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Applications linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Une application $f: E \to F$ est linéaire si :

$\forall (u, v) \in E^2, f(u+v) = f(u) + f(v)$
$\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in E, f(\lambda u) = \lambda f(u)$

Le noyau est $\ker(f) = \{u \in E / f(u) = 0_F\}$ .
L'image est $\text{Im}(f) = \{f(u) / u \in E\}$ .
Théorème du rang : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .

Méthodes à maîtriser

Pour montrer qu'une application est linéaire : vérifier $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$ .
Pour déterminer $\ker(f)$ : résoudre l'équation $f(x,y,z) = (0,0,0)$ .
Pour déterminer $\text{Im}(f)$ : chercher l'image d'une base de $E$ par $f$ .

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, 2x)$ .

Linéarité : $f(\alpha(x,y) + (x',y')) = f(\alpha x + x', \alpha y + y') = (\alpha x + x' + \alpha y + y', 2\alpha x + 2x') = \alpha f(x,y) + f(x',y')$ . C'est linéaire.
Noyau : $x+y=0$ et $2x=0 \implies x=0, y=0$ . Donc $\ker(f) = \{(0,0)\}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la linéarité avant de chercher le noyau.
Confondre $\ker(f)$ (sous-espace de $E$ ) et $\text{Im}(f)$ (sous-espace de $F$ ).
Croire que $f(0) = 0$ suffit à prouver la linéarité (c'est une condition nécessaire mais pas suffisante).

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une application $f: E \to F$ est linéaire si :

$\forall (u, v) \in E^2, f(u+v) = f(u) + f(v)$
$\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in E, f(\lambda u) = \lambda f(u)$

Le noyau est $\ker(f) = {u \in E / f(u) = 0_F}$.
L'image est $\text{Im}(f) = {f(u) / u \in E}$.
Théorème du rang : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.

Méthodes à maîtriser

Pour montrer qu'une application est linéaire : vérifier $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$.
Pour déterminer $\ker(f)$ : résoudre l'équation $f(x,y,z) = (0,0,0)$.
Pour déterminer $\text{Im}(f)$ : chercher l'image d'une base de $E$ par $f$.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, 2x)$.

Linéarité : $f(\alpha(x,y) + (x',y')) = f(\alpha x + x', \alpha y + y') = (\alpha x + x' + \alpha y + y', 2\alpha x + 2x') = \alpha f(x,y) + f(x',y')$. C'est linéaire.
Noyau : $x+y=0$ et $2x=0 \implies x=0, y=0$. Donc $\ker(f) = {(0,0)}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la linéarité avant de chercher le noyau.
Confondre $\ker(f)$ (sous-espace de $E$) et $\text{Im}(f)$ (sous-espace de $F$).
Croire que $f(0) = 0$ suffit à prouver la linéarité (c'est une condition nécessaire mais pas suffisante).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Applications linéaires

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Soit $f$ une application linéaire. Laquelle de ces conditions est toujours vraie ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n-déterminer la matrice d'une application linéaire ?

Choisis une base de $E$ et une base de $F$ .
Calcule l'image de chaque vecteur de la base de $E$ .
Exprime ces images comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base de $F$ .
Les coefficients forment les colonnes de ta matrice.

💡 À retenir : Les colonnes de la matrice sont les coordonnées des images des vecteurs de base.

Choisis une base de $E$ et une base de $F$.
Calcule l'image de chaque vecteur de la base de $E$.
Exprime ces images comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base de $F$.
Les coefficients forment les colonnes de ta matrice.

💡 À retenir : Les colonnes de la matrice sont les coordonnées des images des vecteurs de base.

Est-ce que toute application qui vérifie f(0)=0 est linéaire ?

Non, ce n'est pas suffisant. Par exemple, $f(x) = x^2$ vérifie $f(0)=0$ mais n'est pas linéaire car $f(2x) = 4x^2 \neq 2f(x)$ . Il faut impérativement vérifier l'additivité et l'homogénéité.

💡 À retenir : La linéarité impose la conservation de la structure (somme et produit par scalaire).

Non, ce n'est pas suffisant. Par exemple, $f(x) = x^2$ vérifie $f(0)=0$ mais n'est pas linéaire car $f(2x) = 4x^2 \neq 2f(x)$. Il faut impérativement vérifier l'additivité et l'homogénéité.

💡 À retenir : La linéarité impose la conservation de la structure (somme et produit par scalaire).

Kifach n7seb l'image dial wa7d l'application linéaire ?

Prends une base de ton espace de départ (ex: $(1,0)$ et $(0,1)$ pour $\mathbb{R}^2$ ).
Calcule l'image de chaque vecteur de la base par $f$ .
L'image de l'application est l'espace vectoriel engendré par ces images : $\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(e_1), f(e_2), ...)$ .

💡 À retenir : L'image est engendrée par les images des vecteurs de base.

Prends une base de ton espace de départ (ex: $(1,0)$ et $(0,1)$ pour $\mathbb{R}^2$).
Calcule l'image de chaque vecteur de la base par $f$.
L'image de l'application est l'espace vectoriel engendré par ces images : $\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(e_1), f(e_2), ...)$.

💡 À retenir : L'image est engendrée par les images des vecteurs de base.

Chno hiya l'utilité dial théorème du rang ?

Il permet de trouver la dimension de l'un des deux espaces ( $\ker$ ou $\text{Im}$ ) si on connaît l'autre. C'est très utile pour vérifier si une application est injective ( $\ker(f)=\{0\}$ ) ou surjective ( $\text{Im}(f)=F$ ).

💡 À retenir : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \text{rg}(f)$ .

Il permet de trouver la dimension de l'un des deux espaces ($\ker$ ou $\text{Im}$) si on connaît l'autre. C'est très utile pour vérifier si une application est injective ($\ker(f)={0}$) ou surjective ($\text{Im}(f)=F$).

💡 À retenir : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \text{rg}(f)$.

Est-ce que ker(f) est toujours un sous-espace vectoriel ?

Oui, si $f$ est une application linéaire, $\ker(f)$ est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E$ .

💡 À retenir : Le noyau est toujours un sous-espace vectoriel.

Oui, si $f$ est une application linéaire, $\ker(f)$ est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E$.

💡 À retenir : Le noyau est toujours un sous-espace vectoriel.

Kifach n3ref wach l'application linéaire hiya isomorphisme ?

Il faut vérifier deux choses :

Que $f$ est linéaire.
Que $f$ est bijective (soit en montrant que $\ker(f)=\{0\}$ et $\dim(E)=\dim(F)$ , soit en trouvant sa réciproque).

💡 À retenir : Isomorphisme = Linéaire + Bijective.

Il faut vérifier deux choses :

Que $f$ est linéaire.
Que $f$ est bijective (soit en montrant que $\ker(f)={0}$ et $\dim(E)=\dim(F)$, soit en trouvant sa réciproque).

💡 À retenir : Isomorphisme = Linéaire + Bijective.

Si dim(E) dim(F), est-ce que f peut être injective ?

Non, d'après le théorème du rang, si $\dim(E) > \dim(F)$ , alors $\dim(\ker(f)) = \dim(E) - \text{rg}(f) \geq \dim(E) - \dim(F) > 0$ . Le noyau contient donc des vecteurs non nuls.

💡 À retenir : Une application d'un espace plus grand vers un plus petit n'est jamais injective.

Non, d'après le théorème du rang, si $\dim(E) > \dim(F)$, alors $\dim(\ker(f)) = \dim(E) - \text{rg}(f) \geq \dim(E) - \dim(F) > 0$. Le noyau contient donc des vecteurs non nuls.

💡 À retenir : Une application d'un espace plus grand vers un plus petit n'est jamais injective.

Est-ce que la composée de deux applications linéaires est linéaire ?

Oui, si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire de $E$ vers $G$ .

💡 À retenir : La composition préserve la linéarité.

Oui, si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire de $E$ vers $G$.

💡 À retenir : La composition préserve la linéarité.

Chno l'far9 bin l'application linéaire o l'endomorphisme ?

Une application linéaire va d'un espace $E$ vers un espace $F$ (quelconques). Un endomorphisme est un cas particulier où l'espace de départ et d'arrivée sont les mêmes ( $f: E \to E$ ).

💡 À retenir : Endomorphisme = Application linéaire de $E$ dans $E$ .

Une application linéaire va d'un espace $E$ vers un espace $F$ (quelconques). Un endomorphisme est un cas particulier où l'espace de départ et d'arrivée sont les mêmes ($f: E \to E$).

💡 À retenir : Endomorphisme = Application linéaire de $E$ dans $E$.

Comment montrer qu'une famille est une base de text{Im}(f) ?

Il faut montrer deux choses :

Que la famille est génératrice de $\text{Im}(f)$ (ce qui est vrai si tu as pris les images des vecteurs de base).
Que la famille est libre (en vérifiant qu'aucune combinaison linéaire n'est nulle).

💡 À retenir : Une base est une famille libre et génératrice.

Il faut montrer deux choses :

Que la famille est génératrice de $\text{Im}(f)$ (ce qui est vrai si tu as pris les images des vecteurs de base).
Que la famille est libre (en vérifiant qu'aucune combinaison linéaire n'est nulle).

💡 À retenir : Une base est une famille libre et génératrice.

Est-ce que text{Im}(f) est un sous-espace vectoriel ?

Oui, $\text{Im}(f)$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $F$ .

💡 À retenir : L'image est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée.

Oui, $\text{Im}(f)$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $F$.

💡 À retenir : L'image est toujours un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée.

Est-ce que le rang peut être supérieur à la dimension de l'espace de départ ?

Non, le rang est la dimension de $\text{Im}(f)$ , et comme $\text{Im}(f) \subset F$ , on a $\text{rg}(f) \leq \dim(F)$ . De plus, le théorème du rang montre que $\text{rg}(f) \leq \dim(E)$ .

💡 À retenir : Le rang est toujours inférieur ou égal au minimum des dimensions.

Non, le rang est la dimension de $\text{Im}(f)$, et comme $\text{Im}(f) \subset F$, on a $\text{rg}(f) \leq \dim(F)$. De plus, le théorème du rang montre que $\text{rg}(f) \leq \dim(E)$.