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Matrices

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
L'ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ muni de l'addition et de la multiplication est un anneau non commutatif.
La matrice identité $I_n$ est l'élément neutre pour la multiplication : $A \times I_n = I_n \times A = A$ .
Une matrice $A$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = I_n$ . On note $B = A^{-1}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit : Pour obtenir le coefficient $c_{ij}$ , on multiplie la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .
Calcul de l'inverse : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan : $(A | I_n) \to (I_n | A^{-1})$ par opérations élémentaires sur les lignes.
Puissance d'une matrice : Utiliser la formule du binôme de Newton si $AB=BA$ , ou la récurrence.

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times1+2\times0 & 1\times2+2\times1 \\ 0\times1+1\times0 & 0\times2+1\times1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Croire que $A \times B = B \times A$ (la multiplication n'est pas commutative).
Confondre la transposée $^tA$ avec l'inverse $A^{-1}$ .
Oublier que le produit $AB$ n'est possible que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ .

L'essentiel du cours

Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
L'ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ muni de l'addition et de la multiplication est un anneau non commutatif.
La matrice identité $I_n$ est l'élément neutre pour la multiplication : $A \times I_n = I_n \times A = A$.
Une matrice $A$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = I_n$. On note $B = A^{-1}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit : Pour obtenir le coefficient $c_{ij}$, on multiplie la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.
Calcul de l'inverse : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan : $(A | I_n) \to (I_n | A^{-1})$ par opérations élémentaires sur les lignes.
Puissance d'une matrice : Utiliser la formule du binôme de Newton si $AB=BA$, ou la récurrence.

Exemples corrigés

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times1+2\times0 & 1\times2+2\times1 \ 0\times1+1\times0 & 0\times2+1\times1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Croire que $A \times B = B \times A$ (la multiplication n'est pas commutative).
Confondre la transposée $^tA$ avec l'inverse $A^{-1}$.
Oublier que le produit $AB$ n'est possible que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Matrices

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Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Quelle est la transposée $^tA$ ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Quelle est la transposée $^tA$ ?

❓ Questions fréquentes

Wash ila kan A times B = A times C o A neq 0, wach darouri B = C ?

Non, cela n'est vrai que si $A$ est inversible. Si $A$ n'est pas inversible, on ne peut pas simplifier par $A$ .

💡 À retenir : La simplification matricielle nécessite l'inversibilité.

Non, cela n'est vrai que si $A$ est inversible. Si $A$ n'est pas inversible, on ne peut pas simplifier par $A$.

💡 À retenir : La simplification matricielle nécessite l'inversibilité.

Est-ce que la trace d'un produit AB est égale à la trace de BA ?

Oui, pour toutes matrices $A$ et $B$ telles que les produits sont définis, $\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$ .

💡 À retenir : La trace est invariante par permutation circulaire.

Oui, pour toutes matrices $A$ et $B$ telles que les produits sont définis, $\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$.

💡 À retenir : La trace est invariante par permutation circulaire.

Est-ce que le produit de deux matrices inversibles est toujours inversible ?

Oui, si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de même taille, alors leur produit $AB$ est inversible et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ .

💡 À retenir : L'ordre s'inverse lors du passage à l'inverse d'un produit.

Oui, si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de même taille, alors leur produit $AB$ est inversible et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

💡 À retenir : L'ordre s'inverse lors du passage à l'inverse d'un produit.

Kifach n7seb l'inverse dyal une matrice 3x3?

Tu écris la matrice augmentée $(A | I_3)$ .
Tu appliques des opérations élémentaires sur les lignes (Ligne $i \leftarrow \alpha L_i + \beta L_j$ ) pour transformer $A$ en $I_3$ .
La matrice obtenue à droite est $A^{-1}$ .

💡 À retenir : La méthode de Gauss-Jordan est la plus fiable.

Tu écris la matrice augmentée $(A | I_3)$.
Tu appliques des opérations élémentaires sur les lignes (Ligne $i \leftarrow \alpha L_i + \beta L_j$) pour transformer $A$ en $I_3$.
La matrice obtenue à droite est $A^{-1}$.

💡 À retenir : La méthode de Gauss-Jordan est la plus fiable.

Est-ce que A^2 = 0 implique A = 0 ?

Non, pas forcément. Par exemple, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est non nulle, mais $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Dans les matrices, il existe des diviseurs de zéro.

Non, pas forcément. Par exemple, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est non nulle, mais $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Dans les matrices, il existe des diviseurs de zéro.

Chno hiya la différence bin matrice diagonale o matrice triangulaire ?

Une matrice diagonale n'a des éléments non nuls que sur la diagonale principale. Une matrice triangulaire a des zéros soit au-dessus, soit au-dessous de la diagonale, mais peut avoir des valeurs non nulles ailleurs.

💡 À retenir : Toute matrice diagonale est triangulaire, mais l'inverse est faux.

Comment calculer A^n pour une matrice donnée ?

Calculer $A^2, A^3$ pour chercher une conjecture.
Démontrer la formule par récurrence.
Si $A = P D P^{-1}$ (diagonalisation), alors $A^n = P D^n P^{-1}$ .

💡 À retenir : La récurrence est l'outil standard au niveau Bac.

Calculer $A^2, A^3$ pour chercher une conjecture.
Démontrer la formule par récurrence.
Si $A = P D P^{-1}$ (diagonalisation), alors $A^n = P D^n P^{-1}$.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil standard au niveau Bac.

Est-ce que la transposée d'une matrice inversible est inversible ?

Oui, si $A$ est inversible, alors $^tA$ est inversible et $(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$ .

💡 À retenir : L'inversion et la transposition commutent.

Oui, si $A$ est inversible, alors $^tA$ est inversible et $(^tA)^{-1} = ^t(A^{-1})$.

💡 À retenir : L'inversion et la transposition commutent.

Est-ce que (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ?

Non, cette égalité n'est vraie que si $A$ et $B$ commutent ( $AB = BA$ ). Sinon, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ .

💡 À retenir : Attention à la non-commutativité !

Non, cette égalité n'est vraie que si $A$ et $B$ commutent ($AB = BA$). Sinon, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$.

💡 À retenir : Attention à la non-commutativité !

Chno hiya la matrice nilpotente ?

Une matrice $A$ est dite nilpotente s'il existe un entier $k \geq 1$ tel que $A^k = 0$ .

💡 À retenir : Ces matrices ne sont jamais inversibles (sauf la matrice nulle).

Une matrice $A$ est dite nilpotente s'il existe un entier $k \geq 1$ tel que $A^k = 0$.

💡 À retenir : Ces matrices ne sont jamais inversibles (sauf la matrice nulle).

Est-ce que l'ensemble des matrices inversibles est un groupe ?

Oui, l'ensemble $GL_n(\mathbb{R})$ des matrices inversibles de taille $n$ muni de la multiplication est un groupe.

💡 À retenir : Il possède un élément neutre ( $I_n$ ) et chaque élément a un inverse.

Oui, l'ensemble $GL_n(\mathbb{R})$ des matrices inversibles de taille $n$ muni de la multiplication est un groupe.

💡 À retenir : Il possède un élément neutre ($I_n$) et chaque élément a un inverse.

Comment savoir si une matrice est inversible sans calculer l'inverse ?

Au niveau du programme, on vérifie si le système $AX=0$ n'admet que la solution nulle $X=0$ (ou via le déterminant si le chapitre est déjà vu).

💡 À retenir : $A$ est inversible $\iff$ le système $AX=0$ est de Cramer.

Au niveau du programme, on vérifie si le système $AX=0$ n'admet que la solution nulle $X=0$ (ou via le déterminant si le chapitre est déjà vu).

💡 À retenir : $A$ est inversible $\iff$ le système $AX=0$ est de Cramer.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $A^2$ et $A^3$ .
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $A^2$ et $A^3$.
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Calculer $M^2 - 4M$ .
En déduire que $M$ est inversible et donner $M^{-1}$ en fonction de $M$ et $I$ .

Exercice 2

Soit $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Calculer $M^2 - 4M$.
En déduire que $M$ est inversible et donner $M^{-1}$ en fonction de $M$ et $I$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^{-1}$ par la méthode de Gauss-Jordan.

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^{-1}$ par la méthode de Gauss-Jordan.

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