Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — FST — MIP / MIPC / BCG

Développements limités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un développement limité (DL) d'ordre $n$ d'une fonction $f$ au voisinage de $0$ est une écriture de la forme : $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + o(x^n)$ où $a_i \in \mathbb{R}$ et $\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$ . Les DL usuels (à connaître par cœur) :

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+2})$
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k+1})$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + o(x^n)$

Méthodes à maîtriser

Somme et produit : On additionne les parties polynomiales et on garde le reste de plus petit ordre.
Composition : Pour $f(g(x))$ , si $g(x) \to 0$ , on remplace $x$ par $g(x)$ dans le DL de $f$ .
Division : On pose la division euclidienne des polynômes en s'arrêtant à l'ordre voulu.

Exemples corrigés

DL de $f(x) = e^x \sin(x)$ à l'ordre 3 en $0$ : $(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)) \times (x - \frac{x^3}{6} + o(x^3))$ $= x - \frac{x^3}{6} + x^2 + x^3 + o(x^3) = x + x^2 + \frac{5}{6}x^3 + o(x^3)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le reste $o(x^n)$ à chaque étape.
Confondre l'ordre du DL avec la puissance du dernier terme.
Ne pas vérifier si $g(x) \to 0$ avant de composer les DL.

L'essentiel du cours

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+2})$
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k+1})$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + o(x^n)$

Méthodes à maîtriser

Somme et produit : On additionne les parties polynomiales et on garde le reste de plus petit ordre.
Composition : Pour $f(g(x))$, si $g(x) \to 0$, on remplace $x$ par $g(x)$ dans le DL de $f$.
Division : On pose la division euclidienne des polynômes en s'arrêtant à l'ordre voulu.

Exemples corrigés

Erreurs fréquentes

Oublier le reste $o(x^n)$ à chaque étape.
Confondre l'ordre du DL avec la puissance du dernier terme.
Ne pas vérifier si $g(x) \to 0$ avant de composer les DL.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Développements limités

1/4

Quel est le DL à l'ordre 2 de $f(x) = e^{2x}$ en $0$ ?

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un DL au voisinage de a ?

Un DL au voisinage de $a$ est une approximation polynomiale de $f$ près de $a$ . On pose $h = x-a$ , donc $x = a+h$ . On cherche le DL de $g(h) = f(a+h)$ au voisinage de $0$ .

💡 À retenir : On ramène toujours le problème au voisinage de $0$ par un changement de variable.

Un DL au voisinage de $a$ est une approximation polynomiale de $f$ près de $a$. On pose $h = x-a$, donc $x = a+h$. On cherche le DL de $g(h) = f(a+h)$ au voisinage de $0$.

💡 À retenir : On ramène toujours le problème au voisinage de $0$ par un changement de variable.

Kifach n7seb DL dyal f(x) ila kan x to 0 mais f(x) fiha division ?

Tu fais le DL du numérateur et du dénominateur à l'ordre $n$ .
Tu écris $f(x) = \frac{P(x) + o(x^n)}{Q(x) + o(x^n)}$ .
Si $Q(0) \neq 0$ , tu utilises la formule $(1+u)^{-1} \approx 1-u+u^2...$ pour transformer la division en multiplication.

💡 À retenir : Ne jamais diviser les restes $o(x^n)$ directement.

Tu fais le DL du numérateur et du dénominateur à l'ordre $n$.
Tu écris $f(x) = \frac{P(x) + o(x^n)}{Q(x) + o(x^n)}$.
Si $Q(0) \neq 0$, tu utilises la formule $(1+u)^{-1} \approx 1-u+u^2...$ pour transformer la division en multiplication.

💡 À retenir : Ne jamais diviser les restes $o(x^n)$ directement.

Est-ce que le DL est unique ?

Oui, si le DL d'ordre $n$ existe, il est unique. C'est une conséquence directe de la formule de Taylor-Young.

💡 À retenir : Si tu trouves deux polynômes différents pour le même DL, tu as fait une erreur de calcul.

Oui, si le DL d'ordre $n$ existe, il est unique. C'est une conséquence directe de la formule de Taylor-Young.

💡 À retenir : Si tu trouves deux polynômes différents pour le même DL, tu as fait une erreur de calcul.

Chno hiya l'utilité dyal DL f l'etude dyal l'courbe ?

Le DL permet de déterminer :

L'équation de la tangente (DL ordre 1).
La position relative de la courbe par rapport à la tangente ou l'asymptote (signe du premier terme non nul après le terme de l'asymptote).

💡 À retenir : Le signe du terme de plus bas degré donne la position locale.

Comment choisir l'ordre n du DL ?

L'ordre dépend de ce que tu cherches :

Pour une limite : l'ordre nécessaire pour lever l'indétermination.
Pour une asymptote : ordre 1 ou 2.
Pour la courbure : ordre 2 ou 3.

💡 À retenir : Commence par l'ordre 1, si le résultat est indéterminé, augmente l'ordre.

Wach momkin ndir DL l'koulchi les fonctions ?

Non, la fonction doit être $n$ fois dérivable au point considéré. Si la fonction n'est pas dérivable (ex: $|x|$ en 0), le DL n'existe pas.

💡 À retenir : La dérivabilité est la condition nécessaire pour l'existence d'un DL.

Non, la fonction doit être $n$ fois dérivable au point considéré. Si la fonction n'est pas dérivable (ex: $|x|$ en 0), le DL n'existe pas.

💡 À retenir : La dérivabilité est la condition nécessaire pour l'existence d'un DL.

Comment faire le DL de tan(x) à l'ordre 3 ?

On utilise $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

DL $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ .
DL $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)$ .
$\tan(x) = (x - \frac{x^3}{6})(1 - \frac{x^2}{2})^{-1} \approx (x - \frac{x^3}{6})(1 + \frac{x^2}{2}) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ .

💡 À retenir : Utilise toujours le DL de $(1+u)^{-1}$ pour les quotients.

On utilise $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

DL $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$.
DL $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)$.
$\tan(x) = (x - \frac{x^3}{6})(1 - \frac{x^2}{2})^{-1} \approx (x - \frac{x^3}{6})(1 + \frac{x^2}{2}) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$.

💡 À retenir : Utilise toujours le DL de $(1+u)^{-1}$ pour les quotients.

Est-ce que o(x^2) + o(x^3) = o(x^2) ?

Oui, car $o(x^3)$ est négligeable devant $x^2$ . Le reste le plus "grand" (celui qui tend le moins vite vers 0) absorbe les autres.

💡 À retenir : On garde toujours le reste de l'ordre le plus petit.

Oui, car $o(x^3)$ est négligeable devant $x^2$. Le reste le plus "grand" (celui qui tend le moins vite vers 0) absorbe les autres.

💡 À retenir : On garde toujours le reste de l'ordre le plus petit.

Est-ce qu'on peut intégrer un DL ?

Oui, si $f(x) = P(x) + o(x^n)$ , alors $\int f(x) dx = \int P(x) dx + o(x^{n+1})$ .

💡 À retenir : L'intégration augmente l'ordre du DL de 1.

Oui, si $f(x) = P(x) + o(x^n)$, alors $\int f(x) dx = \int P(x) dx + o(x^{n+1})$.

💡 À retenir : L'intégration augmente l'ordre du DL de 1.

Pourquoi on s'arrête souvent à l'ordre 3 ou 4 ?

Parce que les calculs deviennent très lourds et que, pour la plupart des problèmes de limites ou d'asymptotes au lycée, ces ordres suffisent largement.

💡 À retenir : Ne calcule jamais un ordre supérieur à ce qui est demandé.

Comment savoir si le DL est correct ?

Vérifie les valeurs en $x=0$ : $f(0)$ doit être égal à $a_0$ . Si tu as une fonction paire, le DL ne doit contenir que des puissances paires.

💡 À retenir : La parité de la fonction se conserve dans le DL.

Vérifie les valeurs en $x=0$ : $f(0)$ doit être égal à $a_0$. Si tu as une fonction paire, le DL ne doit contenir que des puissances paires.

💡 À retenir : La parité de la fonction se conserve dans le DL.

Est-ce que le DL est valable loin de 0 ?

Non, le DL est une approximation locale. Plus on s'éloigne de $x_0$ , plus l'erreur augmente.

💡 À retenir : Le DL ne sert qu'au voisinage du point choisi.

Non, le DL est une approximation locale. Plus on s'éloigne de $x_0$, plus l'erreur augmente.

💡 À retenir : Le DL ne sert qu'au voisinage du point choisi.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Donner le DL à l'ordre 3 en $0$ de la fonction $f(x) = \ln(1 + \sin(x))$ .

Exercice 1

Donner le DL à l'ordre 3 en $0$ de la fonction $f(x) = \ln(1 + \sin(x))$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Étudier la position relative de la courbe de $f(x) = \frac{e^x}{1+x}$ par rapport à sa tangente en $0$ .

Exercice 2

Étudier la position relative de la courbe de $f(x) = \frac{e^x}{1+x}$ par rapport à sa tangente en $0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4}$ .

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Logique et raisonnements Ensembles et applications Relations d'équivalence et d'ordre Nombres complexes Arithmétique dans Z Polynômes Espaces vectoriels Applications linéaires Matrices Déterminants Systèmes d'équations linéaires Suites numériques Limites et continuité Dérivabilité Intégration Équations différentielles