distribue" sur toutes les opérations (addition, multiplication, division).

Oui, c'est une propriété fondamentale des nombres complexes. Le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués. Cela se démontre facilement en posant $z_1 = a+ib$ et $z_2 = c+id$.

💡 À retenir : Le conjugué "distribue" sur toutes les opérations (addition, multiplication, division).

Chno hiya l-farq bin rotation o homothétie ?

Rotation : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ . Hiya t-tahawol li kaydor l-noqta b-zawiya $\theta$ bla mayghayr l-masafa 3la l-markaz $\omega$ .
Homothétie : $z' - \omega = k(z - \omega)$ . Hiya t-tahawol li kaykbr aw kay-sghr l-masafa b-mo3amil $k$ .

💡 À retenir : La rotation garde la distance, l'homothétie change la taille.

Rotation : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$. Hiya t-tahawol li kaydor l-noqta b-zawiya $\theta$ bla mayghayr l-masafa 3la l-markaz $\omega$.
Homothétie : $z' - \omega = k(z - \omega)$. Hiya t-tahawol li kaykbr aw kay-sghr l-masafa b-mo3amil $k$.

💡 À retenir : La rotation garde la distance, l'homothétie change la taille.

Comment montrer que trois points sont alignés ?

Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

Calcule $z_C - z_A$ et $z_B - z_A$ .
Fais le quotient.
Vérifie s'il n'y a pas de partie imaginaire (i.e., le résultat appartient à $\mathbb{R}$ ).

💡 À retenir : Rapport réel = points alignés ; rapport imaginaire pur = droites perpendiculaires.

Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

Calcule $z_C - z_A$ et $z_B - z_A$.
Fais le quotient.
Vérifie s'il n'y a pas de partie imaginaire (i.e., le résultat appartient à $\mathbb{R}$).

💡 À retenir : Rapport réel = points alignés ; rapport imaginaire pur = droites perpendiculaires.

Kifach n7seb z^n ila kan z f chkl exponentiel ?

Ila kan $z = re^{i\theta}$ , alors $z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ .

Elevé le module $r$ à la puissance $n$ .
Multiplié l'argument $\theta$ par $n$ .

💡 À retenir : C'est la formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ .

Ila kan $z = re^{i\theta}$, alors $z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$.

Elevé le module $r$ à la puissance $n$.
Multiplié l'argument $\theta$ par $n$.

💡 À retenir : C'est la formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.

Quelle est la forme algébrique de i^n ?

La valeur de $i^n$ est cyclique :

Si $n = 4k$ , $i^n = 1$ .
Si $n = 4k+1$ , $i^n = i$ .
Si $n = 4k+2$ , $i^n = -1$ .
Si $n = 4k+3$ , $i^n = -i$ .

💡 À retenir : Il suffit de diviser $n$ par 4 et regarder le reste.

La valeur de $i^n$ est cyclique :

Si $n = 4k$, $i^n = 1$.
Si $n = 4k+1$, $i^n = i$.
Si $n = 4k+2$, $i^n = -1$.
Si $n = 4k+3$, $i^n = -i$.

💡 À retenir : Il suffit de diviser $n$ par 4 et regarder le reste.

Comment résoudre z^2 = a où a est réel négatif ?

Si $a = -k$ (avec $k > 0$ ), alors $z^2 = -k = k \cdot i^2$ . Les solutions sont $z = i\sqrt{k}$ et $z = -i\sqrt{k}$ .

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$ , tout nombre négatif possède une racine carrée imaginaire.

Si $a = -k$ (avec $k > 0$), alors $z^2 = -k = k \cdot i^2$. Les solutions sont $z = i\sqrt{k}$ et $z = -i\sqrt{k}$.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$, tout nombre négatif possède une racine carrée imaginaire.

Est-ce que |z1 + z2| = |z1| + |z2| ?

En général non. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ . L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne jamais supposer que le module d'une somme est la somme des modules.

En général non. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne jamais supposer que le module d'une somme est la somme des modules.

Comment trouver l'ensemble des points M tels que |z - i| = 2 ?

Soit $A$ le point d'affixe $i$ .
L'équation devient $AM = 2$ .
C'est la définition d'un cercle de centre $A(0, 1)$ et de rayon $R = 2$ .

💡 À retenir : $|z - z_A| = R$ représente toujours un cercle de centre $A$ et de rayon $R$ .

Soit $A$ le point d'affixe $i$.
L'équation devient $AM = 2$.
C'est la définition d'un cercle de centre $A(0, 1)$ et de rayon $R = 2$.

💡 À retenir : $|z - z_A| = R$ représente toujours un cercle de centre $A$ et de rayon $R$.

Pourquoi on utilise les complexes pour la géométrie ?

Parce qu'ils permettent de transformer des problèmes géométriques (rotations, alignements, orthogonalité) en calculs algébriques simples, ce qui est beaucoup plus rapide que la géométrie analytique classique.

💡 À retenir : Les complexes sont l'outil le plus puissant pour manipuler les transformations du plan.

Est-ce que l'argument est unique ?

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près. On parle souvent de "l'argument principal" qui appartient à l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

💡 À retenir : $\arg(z) = \theta + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près. On parle souvent de "l'argument principal" qui appartient à l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

💡 À retenir : $\arg(z) = \theta + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $z = 1 + i$ .

Écrire $z$ sous forme exponentielle.
Calculer $z^4$ .
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z - i|$ .

Exercice 1

Soit $z = 1 + i$.

Écrire $z$ sous forme exponentielle.
Calculer $z^4$.
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z - i|$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega(i)$ et d'angle $\pi/2$ . Déterminer l'image du point $A(1)$ par $R$ .

Exercice 3

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega(i)$ et d'angle $\pi/2$. Déterminer l'image du point $A(1)$ par $R$.

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