Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Polynômes et fractions rationnelles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un polynôme $P$ est une expression de la forme $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ .
Le degré $\deg(P)$ est le plus grand entier $n$ tel que $a_n \neq 0$ .
Division euclidienne : Pour tout $P, Q \in \mathbb{K}[x]$ ( $Q \neq 0$ ), il existe un unique couple $(A, R)$ tel que $P = QA + R$ avec $\deg(R) < \deg(Q)$ .
Théorème de d'Alembert : Tout polynôme non constant admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ .
Décomposition en éléments simples : Toute fraction rationnelle $F = P/Q$ peut s'écrire comme somme d'une partie entière et de fractions de la forme $\frac{a}{(x-\alpha)^k}$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser la division euclidienne pour trouver le reste.
Factoriser un polynôme en utilisant ses racines (si $a$ est racine, $(x-a)$ divise $P$ ).
Déterminer la multiplicité d'une racine en dérivant le polynôme.
Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples par identification ou division.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $P(x) = x^3 - 1$ . Comme $P(1)=0$ , alors $(x-1)$ divise $P(x)$ . On trouve $P(x) = (x-1)(x^2+x+1)$ .
Exemple 2 : Décomposition de $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ . On trouve $a=1, b=-1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur.
Confondre racine simple et racine multiple.
Ne pas vérifier si la fraction est irréductible avant de décomposer.

L'essentiel du cours

Un polynôme $P$ est une expression de la forme $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$.
Le degré $\deg(P)$ est le plus grand entier $n$ tel que $a_n \neq 0$.
Division euclidienne : Pour tout $P, Q \in \mathbb{K}[x]$ ($Q \neq 0$), il existe un unique couple $(A, R)$ tel que $P = QA + R$ avec $\deg(R) < \deg(Q)$.
Théorème de d'Alembert : Tout polynôme non constant admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$.
Décomposition en éléments simples : Toute fraction rationnelle $F = P/Q$ peut s'écrire comme somme d'une partie entière et de fractions de la forme $\frac{a}{(x-\alpha)^k}$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser la division euclidienne pour trouver le reste.
Factoriser un polynôme en utilisant ses racines (si $a$ est racine, $(x-a)$ divise $P$).
Déterminer la multiplicité d'une racine en dérivant le polynôme.
Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples par identification ou division.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $P(x) = x^3 - 1$. Comme $P(1)=0$, alors $(x-1)$ divise $P(x)$. On trouve $P(x) = (x-1)(x^2+x+1)$.
Exemple 2 : Décomposition de $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$. On trouve $a=1, b=-1$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur.
Confondre racine simple et racine multiple.
Ne pas vérifier si la fraction est irréductible avant de décomposer.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Polynômes et fractions rationnelles

1/4

Quel est le degré de $P(x) = (x^2+1)^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach a racine de multiplicité k ?

Tu calcules $P(a), P'(a), ..., P^{(k-1)}(a)$ .
Si tous ces termes sont nuls et $P^{(k)}(a) \neq 0$ , alors $a$ est une racine de multiplicité $k$ .

💡 À retenir : La multiplicité est le nombre de dérivées successives qui s'annulent en $a$ .

Tu calcules $P(a), P'(a), ..., P^{(k-1)}(a)$.
Si tous ces termes sont nuls et $P^{(k)}(a) \neq 0$, alors $a$ est une racine de multiplicité $k$.

💡 À retenir : La multiplicité est le nombre de dérivées successives qui s'annulent en $a$.

Chno hiya l'utilité dyal la division euclidienne ?

Elle permet de simplifier une fraction rationnelle ou de trouver le reste d'une division quand on ne peut pas factoriser facilement.

💡 À retenir : Elle est indispensable pour la décomposition en éléments simples.

Kifach n7seb PGCD dyal jouj dyal les polynômes ?

Utilise l'algorithme d'Euclide : divise $P$ par $Q$ , puis $Q$ par le reste $R_1$ , puis $R_1$ par $R_2$ , etc.
Le dernier reste non nul est le PGCD.

💡 À retenir : Le PGCD est toujours défini à une constante multiplicative près.

Utilise l'algorithme d'Euclide : divise $P$ par $Q$, puis $Q$ par le reste $R_1$, puis $R_1$ par $R_2$, etc.
Le dernier reste non nul est le PGCD.

💡 À retenir : Le PGCD est toujours défini à une constante multiplicative près.

Est-ce que tout polynôme a des racines dans mathbb{R} ?

Non, par exemple $P(x) = x^2 + 1$ n'a pas de racine dans $\mathbb{R}$ , mais en a dans $\mathbb{C}$ ( $i$ et $-i$ ).

💡 À retenir : Dans $\mathbb{R}$ , un polynôme peut être irréductible sans avoir de racine.

Non, par exemple $P(x) = x^2 + 1$ n'a pas de racine dans $\mathbb{R}$, mais en a dans $\mathbb{C}$ ($i$ et $-i$).

💡 À retenir : Dans $\mathbb{R}$, un polynôme peut être irréductible sans avoir de racine.

Comment décomposer frac{1}{(x-1)^2(x+2)} ?

La forme est $\frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+2}$ .

💡 À retenir : Pour un pôle d'ordre $k$ , il faut mettre $k$ termes avec des puissances croissantes.

La forme est $\frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+2}$.

💡 À retenir : Pour un pôle d'ordre $k$, il faut mettre $k$ termes avec des puissances croissantes.

Est-ce que le degré du produit est la somme des degrés ?

Oui, $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$ .

💡 À retenir : C'est une règle fondamentale pour manipuler les polynômes.

Oui, $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.

💡 À retenir : C'est une règle fondamentale pour manipuler les polynômes.

C'est quoi un polynôme irréductible ?

C'est un polynôme qui ne peut pas s'écrire comme produit de deux polynômes de degré inférieur, sauf par des constantes.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{R}$ , ce sont les polynômes de degré 1 ou de degré 2 avec discriminant négatif.

C'est un polynôme qui ne peut pas s'écrire comme produit de deux polynômes de degré inférieur, sauf par des constantes.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{R}$, ce sont les polynômes de degré 1 ou de degré 2 avec discriminant négatif.

Comment trouver les coefficients dans une décomposition ?

Par identification (développer et comparer les coefficients).
Par évaluation (donner des valeurs à $x$ ).
Par multiplication par $(x-a)^k$ et passage à la limite.

💡 À retenir : La méthode par limite est souvent la plus rapide pour les pôles simples.

Par identification (développer et comparer les coefficients).
Par évaluation (donner des valeurs à $x$).
Par multiplication par $(x-a)^k$ et passage à la limite.

💡 À retenir : La méthode par limite est souvent la plus rapide pour les pôles simples.

Est-ce que frac{x^3}{x-1} est une fraction rationnelle ?

Oui, c'est une fraction rationnelle. On peut même effectuer la division euclidienne pour obtenir une partie entière.

💡 À retenir : Si le degré du numérateur est supérieur au dénominateur, il y a une partie entière.

Pourquoi on utilise mathbb{C} au lieu de mathbb{R} ?

Parce que dans $\mathbb{C}$ , tout polynôme est scindé (s'écrit comme produit de facteurs de degré 1).

💡 À retenir : C'est le théorème de d'Alembert-Gauss.

Parce que dans $\mathbb{C}$, tout polynôme est scindé (s'écrit comme produit de facteurs de degré 1).

💡 À retenir : C'est le théorème de d'Alembert-Gauss.

Comment savoir si deux polynômes sont premiers entre eux ?

S'ils n'ont aucune racine commune dans $\mathbb{C}$ , ou si leur PGCD est une constante (1).

💡 À retenir : On utilise souvent la relation de Bézout pour le prouver.

S'ils n'ont aucune racine commune dans $\mathbb{C}$, ou si leur PGCD est une constante (1).

💡 À retenir : On utilise souvent la relation de Bézout pour le prouver.

Est-ce que la dérivée d'un polynôme de degré n est de degré n-1 ?

Oui, sauf si le polynôme est constant (degré 0), sa dérivée est 0.

💡 À retenir : La dérivation diminue le degré de 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $P(x) = x^4 + 1$ .

Factoriser $P(x)$ dans $\mathbb{C}[x]$ .
En déduire la factorisation dans $\mathbb{R}[x]$ .

Exercice 1

Soit $P(x) = x^4 + 1$.

Factoriser $P(x)$ dans $\mathbb{C}[x]$.
En déduire la factorisation dans $\mathbb{R}[x]$.

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Exercice 2

Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ : $F(x) = \frac{1}{x^3-1}$ .

Exercice 2

Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(x)$ : $F(x) = \frac{1}{x^3-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $P(x) = x^n - 1$ . Calculer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)^2$ .

Exercice 3

Soit $P(x) = x^n - 1$. Calculer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)^2$.

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