Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Équations différentielles linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme $(E) : y' + a(x)y = b(x)$ .

Équation homogène associée : $(E_0) : y' + a(x)y = 0$ . Les solutions sont $y_h(x) = C \cdot e^{-A(x)}$ où $A(x)$ est une primitive de $a(x)$ .
Solution générale : $y = y_h + y_p$ , où $y_p$ est une solution particulière de $(E)$ .
Cas particulier : Si $a$ et $b$ sont des constantes ( $y' + ay = b$ ), la solution générale est $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ ).

Méthodes à maîtriser

Recherche de solution particulière : Si $b(x)$ est un polynôme, on cherche $y_p$ sous forme d'un polynôme de même degré. Si $b(x) = k e^{\lambda x}$ , on cherche $y_p$ sous la forme $A e^{\lambda x}$ .
Variation de la constante : Si on ne trouve pas de solution particulière évidente, on pose $y_p(x) = C(x) e^{-A(x)}$ et on remplace dans $(E)$ pour trouver $C'(x)$ .

Exemples corrigés

Exemple : $y' + 2y = 4$ .

Homogène : $y' + 2y = 0 \implies y_h = C e^{-2x}$ .
Solution particulière : $y_p = \frac{4}{2} = 2$ .
Solution générale : $y(x) = C e^{-2x} + 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe dans l'exposant de l'exponentielle ( $e^{-A(x)}$ ).
Ne pas vérifier la solution particulière en la réinjectant dans l'équation initiale.

L'essentiel du cours

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme $(E) : y' + a(x)y = b(x)$.

Équation homogène associée : $(E_0) : y' + a(x)y = 0$. Les solutions sont $y_h(x) = C \cdot e^{-A(x)}$ où $A(x)$ est une primitive de $a(x)$.
Solution générale : $y = y_h + y_p$, où $y_p$ est une solution particulière de $(E)$.
Cas particulier : Si $a$ et $b$ sont des constantes ($y' + ay = b$), la solution générale est $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).

Méthodes à maîtriser

Recherche de solution particulière : Si $b(x)$ est un polynôme, on cherche $y_p$ sous forme d'un polynôme de même degré. Si $b(x) = k e^{\lambda x}$, on cherche $y_p$ sous la forme $A e^{\lambda x}$.
Variation de la constante : Si on ne trouve pas de solution particulière évidente, on pose $y_p(x) = C(x) e^{-A(x)}$ et on remplace dans $(E)$ pour trouver $C'(x)$.

Exemples corrigés

Exemple : $y' + 2y = 4$.

Homogène : $y' + 2y = 0 \implies y_h = C e^{-2x}$.
Solution particulière : $y_p = \frac{4}{2} = 2$.
Solution générale : $y(x) = C e^{-2x} + 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe dans l'exposant de l'exponentielle ($e^{-A(x)}$).
Ne pas vérifier la solution particulière en la réinjectant dans l'équation initiale.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles linéaires

1/4

Quelle est la solution de $y' + 3y = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la solution d'une équation différentielle est toujours une fonction ?

Oui, absolument. Contrairement à une équation algébrique où l'inconnue est un nombre, ici l'inconnue est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

💡 À retenir : Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient l'égalité pour tout $x$ de l'intervalle.

Oui, absolument. Contrairement à une équation algébrique où l'inconnue est un nombre, ici l'inconnue est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

💡 À retenir : Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient l'égalité pour tout $x$ de l'intervalle.

Kifach n7seb l-7al l-khas ila kan l-taraf l-tani b(x) fih x^2 ?

Ila kan $b(x)$ polynôme de degré $n$ , kanchoufo $y_p$ 7ta hiya polynôme de degré $n$ .
Hna $x^2$ (degré 2), donc kanketbo $y_p(x) = ax^2 + bx + c$ .
Kanchqiw $y_p$ w kan3awdo f lmo3adala bach n-lqaw $a, b, c$ .

💡 À retenir : La forme de la solution particulière dépend toujours de la forme du second membre.

Ila kan $b(x)$ polynôme de degré $n$, kanchoufo $y_p$ 7ta hiya polynôme de degré $n$.
Hna $x^2$ (degré 2), donc kanketbo $y_p(x) = ax^2 + bx + c$.
Kanchqiw $y_p$ w kan3awdo f lmo3adala bach n-lqaw $a, b, c$.

💡 À retenir : La forme de la solution particulière dépend toujours de la forme du second membre.

Est-ce que je peux utiliser la méthode de variation de la constante pour toutes les équations ?

Oui, c'est une méthode universelle pour les équations linéaires du premier ordre. Cependant, elle peut être longue. Si le second membre est simple (polynôme, exponentielle), la méthode par identification est plus rapide.

💡 À retenir : Garde la variation de la constante comme "plan B" quand tu ne vois pas de solution particulière évidente.

Chno hiya l-farq bin l-7al l-3am w l-7al l-khas ?

L-7al l-3am fih wahed l-constante $C$ (ma3roufch ch7al katswa).
L-7al l-khas (ou particulier) kankhdo fih $C$ b3d ma kan3tiw charte bad'i (ex: $y(0)=1$ ).

💡 À retenir : Le "particulier" est une courbe précise parmi la famille de courbes du "général".

L-7al l-3am fih wahed l-constante $C$ (ma3roufch ch7al katswa).
L-7al l-khas (ou particulier) kankhdo fih $C$ b3d ma kan3tiw charte bad'i (ex: $y(0)=1$).

💡 À retenir : Le "particulier" est une courbe précise parmi la famille de courbes du "général".

Pourquoi on ajoute yh et yp ?

C'est une propriété fondamentale : la somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière est toujours solution de l'équation complète.

💡 À retenir : $y = y_{homogène} + y_{particulière}$ est la structure obligatoire de toute solution.

C'est une propriété fondamentale : la somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière est toujours solution de l'équation complète.

💡 À retenir : $y = y_{homogène} + y_{particulière}$ est la structure obligatoire de toute solution.

Kifach n3ref wach l-7al li lqit s7i7 ?

Sahl bzaf : chqi l-7al li lqiti, 3awdo f lmo3adala l-asliya, ila lqiti l-taraf l-tani $b(x)$ t-tariqa s7i7a.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs de signe.

Sahl bzaf : chqi l-7al li lqiti, 3awdo f lmo3adala l-asliya, ila lqiti l-taraf l-tani $b(x)$ t-tariqa s7i7a.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs de signe.

Que faire si le coefficient de y' n'est pas 1 ?

Il faut diviser toute l'équation par ce coefficient avant de commencer. Par exemple, pour $2y' + 4y = 8$ , divise tout par 2 pour obtenir $y' + 2y = 4$ .

💡 À retenir : La forme standard est toujours $y' + a(x)y = b(x)$ .

Il faut diviser toute l'équation par ce coefficient avant de commencer. Par exemple, pour $2y' + 4y = 8$, divise tout par 2 pour obtenir $y' + 2y = 4$.

💡 À retenir : La forme standard est toujours $y' + a(x)y = b(x)$.

Est-ce que yp peut être une constante ?

Oui, si le second membre $b(x)$ est une constante, on cherche souvent une solution particulière sous forme de constante.

💡 À retenir : Si $b(x) = k$ , essaye $y_p = c$ en premier.

Oui, si le second membre $b(x)$ est une constante, on cherche souvent une solution particulière sous forme de constante.

💡 À retenir : Si $b(x) = k$, essaye $y_p = c$ en premier.

Est-ce que je dois préciser l'intervalle de définition ?

Oui, les solutions sont définies sur des intervalles où les fonctions $a(x)$ et $b(x)$ sont continues.

💡 À retenir : Mentionne toujours "sur $\mathbb{R}$ " ou l'intervalle donné dans l'énoncé.

Oui, les solutions sont définies sur des intervalles où les fonctions $a(x)$ et $b(x)$ sont continues.

💡 À retenir : Mentionne toujours "sur $\mathbb{R}$" ou l'intervalle donné dans l'énoncé.

Est-ce que la solution est unique ?

La solution générale contient une infinité de solutions (à cause de $C$ ). Mais si on donne une condition initiale, la solution devient unique.

💡 À retenir : Une condition initiale = une seule solution.

La solution générale contient une infinité de solutions (à cause de $C$). Mais si on donne une condition initiale, la solution devient unique.

💡 À retenir : Une condition initiale = une seule solution.

Est-ce que l'exponentielle peut être négative ?

La fonction exponentielle $e^u$ est toujours strictement positive. Par contre, la solution totale $y(x)$ peut être négative selon la valeur de $C$ .

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

La fonction exponentielle $e^u$ est toujours strictement positive. Par contre, la solution totale $y(x)$ peut être négative selon la valeur de $C$.

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

Est-ce que je peux utiliser les complexes ici ?

Pour les équations du premier ordre, on reste dans le domaine réel. Les complexes sont utilisés pour le second ordre (hors programme ici).

💡 À retenir : Reste concentré sur les fonctions réelles.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre $(E) : y' + \frac{1}{x}y = x^2$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 1

Résoudre $(E) : y' + \frac{1}{x}y = x^2$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E) : y' - 3y = e^{2x}$ .

Exercice 2

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E) : y' - 3y = e^{2x}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre l'équation $(E) : y' + y = x$ avec la condition $y(0) = 1$ .

Exercice 3

Résoudre l'équation $(E) : y' + y = x$ avec la condition $y(0) = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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