Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ).
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_0 + nr$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = u_n \times q$ . Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison et de gendarme.
Étude de $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et $u_n$ converge vers $l$ , alors $f(l) = l$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$ , alors $u_n+2 \geq 3$ , donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$ .
Limite : Si $u_n = \frac{2n+1}{n+3}$ , alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{n} = 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n = u_0 + nr$ et $u_n = u_0 + (n-p)r$ .
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut qu'elle soit croissante aussi).

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$).
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + nr$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = u_n \times q$. Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison et de gendarme.
Étude de $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et $u_n$ converge vers $l$, alors $f(l) = l$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$, alors $u_n+2 \geq 3$, donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$.
Limite : Si $u_n = \frac{2n+1}{n+3}$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{n} = 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n = u_0 + nr$ et $u_n = u_0 + (n-p)r$.
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut qu'elle soit croissante aussi).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Suites numériques

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La suite $u_n = (-1)^n$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer que deux suites sont adjacentes ?

Il faut vérifier trois conditions : 1) $(u_n)$ croissante, 2) $(v_n)$ décroissante, 3) $\lim (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Les trois conditions sont obligatoires.

Il faut vérifier trois conditions : 1) $(u_n)$ croissante, 2) $(v_n)$ décroissante, 3) $\lim (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Les trois conditions sont obligatoires.

Quelle est la limite de q^n quand n to +infty ?

Si $q > 1$ , elle tend vers $+\infty$ .
Si $q = 1$ , elle vaut 1.
Si $-1 < q < 1$ , elle tend vers 0.
Si $q \leq -1$ , elle n'a pas de limite.

💡 À retenir : La valeur de $q$ change tout.

Si $q > 1$, elle tend vers $+\infty$.
Si $q = 1$, elle vaut 1.
Si $-1 < q < 1$, elle tend vers 0.
Si $q \leq -1$, elle n'a pas de limite.

💡 À retenir : La valeur de $q$ change tout.

Peut-on utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si $u_n = f(n)$ , alors le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de la suite.

💡 À retenir : C'est très utile quand $u_n$ est une fonction explicite.

Oui, si $u_n = f(n)$, alors le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de la suite.

💡 À retenir : C'est très utile quand $u_n$ est une fonction explicite.

Kifach n3ref wach l-motataliya tza3idiya awla tnaqosiya?

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ .
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ , alors la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ , alors la suite est décroissante.
Si les termes sont strictement positifs, tu peux aussi comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

💡 À retenir : Le signe de la différence est l'outil principal pour la monotonie.

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$.
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, alors la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, alors la suite est décroissante.
Si les termes sont strictement positifs, tu peux aussi comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

💡 À retenir : Le signe de la différence est l'outil principal pour la monotonie.

Chno hiya l-farq bin motataliya mahdouda o motataliya moqareba?

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$ ) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$ ).
Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .
Attention : toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse (ex: $(-1)^n$ est bornée mais pas convergente).

💡 À retenir : Convergence implique bornée, mais bornée n'implique pas convergence.

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$).
Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Attention : toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse (ex: $(-1)^n$ est bornée mais pas convergente).

💡 À retenir : Convergence implique bornée, mais bornée n'implique pas convergence.

Kifach n-biyen bli wahed l-motataliya 3ndha nihaya?

Utilise le théorème de convergence monotone : si une suite est croissante et majorée, elle converge. Si elle est décroissante et minorée, elle converge.
Si la suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite.
Si elle est adjacente à une autre suite dont on connaît la limite.

💡 À retenir : Le théorème de la convergence monotone est l'outil le plus puissant pour prouver l'existence d'une limite sans la calculer.

Utilise le théorème de convergence monotone : si une suite est croissante et majorée, elle converge. Si elle est décroissante et minorée, elle converge.
Si la suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite.
Si elle est adjacente à une autre suite dont on connaît la limite.

💡 À retenir : Le théorème de la convergence monotone est l'outil le plus puissant pour prouver l'existence d'une limite sans la calculer.

Peut-on utiliser le théorème des gendarmes pour les suites ?

Oui, absolument. Si pour tout $n$ assez grand, $v_n \leq u_n \leq w_n$ et que $\lim v_n = \lim w_n = l$ , alors $\lim u_n = l$ .

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour les suites contenant des sinus ou cosinus.

Oui, absolument. Si pour tout $n$ assez grand, $v_n \leq u_n \leq w_n$ et que $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors $\lim u_n = l$.

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour les suites contenant des sinus ou cosinus.

Comment calculer la limite d'une suite définie par u{n+1} = f(un) ?

Montrer que la suite est convergente (souvent via le théorème de convergence monotone).
Poser $l = \lim u_n$ .
Résoudre l'équation $f(l) = l$ en utilisant la continuité de $f$ .

💡 À retenir : La limite est toujours une solution de l'équation $f(x) = x$ .

Montrer que la suite est convergente (souvent via le théorème de convergence monotone).
Poser $l = \lim u_n$.
Résoudre l'équation $f(l) = l$ en utilisant la continuité de $f$.

💡 À retenir : La limite est toujours une solution de l'équation $f(x) = x$.

Est-ce que toute suite croissante tend vers +infty ?

Non. Par exemple, $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ est croissante et tend vers 1. Elle ne tend vers $+\infty$ que si elle n'est pas majorée.

💡 À retenir : Croissante + non majorée = $+\infty$ .

Non. Par exemple, $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ est croissante et tend vers 1. Elle ne tend vers $+\infty$ que si elle n'est pas majorée.

💡 À retenir : Croissante + non majorée = $+\infty$.

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu'il est égal à une constante $q$ indépendante de $n$ .

💡 À retenir : Si le rapport dépend de $n$ , la suite n'est pas géométrique.

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu'il est égal à une constante $q$ indépendante de $n$.

💡 À retenir : Si le rapport dépend de $n$, la suite n'est pas géométrique.

Que faire si un contient des puissances de n et des factorielles ?

Utilise le critère du rapport : calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ . Si la limite est $L < 1$ , alors $u_n \to 0$ .

💡 À retenir : Les factorielles dominent les puissances.

Utilise le critère du rapport : calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si la limite est $L < 1$, alors $u_n \to 0$.

💡 À retenir : Les factorielles dominent les puissances.

Est-ce que la limite d'une suite dépend du premier terme u0 ?

Oui, pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ , la limite peut dépendre de l'intervalle où se trouve $u_0$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier l'intervalle de stabilité de $f$ .

Oui, pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, la limite peut dépendre de l'intervalle où se trouve $u_0$.

💡 À retenir : Toujours vérifier l'intervalle de stabilité de $f$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n > 2$ est faux, mais que $u_n > 2$ est impossible. Montrer plutôt $u_n > 2$ est faux, montrez $u_n > 2$ pour $u_0 > 2$ . Ici, montrez $u_n > 2$ est faux, montrez $u_n \leq 2$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n > 2$ est faux, mais que $u_n > 2$ est impossible. Montrer plutôt $u_n > 2$ est faux, montrez $u_n > 2$ pour $u_0 > 2$. Ici, montrez $u_n > 2$ est faux, montrez $u_n \leq 2$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ avec $u_0 = 0$ .