Relations d'équivalence et d'ordre

C'est un découpage de l'ensemble $E$ en plusieurs sous-ensembles non vides, disjoints deux à deux, dont la réunion est égale à $E$. Il y a une bijection entre les relations d'équivalence et les partitions.

💡 À retenir : Chaque relation d'équivalence définit une partition unique de l'ensemble.

1. Tu prends deux éléments $x$ et $y$ tels que $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}x$.
2. Tu essaies de démontrer que $x=y$.
3. Si tu y arrives, c'est antisymétrique. Si tu trouves un contre-exemple, alors non.

💡 À retenir : L'antisymétrie empêche les "boucles" de longueur 2 entre éléments distincts.

1. La relation d'équivalence est basée sur la symétrie (si $x$ est lié à $y$, alors $y$ est lié à $x$). Elle sert à regrouper des éléments "semblables" en classes.
2. La relation d'ordre est basée sur l'antisymétrie (si $x$ est lié à $y$ et $y$ à $x$, alors $x=y$). Elle sert à comparer ou classer des éléments.

💡 À retenir : Équivalence = ressemblance ; Ordre = comparaison.

1. Tu écris la définition : $\bar{x} = {y \in E / y\mathcal{R}x}$.
2. Tu remplaces $y\mathcal{R}x$ par la condition donnée dans l'énoncé.
3. Tu résous l'équation ou l'inéquation pour trouver tous les $y$ possibles.

💡 À retenir : La classe est l'ensemble de tous les éléments qui "ressemblent" à $x$ selon la règle $\mathcal{R}$.

Oui, mais seulement si elle est très restrictive. Pour qu'une relation soit les deux, elle doit être réflexive, transitive, symétrique ET antisymétrique. Cela implique que $x\mathcal{R}y \iff x=y$ (la relation d'égalité).

💡 À retenir : La seule relation qui est à la fois d'équivalence et d'ordre est la relation d'égalité.

1. Un ordre est total si, pour n'importe quels deux éléments $x$ et $y$, on peut toujours dire soit $x\mathcal{R}y$ soit $y\mathcal{R}x$.
2. Un ordre est partiel si certains éléments ne sont pas comparables entre eux.

💡 À retenir : Dans un ordre total, tout est comparable. Dans un ordre partiel, il existe des éléments "incomparables".

1. Tu supposes que $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$ sont vraies.
2. Tu utilises les définitions algébriques de ces deux relations.
3. Tu manipules les égalités ou inégalités pour montrer que $x\mathcal{R}z$ est forcément vraie.

💡 À retenir : La transitivité, c'est le passage de $x$ à $z$ via un intermédiaire $y$.

Oui, absolument. Une relation d'ordre doit obligatoirement être réflexive, antisymétrique et transitive. Si l'une des trois manque, ce n'est pas une relation d'ordre.

💡 À retenir : Sans réflexivité, on ne peut pas parler d'ordre au sens mathématique.

Oui, dans un ordre partiel. Un élément est maximal s'il n'y a rien au-dessus de lui, mais il peut exister d'autres éléments qui ne sont pas comparables avec lui. Le "plus grand" doit être supérieur à TOUS les autres éléments.

💡 À retenir : Maximal = rien au-dessus ; Plus grand = au-dessus de tout le monde.

Non. Par exemple, 2 et 3 sont dans $\mathbb{N}^*$, mais 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2. Ils sont incomparables. C'est donc un ordre partiel.

💡 À retenir : La divisibilité est un ordre partiel sur $\mathbb{N}^*$.

Elles permettent de simplifier des ensembles complexes en manipulant des "classes" au lieu d'éléments individuels (ex: construction de $\mathbb{Q}$ à partir de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*$).

💡 À retenir : L'équivalence permet de créer de nouveaux objets mathématiques en identifiant des éléments.

Tu pars de $x\mathcal{R}y$, tu appliques la définition, et tu dois arriver à $y\mathcal{R}x$ en utilisant les propriétés de l'opération ou de la relation.

💡 À retenir : La symétrie signifie que le sens de la relation n'a pas d'importance.