Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

التذبذبات الحرة في دارة RLC متوالية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , associée à un condensateur de capacité $C$ et un conducteur ohmique de résistance $R$ , l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $LC \frac{d^2q}{dt^2} + (R+r)C \frac{dq}{dt} + q = 0$ En posant $R_T = R+r$ , on obtient $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_T}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}q = 0$ .

Régime périodique ( $R_T=0$ ) : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Régime pseudo-périodique ( $R_T$ faible) : $T \approx T_0$ . L'énergie totale $E_e + E_m$ diminue au cours du temps par effet Joule.
Régime apériodique ou critique : $R_T$ est élevée, pas d'oscillations.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$ .
Énergie : Calculer $E_e = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ . La dérivée $\frac{dE_T}{dt} = -R_T i^2$ montre la dissipation.
Analyse graphique : Déterminer la pseudo-période $T$ en mesurant la distance entre deux maxima successifs.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $L=0,1 H$ et $C=10 \mu F$ . Calcul de $T_0$ : $T_0 = 2\pi\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28 ms$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans $R_T$ .
Confondre la période propre $T_0$ (théorique) et la pseudo-période $T$ (expérimentale).
Penser que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC réel (elle se dissipe toujours).

L'essentiel du cours

Dans une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, associée à un condensateur de capacité $C$ et un conducteur ohmique de résistance $R$, l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $$LC \frac{d^2q}{dt^2} + (R+r)C \frac{dq}{dt} + q = 0$$ En posant $R_T = R+r$, on obtient $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_T}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}q = 0$.

Régime périodique ($R_T=0$) : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
Régime pseudo-périodique ($R_T$ faible) : $T \approx T_0$. L'énergie totale $E_e + E_m$ diminue au cours du temps par effet Joule.
Régime apériodique ou critique : $R_T$ est élevée, pas d'oscillations.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$.
Énergie : Calculer $E_e = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$. La dérivée $\frac{dE_T}{dt} = -R_T i^2$ montre la dissipation.
Analyse graphique : Déterminer la pseudo-période $T$ en mesurant la distance entre deux maxima successifs.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $L=0,1 H$ et $C=10 \mu F$. Calcul de $T_0$ : $T_0 = 2\pi\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28 ms$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans $R_T$.
Confondre la période propre $T_0$ (théorique) et la pseudo-période $T$ (expérimentale).
Penser que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC réel (elle se dissipe toujours).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 التذبذبات الحرة في دارة RLC متوالية

1/4

La période propre $T_0$ dépend de :

❓ Questions fréquentes

11. Qu'est-ce qu'un amortissement critique ?

C'est la valeur limite de la résistance $R_T$ pour laquelle le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller.

💡 À retenir : C'est le passage entre le régime pseudo-périodique et apériodique.

C'est la valeur limite de la résistance $R_T$ pour laquelle le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller.

💡 À retenir : C'est le passage entre le régime pseudo-périodique et apériodique.

12. Pourquoi on utilise une bobine réelle dans les exercices ?

Pour rendre l'exercice plus réaliste en incluant sa résistance interne $r$ , ce qui explique l'amortissement naturel des oscillations.

💡 À retenir : $R_{totale} = R + r$ .

Pour rendre l'exercice plus réaliste en incluant sa résistance interne $r$, ce qui explique l'amortissement naturel des oscillations.

💡 À retenir : $R_{totale} = R + r$.

1. Pourquoi l'amplitude diminue-t-elle au cours du temps ?

L'amplitude diminue car le circuit contient des résistances ( $R$ et $r$ ). L'énergie totale du circuit se transforme en chaleur par effet Joule. La puissance dissipée est $P = R_T \cdot i^2$ .

💡 À retenir : La dissipation d'énergie est la cause directe de l'amortissement des oscillations.

L'amplitude diminue car le circuit contient des résistances ($R$ et $r$). L'énergie totale du circuit se transforme en chaleur par effet Joule. La puissance dissipée est $P = R_T \cdot i^2$.

💡 À retenir : La dissipation d'énergie est la cause directe de l'amortissement des oscillations.

2. Kifach n7seb T0 ila kan 3ndi ghir l'oscillogramme ?

Tu cherches la distance entre deux sommets successifs sur l'axe des temps.
Tu multiplies cette distance par la sensibilité horizontale (base de temps) de l'oscilloscope.

💡 À retenir : $T$ est la durée d'une pseudo-oscillation complète.

Tu cherches la distance entre deux sommets successifs sur l'axe des temps.
Tu multiplies cette distance par la sensibilité horizontale (base de temps) de l'oscilloscope.

💡 À retenir : $T$ est la durée d'une pseudo-oscillation complète.

3. Est-ce que la période T change si on change la résistance R ?

Oui, mais très peu si l'amortissement est faible. Pour une résistance $R$ faible, $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Si $R$ augmente beaucoup, le régime change et on ne peut plus parler de période.

💡 À retenir : $T_0$ ne dépend que de $L$ et $C$ .

Oui, mais très peu si l'amortissement est faible. Pour une résistance $R$ faible, $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. Si $R$ augmente beaucoup, le régime change et on ne peut plus parler de période.

💡 À retenir : $T_0$ ne dépend que de $L$ et $C$.

4. Wach T0 katbdel ila zedna L ?

Oui, $T_0$ est proportionnelle à la racine carrée de $L$ . Si tu augmentes $L$ , $T_0$ augmente.

💡 À retenir : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Oui, $T_0$ est proportionnelle à la racine carrée de $L$. Si tu augmentes $L$, $T_0$ augmente.

💡 À retenir : $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

5. Comment démontrer que l'énergie totale n'est pas constante ?

Écris $E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C} + \frac{1}{2}Li^2$ .
Dérive par rapport au temps : $\frac{dE_T}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt}$ .
Remplace $\frac{di}{dt}$ par $\frac{d^2q}{dt^2}$ et utilise l'équation différentielle pour montrer que $\frac{dE_T}{dt} = -R_T i^2 < 0$ .

💡 À retenir : Une dérivée négative signifie que l'énergie diminue.

Écris $E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C} + \frac{1}{2}Li^2$.
Dérive par rapport au temps : $\frac{dE_T}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt}$.
Remplace $\frac{di}{dt}$ par $\frac{d^2q}{dt^2}$ et utilise l'équation différentielle pour montrer que $\frac{dE_T}{dt} = -R_T i^2 < 0$.

💡 À retenir : Une dérivée négative signifie que l'énergie diminue.

6. Chno lfar9 bin régime périodique o pseudo-périodique ?

Régime périodique : $R_T = 0$ , l'amplitude est constante, l'énergie est conservée.
Régime pseudo-périodique : $R_T \neq 0$ , l'amplitude diminue, l'énergie se dissipe.

💡 À retenir : Le régime périodique est un cas idéal (théorique).

Régime périodique : $R_T = 0$, l'amplitude est constante, l'énergie est conservée.
Régime pseudo-périodique : $R_T \neq 0$, l'amplitude diminue, l'énergie se dissipe.

💡 À retenir : Le régime périodique est un cas idéal (théorique).

7. Si on double C, que devient T0 ?

$T_0' = 2\pi\sqrt{L(2C)} = \sqrt{2} \times (2\pi\sqrt{LC}) = \sqrt{2} T_0$ . La période est multipliée par $\sqrt{2}$ .

💡 À retenir : La relation est une racine carrée, pas une proportionnalité directe.

$T_0' = 2\pi\sqrt{L(2C)} = \sqrt{2} \times (2\pi\sqrt{LC}) = \sqrt{2} T_0$. La période est multipliée par $\sqrt{2}$.

💡 À retenir : La relation est une racine carrée, pas une proportionnalité directe.

8. Pourquoi la tension aux bornes du condensateur ne s'annule-t-elle pas instantanément ?

Parce que le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique et la restitue progressivement à la bobine.

💡 À retenir : Il y a un transfert d'énergie permanent entre $C$ et $L$ .

Parce que le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique et la restitue progressivement à la bobine.

💡 À retenir : Il y a un transfert d'énergie permanent entre $C$ et $L$.

9. Comment trouver L à partir d'un graphe ?

Mesure $T$ sur le graphe.
Utilise $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$ .
Isole $L$ : $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$ .

💡 À retenir : Assure-toi que $T$ est en secondes et $C$ en Farads.

Mesure $T$ sur le graphe.
Utilise $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$.
Isole $L$ : $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.

💡 À retenir : Assure-toi que $T$ est en secondes et $C$ en Farads.

10. Est-ce que la fréquence N dépend de la charge initiale q0 ?

Non, la fréquence propre $N_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ne dépend que des composants du circuit.

💡 À retenir : $q_0$ influence l'amplitude, pas la période.

Non, la fréquence propre $N_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ ne dépend que des composants du circuit.

💡 À retenir : $q_0$ influence l'amplitude, pas la période.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit RLC comporte $L=0,2 H$ , $C=5 \mu F$ et $R=10 \Omega$ . La bobine a une résistance $r=5 \Omega$ .

Établir l'équation différentielle en $u_C$ .
Calculer la période propre $T_0$ .

Exercice 1

Un circuit RLC comporte $L=0,2 H$, $C=5 \mu F$ et $R=10 \Omega$. La bobine a une résistance $r=5 \Omega$.

Établir l'équation différentielle en $u_C$.
Calculer la période propre $T_0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On charge un condensateur sous $E=6V$ , puis on le branche à une bobine ( $L, r$ ). On observe une pseudo-période $T=20 ms$ .

Calculer $L$ si $C=10 \mu F$ .
Calculer l'énergie perdue entre $t=0$ et $t=T$ .

Exercice 2

On charge un condensateur sous $E=6V$, puis on le branche à une bobine ($L, r$). On observe une pseudo-période $T=20 ms$.

Calculer $L$ si $C=10 \mu F$.
Calculer l'énergie perdue entre $t=0$ et $t=T$.

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Exercice 3

Démontrer que pour un circuit RLC sans résistance, l'énergie totale est conservée.

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