Logique et raisonnements

On l'utilise quand on veut montrer qu'il existe un élément et qu'il est unique. Pour cela, on montre l'existence, puis l'unicité (en supposant deux éléments égaux).

💡 À retenir : L'unicité se prouve souvent par $x=y$ en supposant $P(x)$ et $P(y)$.

Oui, selon les lois de De Morgan : $\neg(P \wedge Q) \iff (\neg P \vee \neg Q)$.

💡 À retenir : La négation transforme le "et" en "ou" et inversement.

1. Méthode 1 : Montrer $P \implies Q$ et $Q \implies P$.
2. Méthode 2 : Faire une chaîne d'équivalences successives (si elles sont toutes réversibles).

💡 À retenir : La méthode 1 est plus sûre si les équivalences ne sont pas évidentes.

1. L'absurde est utile quand tu as une hypothèse forte à contredire (ex: montrer qu'un nombre n'est pas rationnel).
2. La contraposée est idéale quand tu veux transformer une implication $P \implies Q$ en une forme plus simple $\neg Q \implies \neg P$ (souvent avec des inégalités ou des divisions).

💡 À retenir : Si tu es bloqué, essaie la contraposée d'abord, elle est plus directe.

1. $\forall$ (pour tout) signifie que la propriété est vraie pour chaque élément de l'ensemble.
2. $\exists$ (il existe) signifie qu'il suffit d'en trouver au moins un seul pour que la proposition soit vraie.

💡 À retenir : $\forall$ demande une preuve générale, $\exists$ demande juste un exemple.

1. La négation de $\forall$ est $\exists$.
2. La négation de $x^2 > 0$ est $x^2 \leq 0$.
3. Résultat : $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0$.

💡 À retenir : N'oublie jamais d'inverser le symbole d'inégalité ($>$ devient $\leq$).

Oui, énormément. $\forall x, \exists y, P(x,y)$ signifie que pour chaque $x$, il existe un $y$ qui dépend de $x$. Alors que $\exists y, \forall x, P(x,y)$ signifie qu'il existe un $y$ unique qui marche pour tous les $x$.

💡 À retenir : Ne jamais inverser les quantificateurs, cela change tout le sens mathématique.

1. Énoncer la propriété $P(n)$.
2. Initialisation : vérifier pour le premier terme.
3. Hérédité : écrire "Soit $n \geq n_0$, supposons $P(n)$ vraie".
4. Montrer $P(n+1)$ en utilisant l'hypothèse de récurrence.
5. Conclure : "D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n$".

💡 À retenir : La conclusion est obligatoire pour valider la note.

Oui, c'est un raisonnement universel, mais il est parfois inutilement long. Si une preuve directe existe, privilégie-la. L'absurde est un "plan B" puissant.

💡 À retenir : L'absurde est à réserver aux cas où la négation de l'hypothèse donne une information exploitable.

Non, c'est une erreur grave. $Q \implies P$ est la réciproque. Une implication et sa réciproque n'ont pas la même valeur de vérité.

💡 À retenir : $P \implies Q$ est équivalent à sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$, pas à sa réciproque.

Il suffit de trouver un contre-exemple. C'est-à-dire un élément de l'ensemble qui vérifie l'hypothèse mais pas la conclusion.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle ($\forall$).

Oui, c'est la base de la rigueur mathématique. "Soit $x \in \mathbb{R}$" permet de fixer un élément arbitraire pour prouver une propriété générale.

💡 À retenir : La rigueur de rédaction compte autant que le résultat final.