Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — FST — MIP / MIPC / BCG

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Un nombre complexe s'écrit $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ .
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ . Propriétés : $\arg(z \cdot z') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$ .
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$ .
Équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$ . Si $\Delta < 0$ , les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer $r$ , puis $\cos \theta$ et $\sin \theta$ ).
Utiliser les complexes pour démontrer des propriétés géométriques (alignement, orthogonalité).
Linéarisation d'expressions trigonométriques via les formules d'Euler : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire $z = 1 + i$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ . $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ .
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ et $z_2 = 1 + i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre le conjugué $\bar{z} = a - ib$ avec l'opposé $-z = -a - ib$ .
Utiliser la formule $\sqrt{z_1 z_2} = \sqrt{z_1}\sqrt{z_2}$ qui est fausse en général dans $\mathbb{C}$ .

L'essentiel du cours

Définition : Un nombre complexe s'écrit $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$, $|z^n| = |z|^n$.
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$. Propriétés : $\arg(z \cdot z') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$.
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.
Équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$. Si $\Delta < 0$, les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer $r$, puis $\cos \theta$ et $\sin \theta$).
Utiliser les complexes pour démontrer des propriétés géométriques (alignement, orthogonalité).
Linéarisation d'expressions trigonométriques via les formules d'Euler : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire $z = 1 + i$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ et $z_2 = 1 + i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans l'argument.
Confondre le conjugué $\bar{z} = a - ib$ avec l'opposé $-z = -a - ib$.
Utiliser la formule $\sqrt{z_1 z_2} = \sqrt{z_1}\sqrt{z_2}$ qui est fausse en général dans $\mathbb{C}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes

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Quel est le module de $z = 3 - 4i$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment calculer le module d'un quotient ?

Pour calculer le module d'un quotient $Z = \frac{z_1}{z_2}$ , on utilise la propriété : $| \frac{z_1}{z_2} | = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (avec $z_2 \neq 0$ ).

Calculez le module du numérateur $|z_1|$ .
Calculez le module du dénominateur $|z_2|$ .
Effectuez la division des deux réels obtenus.

💡 À retenir : Le module transforme une division complexe en une division réelle simple.

Pour calculer le module d'un quotient $Z = \frac{z_1}{z_2}$, on utilise la propriété : $| \frac{z_1}{z_2} | = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (avec $z_2 \neq 0$).

Calculez le module du numérateur $|z_1|$.
Calculez le module du dénominateur $|z_2|$.
Effectuez la division des deux réels obtenus.

💡 À retenir : Le module transforme une division complexe en une division réelle simple.

Kifach n7seb l'argument dyal z = -1 - isqrt{3} ?

Hseb l'module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$ .
Factorise b' $r$ : $z = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$ .
Qelleb 3la zawiya li l'cos dyalha $-1/2$ o l'sin dyalha $-\sqrt{3}/2$ .
Hiya $-\frac{2\pi}{3}$ aw $4\pi/3$ .

💡 À retenir : Dima factorise b'l'module bach tban lik l'zawiya f l'cercle trigonométrique.

Hseb l'module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Factorise b' $r$ : $z = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Qelleb 3la zawiya li l'cos dyalha $-1/2$ o l'sin dyalha $-\sqrt{3}/2$.
Hiya $-\frac{2\pi}{3}$ aw $4\pi/3$.

💡 À retenir : Dima factorise b'l'module bach tban lik l'zawiya f l'cercle trigonométrique.

Est-ce que z^2 = |z|^2 implique z est réel ?

Oui. Si $z = a+ib$ , alors $z^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ et $|z|^2 = a^2 + b^2$ . L'égalité $a^2 - b^2 + 2iab = a^2 + b^2$ implique :

$2iab = 0$ (partie imaginaire nulle).
$a^2 - b^2 = a^2 + b^2 \implies -b^2 = b^2 \implies b = 0$ . Donc $z = a$ , ce qui est un réel.

💡 À retenir : Si la partie imaginaire est nulle, le nombre est réel.

Oui. Si $z = a+ib$, alors $z^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ et $|z|^2 = a^2 + b^2$. L'égalité $a^2 - b^2 + 2iab = a^2 + b^2$ implique :

$2iab = 0$ (partie imaginaire nulle).
$a^2 - b^2 = a^2 + b^2 \implies -b^2 = b^2 \implies b = 0$. Donc $z = a$, ce qui est un réel.

💡 À retenir : Si la partie imaginaire est nulle, le nombre est réel.

Chno hiya l'relation bin l'rotation o l'nombres complexes ?

L'rotation li markazha $\Omega$ (affixe $\omega$ ) o zawiya $\theta$ kat-transformi $M(z)$ l' $M'(z')$ b'l'relation : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .

$e^{i\theta}$ houwa l'facteur dyal l'rotation.
$z - \omega$ houwa l'vecteur $\vec{\Omega M}$ .

💡 À retenir : L'rotation hiya transformation li kat-garder l'masafa o kat-beddel l'zawiya.

L'rotation li markazha $\Omega$ (affixe $\omega$) o zawiya $\theta$ kat-transformi $M(z)$ l' $M'(z')$ b'l'relation : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

$e^{i\theta}$ houwa l'facteur dyal l'rotation.
$z - \omega$ houwa l'vecteur $\vec{\Omega M}$.

💡 À retenir : L'rotation hiya transformation li kat-garder l'masafa o kat-beddel l'zawiya.

Comment déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe donné sous forme exponentielle ?

Si $z = r e^{i\theta}$ , alors $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ .

Calculez $\cos \theta$ et $\sin \theta$ .
Multipliez par $r$ .
Vous obtenez $a + ib$ .

💡 À retenir : Il suffit d'utiliser la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ .

Si $z = r e^{i\theta}$, alors $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.

Calculez $\cos \theta$ et $\sin \theta$.
Multipliez par $r$.
Vous obtenez $a + ib$.

💡 À retenir : Il suffit d'utiliser la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$.

Kifach n3ref wach noqt A, B, C moustaqimiya ?

Hseb l'rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .
Ila kan l'résultat adad 7aqiqi (appartient à $\mathbb{R}$ ), alors l'noqt moustaqimiya.
Ila kan l'résultat adad takhayoli (appartient à $i\mathbb{R}$ ), alors l'moustaqim $(AC) \perp (AB)$ .

💡 À retenir : L'argument dyal l'rapport kay3tina l'zawiya bin l'moustaqimat.

Hseb l'rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
Ila kan l'résultat adad 7aqiqi (appartient à $\mathbb{R}$), alors l'noqt moustaqimiya.
Ila kan l'résultat adad takhayoli (appartient à $i\mathbb{R}$), alors l'moustaqim $(AC) \perp (AB)$.

💡 À retenir : L'argument dyal l'rapport kay3tina l'zawiya bin l'moustaqimat.

Quelle est la différence entre le conjugué et l'opposé ?

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\bar{z} = a-ib$ . L'opposé est $-z = -a-ib$ .

Le conjugué est une symétrie par rapport à l'axe réel.
L'opposé est une symétrie par rapport à l'origine.

💡 À retenir : $\bar{z}$ change le signe de la partie imaginaire, $-z$ change les signes des deux parties.

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\bar{z} = a-ib$. L'opposé est $-z = -a-ib$.

Le conjugué est une symétrie par rapport à l'axe réel.
L'opposé est une symétrie par rapport à l'origine.

💡 À retenir : $\bar{z}$ change le signe de la partie imaginaire, $-z$ change les signes des deux parties.

Est-ce que tout nombre complexe a une racine carrée ?

Oui, tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées opposées.

Si $z = r e^{i\theta}$ , les racines sont $\sqrt{r} e^{i\theta/2}$ et $-\sqrt{r} e^{i\theta/2}$ .
On peut aussi résoudre $x^2 - y^2 = a$ et $2xy = b$ pour $z = a+ib$ .

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$ , on peut toujours extraire une racine carrée.

Oui, tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées opposées.

Si $z = r e^{i\theta}$, les racines sont $\sqrt{r} e^{i\theta/2}$ et $-\sqrt{r} e^{i\theta/2}$.
On peut aussi résoudre $x^2 - y^2 = a$ et $2xy = b$ pour $z = a+ib$.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$, on peut toujours extraire une racine carrée.

Comment linéariser cos^2(x) ?

Utiliser $\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ .
Élever au carré : $\cos^2(x) = (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^2 = \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4}$ .
Regrouper : $\frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}$ .

💡 À retenir : La linéarisation permet de transformer des puissances en sommes de cosinus.

Utiliser $\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$.
Élever au carré : $\cos^2(x) = (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^2 = \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4}$.
Regrouper : $\frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}$.

💡 À retenir : La linéarisation permet de transformer des puissances en sommes de cosinus.

Chno houwa l'module dyal i ?

$i = 0 + 1i$ .

$|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$ .
L'argument dyal $i$ houwa $\pi/2$ .

💡 À retenir : Le module d'un imaginaire pur $bi$ est $|b|$ .

$i = 0 + 1i$.

$|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.
L'argument dyal $i$ houwa $\pi/2$.

💡 À retenir : Le module d'un imaginaire pur $bi$ est $|b|$.

Pourquoi on utilise les complexes en physique ?

Les complexes simplifient énormément les calculs d'oscillations et d'ondes (courants alternatifs, mécanique quantique).

Ils permettent de remplacer des équations différentielles par des équations algébriques.
Ils gèrent le déphasage via l'argument.

💡 À retenir : Les complexes sont l'outil naturel pour décrire tout phénomène périodique.

Est-ce que z cdot bar{z} = |z|^2 est toujours vrai ?

Oui, c'est une propriété fondamentale.

$z \cdot \bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 - i^2b^2 = a^2 + b^2$ .
$|z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2 + b^2$ .

💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide pour calculer le module au carré.

Oui, c'est une propriété fondamentale.

$z \cdot \bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 - i^2b^2 = a^2 + b^2$.
$|z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2 + b^2$.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide pour calculer le module au carré.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$ .

Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
Calculer $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme exponentielle, puis en déduire la valeur exacte de $\cos(\frac{7\pi}{12})$ et $\sin(\frac{7\pi}{12})$ .

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$.

Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
Calculer $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme exponentielle, puis en déduire la valeur exacte de $\cos(\frac{7\pi}{12})$ et $\sin(\frac{7\pi}{12})$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans le plan complexe, soit $A(i)$ , $B(1)$ et $C(2+i)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle.

Exercice 3

Dans le plan complexe, soit $A(i)$, $B(1)$ et $C(2+i)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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