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Ensembles et applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensembles : Un ensemble $E$ est défini par ses éléments. $A \subset E$ signifie que tout élément de $A$ appartient à $E$ .
Opérations : $A \cap B = \{x / x \in A \text{ et } x \in B\}$ ; $A \cup B = \{x / x \in A \text{ ou } x \in B\}$ .
Applications : $f: E \to F$ $f : E \to F$ .
- $f$ est injective si $\forall x, y \in E, f(x) = f(y) \implies x = y$ .
- $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
- $f$ est bijective si elle est injective et surjective.

Méthodes à maîtriser

Démontrer une égalité d'ensembles : Montrer la double inclusion $A \subset B$ et $B \subset A$ .
Démontrer l'injectivité : Supposer $f(x) = f(y)$ et arriver à $x = y$ .
Démontrer la surjectivité : Prendre un $y$ quelconque dans l'ensemble d'arrivée et résoudre l'équation $f(x) = y$ pour trouver au moins un $x$ dans l'ensemble de départ.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$ $f : R \to R, x \mapsto 2 x + 1$ .
- Injectivité : $2x+1 = 2y+1 \implies 2x = 2y \implies x = y$ . Donc $f$ est injective.
- Surjectivité : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$ . Pour tout $y \in \mathbb{R}$ , il existe $x \in \mathbb{R}$ . Donc $f$ est surjective.

Erreurs fréquentes

Confondre $\subset$ (inclusion entre ensembles) et $\in$ (appartenance d'un élément).
Oublier de vérifier si l'antécédent $x$ appartient bien à l'ensemble de départ lors de la surjectivité.
Penser que $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ est toujours vrai (c'est faux en général).

L'essentiel du cours

Ensembles : Un ensemble $E$ est défini par ses éléments. $A \subset E$ signifie que tout élément de $A$ appartient à $E$.
Opérations : $A \cap B = {x / x \in A \text{ et } x \in B}$ ; $A \cup B = {x / x \in A \text{ ou } x \in B}$.
Applications : $f: E \to F$.
- $f$ est injective si $\forall x, y \in E, f(x) = f(y) \implies x = y$.
- $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
- $f$ est bijective si elle est injective et surjective.

Méthodes à maîtriser

Démontrer une égalité d'ensembles : Montrer la double inclusion $A \subset B$ et $B \subset A$.
Démontrer l'injectivité : Supposer $f(x) = f(y)$ et arriver à $x = y$.
Démontrer la surjectivité : Prendre un $y$ quelconque dans l'ensemble d'arrivée et résoudre l'équation $f(x) = y$ pour trouver au moins un $x$ dans l'ensemble de départ.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$.
- Injectivité : $2x+1 = 2y+1 \implies 2x = 2y \implies x = y$. Donc $f$ est injective.
- Surjectivité : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$. Pour tout $y \in \mathbb{R}$, il existe $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est surjective.

Erreurs fréquentes

Confondre $\subset$ (inclusion entre ensembles) et $\in$ (appartenance d'un élément).
Oublier de vérifier si l'antécédent $x$ appartient bien à l'ensemble de départ lors de la surjectivité.
Penser que $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ est toujours vrai (c'est faux en général).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Ensembles et applications

1/4

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une application. Laquelle de ces propositions définit l'injectivité ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ensemble vide appartient à tout ensemble ?

L'ensemble vide $\emptyset$ est une partie de tout ensemble $E$ ( $\emptyset \subset E$ ).
Il ne faut pas confondre "être une partie" ( $\subset$ ) et "être un élément" ( $\in$ ).
$\emptyset \in E$ n'est vrai que si l'ensemble $E$ contient l'ensemble vide comme élément.

💡 À retenir : L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, mais n'est pas forcément un élément de tout ensemble.

L'ensemble vide $\emptyset$ est une partie de tout ensemble $E$ ($\emptyset \subset E$).
Il ne faut pas confondre "être une partie" ($\subset$) et "être un élément" ($\in$).
$\emptyset \in E$ n'est vrai que si l'ensemble $E$ contient l'ensemble vide comme élément.

💡 À retenir : L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, mais n'est pas forcément un élément de tout ensemble.

Kifach n3ref wach l'application surjective wla la ?

Khoud wahed $y$ f l'ensemble d'arrivée $F$ .
7awel t7el l-mo3adala $f(x) = y$ b7ayt t-l9a $x$ بدلالة $y$ .
Ila l9iti $x$ kayn f l'ensemble de départ $E$ (koul $y$ 3ndo $x$ dyalo), rah surjective.

💡 À retenir : La surjectivité veut dire que chaque élément de l'arrivée a au moins un antécédent.

Khoud wahed $y$ f l'ensemble d'arrivée $F$.
7awel t7el l-mo3adala $f(x) = y$ b7ayt t-l9a $x$ بدلالة $y$.
Ila l9iti $x$ kayn f l'ensemble de départ $E$ (koul $y$ 3ndo $x$ dyalo), rah surjective.

💡 À retenir : La surjectivité veut dire que chaque élément de l'arrivée a au moins un antécédent.

Est-ce qu'une application injective est toujours bijective ?

Non. Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective ET surjective.
Une fonction peut être injective sans être surjective (ex: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ n'est pas surjective car $e^x > 0$ ).

💡 À retenir : Injectivité + Surjectivité = Bijectivité.

Non. Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective ET surjective.
Une fonction peut être injective sans être surjective (ex: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ n'est pas surjective car $e^x > 0$).

💡 À retenir : Injectivité + Surjectivité = Bijectivité.

Chno hiya l-far9 bin l-image directe o l-image réciproque ?

L'image directe $f(A)$ : c'est l'ensemble des images des éléments de $A$ .
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ : c'est l'ensemble des éléments $x$ dont l'image est dans $B$ .

💡 À retenir : $f(A) = \{f(x) / x \in A\}$ et $f^{-1}(B) = \{x \in E / f(x) \in B\}$ .

L'image directe $f(A)$ : c'est l'ensemble des images des éléments de $A$.
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ : c'est l'ensemble des éléments $x$ dont l'image est dans $B$.

💡 À retenir : $f(A) = {f(x) / x \in A}$ et $f^{-1}(B) = {x \in E / f(x) \in B}$.

Comment montrer que A = B ?

Montrer que $A \subset B$ : prendre $x \in A$ et montrer que $x \in B$ .
Montrer que $B \subset A$ : prendre $y \in B$ et montrer que $y \in A$ .

💡 À retenir : L'égalité d'ensembles se prouve toujours par la double inclusion.

Montrer que $A \subset B$ : prendre $x \in A$ et montrer que $x \in B$.
Montrer que $B \subset A$ : prendre $y \in B$ et montrer que $y \in A$.

💡 À retenir : L'égalité d'ensembles se prouve toujours par la double inclusion.

Kifach n-biyen belli f n'est pas injective ?

Khassk t-l9a joj 3anasir $x_1$ et $x_2$ mkhlfin ( $x_1 \neq x_2$ ).
7seb $f(x_1)$ o $f(x_2)$ .
Ila l9itihom mssawin ( $f(x_1) = f(x_2)$ ), rah l'application machi injective.

💡 À retenir : Un contre-exemple suffit pour infirmer l'injectivité.

Khassk t-l9a joj 3anasir $x_1$ et $x_2$ mkhlfin ($x_1 \neq x_2$).
7seb $f(x_1)$ o $f(x_2)$.
Ila l9itihom mssawin ($f(x_1) = f(x_2)$), rah l'application machi injective.

💡 À retenir : Un contre-exemple suffit pour infirmer l'injectivité.

Qu'est-ce qu'une application composée ?

Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ , alors $g \circ f: E \to G$ est définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .
Il faut que l'ensemble d'arrivée de $f$ soit inclus dans l'ensemble de départ de $g$ .

💡 À retenir : L'ordre est important : on applique $f$ d'abord, puis $g$ .

Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$, alors $g \circ f: E \to G$ est définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
Il faut que l'ensemble d'arrivée de $f$ soit inclus dans l'ensemble de départ de $g$.

💡 À retenir : L'ordre est important : on applique $f$ d'abord, puis $g$.

Est-ce que f(A cup B) = f(A) cup f(B) ?

Oui, cette propriété est toujours vraie pour toute application $f$ .
Par contre, pour l'intersection, on a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ .

💡 À retenir : L'image directe respecte la réunion, mais pas toujours l'intersection.

Oui, cette propriété est toujours vraie pour toute application $f$.
Par contre, pour l'intersection, on a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.

💡 À retenir : L'image directe respecte la réunion, mais pas toujours l'intersection.

Comment trouver l'application réciproque f^{-1} ?

Il faut d'abord montrer que $f$ est bijective.
Résoudre l'équation $y = f(x)$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$ .
On obtient $x = f^{-1}(y)$ .

💡 À retenir : L'application réciproque n'existe que si $f$ est une bijection.

Il faut d'abord montrer que $f$ est bijective.
Résoudre l'équation $y = f(x)$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$.
On obtient $x = f^{-1}(y)$.

💡 À retenir : L'application réciproque n'existe que si $f$ est une bijection.

Est-ce que le produit cartésien est commutatif ?

Non, $E \times F \neq F \times E$ en général.
Les éléments sont des couples ordonnés $(x, y)$ où $x \in E$ et $y \in F$ .

💡 À retenir : L'ordre des ensembles dans le produit cartésien compte.

Non, $E \times F \neq F \times E$ en général.
Les éléments sont des couples ordonnés $(x, y)$ où $x \in E$ et $y \in F$.

💡 À retenir : L'ordre des ensembles dans le produit cartésien compte.

Pourquoi on utilise les quantificateurs forall et exists ?

Pour définir les propriétés de manière rigoureuse.
$\forall$ (quel que soit) pour dire que la propriété est vraie pour tous les éléments.
$\exists$ (il existe) pour dire qu'il y a au moins un élément qui vérifie la propriété.

💡 À retenir : La précision mathématique repose sur l'usage correct des quantificateurs.

Pour définir les propriétés de manière rigoureuse.
$\forall$ (quel que soit) pour dire que la propriété est vraie pour tous les éléments.
$\exists$ (il existe) pour dire qu'il y a au moins un élément qui vérifie la propriété.

💡 À retenir : La précision mathématique repose sur l'usage correct des quantificateurs.

Est-ce qu'une fonction constante est injective ?

Non, sauf si l'ensemble de départ contient au plus un élément.
Si $f(x) = c$ , alors $f(x_1) = f(x_2) = c$ pour tout $x_1, x_2$ , donc elle n'est pas injective.

💡 À retenir : Une fonction constante "écrase" tous les éléments vers une seule valeur.

Non, sauf si l'ensemble de départ contient au plus un élément.
Si $f(x) = c$, alors $f(x_1) = f(x_2) = c$ pour tout $x_1, x_2$, donc elle n'est pas injective.

💡 À retenir : Une fonction constante "écrase" tous les éléments vers une seule valeur.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ .

Montrer que $f$ est une involution (c'est-à-dire $f \circ f = Id$ ).
En déduire que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus {1} \to \mathbb{R} \setminus {1}$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

Montrer que $f$ est une involution (c'est-à-dire $f \circ f = Id$).
En déduire que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$.

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Exercice 2

Soit $E$ un ensemble et $A, B$ deux parties de $E$ . Montrer que $A \subset B \iff A \cup B = B$ .

Exercice 2

Soit $E$ un ensemble et $A, B$ deux parties de $E$. Montrer que $A \subset B \iff A \cup B = B$.

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Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$ . Étudier l'injectivité et la surjectivité de $f$ .

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$. Étudier l'injectivité et la surjectivité de $f$.

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