Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — FST — MIP / MIPC / BCG

Dérivabilité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Tangente : L'équation est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(f+g)' = f'+g'$ , $(fg)' = f'g+fg'$ , $(f/g)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}$ .
Composée : $(g \circ f)'(x) = f'(x) \cdot g'(f(x))$ .
Réciproque : Si $f$ est dérivable et strictement monotone, $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points de raccordement.
Utiliser le taux d'accroissement pour lever les indéterminations.
Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) pour encadrer des valeurs.
Déterminer la concavité via le signe de $f''(x)$ .

Exemples corrigés

Dérivabilité : Soit $f(x) = |x-1|$ . En $x=1$ , $\lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1$ et $\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)-0}{x-1} = -1$ . $f$ n'est pas dérivable en 1.
Réciproque : $f(x) = x^3+x$ . $f'(x) = 3x^2+1 > 0$ . Donc $f^{-1}$ est dérivable. $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant la dérivabilité.
Confusion entre $f'(x)$ et $f^{-1}(x)$ .
Oublier le signe de $g^2$ au dénominateur dans $(f/g)'$ .

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Tangente : L'équation est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(f+g)' = f'+g'$, $(fg)' = f'g+fg'$, $(f/g)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}$.
Composée : $(g \circ f)'(x) = f'(x) \cdot g'(f(x))$.
Réciproque : Si $f$ est dérivable et strictement monotone, $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$.

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points de raccordement.
Utiliser le taux d'accroissement pour lever les indéterminations.
Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) pour encadrer des valeurs.
Déterminer la concavité via le signe de $f''(x)$.

Exemples corrigés

Dérivabilité : Soit $f(x) = |x-1|$. En $x=1$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1$ et $\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)-0}{x-1} = -1$. $f$ n'est pas dérivable en 1.
Réciproque : $f(x) = x^3+x$. $f'(x) = 3x^2+1 > 0$. Donc $f^{-1}$ est dérivable. $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant la dérivabilité.
Confusion entre $f'(x)$ et $f^{-1}(x)$.
Oublier le signe de $g^2$ au dénominateur dans $(f/g)'$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dérivabilité

1/4

La dérivée de $f(x) = \ln(x^2)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point a ?

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si la limite est un nombre réel fini $L$ , alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$ .
Si la limite est $\pm \infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ (tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique toujours la continuité, mais l'inverse est faux.

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si la limite est un nombre réel fini $L$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$.
Si la limite est $\pm \infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique toujours la continuité, mais l'inverse est faux.

kifach n7seb l-dérivé dyal fonction composée f(g(x)) ?

Tu dérives la fonction extérieure $f$ en gardant $g(x)$ à l'intérieur.
Tu multiplies le tout par la dérivée de la fonction intérieure $g'(x)$ .
Formule : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par $g'(x)$ , c'est l'erreur la plus courante.

Tu dérives la fonction extérieure $f$ en gardant $g(x)$ à l'intérieur.
Tu multiplies le tout par la dérivée de la fonction intérieure $g'(x)$.
Formule : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par $g'(x)$, c'est l'erreur la plus courante.

C'est quoi un point d'inflexion ?

C'est un point où la courbe traverse sa tangente.
Mathématiquement, c'est un point où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.

💡 À retenir : Si $f''(x) = 0$ mais ne change pas de signe, ce n'est pas un point d'inflexion.

C'est un point où la courbe traverse sa tangente.
Mathématiquement, c'est un point où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.

💡 À retenir : Si $f''(x) = 0$ mais ne change pas de signe, ce n'est pas un point d'inflexion.

chno hiya l-3ala9a bin l-dérivabilité w l-ittisal ?

Ila kant $f$ dérivable f $a$ , rah darouri tkoun mettsla (continue) f $a$ .
Ila kant $f$ machi mettsla f $a$ , rah mosta7il tkoun dérivable f $a$ .
L-3aks machi dima s7i7 (ex: $f(x)=|x|$ mettsla f 0 walakin machi dérivable f 0).

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Ila kant $f$ dérivable f $a$, rah darouri tkoun mettsla (continue) f $a$.
Ila kant $f$ machi mettsla f $a$, rah mosta7il tkoun dérivable f $a$.
L-3aks machi dima s7i7 (ex: $f(x)=|x|$ mettsla f 0 walakin machi dérivable f 0).

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Comment utiliser le théorème de Rolle ?

Vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$ .
Vérifie que $f(a) = f(b)$ .
Alors, il existe au moins un $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$ .

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour prouver l'existence de racines de la dérivée.

Vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$.
Vérifie que $f(a) = f(b)$.
Alors, il existe au moins un $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour prouver l'existence de racines de la dérivée.

kifach n3ref wach l-man7ana fo9 awla te7t l-mamas ?

Étudie le signe de $f(x) - T(x)$ où $T(x)$ est l'équation de la tangente.
Si $f(x) - T(x) \geq 0$ , la courbe est au-dessus.
Si $f(x) - T(x) \leq 0$ , la courbe est en dessous.

💡 À retenir : La position relative dépend du signe de la dérivée seconde $f''(x)$ (concavité).

Étudie le signe de $f(x) - T(x)$ où $T(x)$ est l'équation de la tangente.
Si $f(x) - T(x) \geq 0$, la courbe est au-dessus.
Si $f(x) - T(x) \leq 0$, la courbe est en dessous.

💡 À retenir : La position relative dépend du signe de la dérivée seconde $f''(x)$ (concavité).

Comment dériver une fonction réciproque f^{-1} ?

Assure-toi que $f$ est dérivable et strictement monotone sur l'intervalle.
Utilise la formule : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ avec $y = f(x)$ .
Calcule $x$ tel que $f(x) = y$ avant d'appliquer la formule.

💡 À retenir : La dérivée de la réciproque est l'inverse de la dérivée de la fonction directe.

Assure-toi que $f$ est dérivable et strictement monotone sur l'intervalle.
Utilise la formule : $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ avec $y = f(x)$.
Calcule $x$ tel que $f(x) = y$ avant d'appliquer la formule.

💡 À retenir : La dérivée de la réciproque est l'inverse de la dérivée de la fonction directe.

Est-ce que la dérivée d'une fonction paire est impaire ?

Oui, si $f$ est dérivable et paire, alors $f(-x) = f(x)$ .
En dérivant les deux côtés : $-f'(-x) = f'(x)$ , donc $f'(-x) = -f'(x)$ .
$f'$ est donc impaire.

💡 À retenir : La dérivée d'une fonction paire est toujours impaire.

Oui, si $f$ est dérivable et paire, alors $f(-x) = f(x)$.
En dérivant les deux côtés : $-f'(-x) = f'(x)$, donc $f'(-x) = -f'(x)$.
$f'$ est donc impaire.

💡 À retenir : La dérivée d'une fonction paire est toujours impaire.

Pourquoi on dit que la dérivée est une approximation affine ?

Au voisinage de $a$ , $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ .
C'est l'équation de la tangente.
On remplace une courbe complexe par une droite locale.

💡 À retenir : C'est très utile pour les calculs approchés en physique.

Au voisinage de $a$, $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$.
C'est l'équation de la tangente.
On remplace une courbe complexe par une droite locale.

💡 À retenir : C'est très utile pour les calculs approchés en physique.

Comment étudier la dérivabilité à droite et à gauche ?

Calcule $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_d(a)$ .
Calcule $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$ .
Si $f'_d(a) = f'_g(a)$ , alors $f$ est dérivable. Sinon, il y a un point anguleux.

💡 À retenir : Le point anguleux signifie deux demi-tangentes différentes.

Calcule $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_d(a)$.
Calcule $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$.
Si $f'_d(a) = f'_g(a)$, alors $f$ est dérivable. Sinon, il y a un point anguleux.

💡 À retenir : Le point anguleux signifie deux demi-tangentes différentes.

C'est quoi la dérivée seconde ?

C'est la dérivée de la fonction dérivée $f'$ .
Elle renseigne sur la courbure (concavité) de la fonction.
$f''(x) > 0$ signifie que la courbe est convexe (tournée vers le haut).

💡 À retenir : $f''$ est l'accélération si $f$ est la position.

C'est la dérivée de la fonction dérivée $f'$.
Elle renseigne sur la courbure (concavité) de la fonction.
$f''(x) > 0$ signifie que la courbe est convexe (tournée vers le haut).

💡 À retenir : $f''$ est l'accélération si $f$ est la position.

Est-ce qu'une fonction peut être dérivable sans être continue ?

Non, c'est impossible.
La définition même de la dérivabilité impose la limite du taux d'accroissement, ce qui force la continuité.

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x|x|$ .

Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ .
Déterminer la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est-elle deux fois dérivable en $0$ ?

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x|x|$.

Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
Déterminer la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est-elle deux fois dérivable en $0$ ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ . Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . En déduire la dérivée de $g(x) = \sqrt{\sin^2(x)+1}$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+1}$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. En déduire la dérivée de $g(x) = \sqrt{\sin^2(x)+1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 + 3x - 1$ .

Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à préciser.
Calculer $(f^{-1})'(3)$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 + 3x - 1$.

Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à préciser.
Calculer $(f^{-1})'(3)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Logique et raisonnements Ensembles et applications Relations d'équivalence et d'ordre Nombres complexes Arithmétique dans Z Polynômes Espaces vectoriels Applications linéaires Matrices Déterminants Systèmes d'équations linéaires Suites numériques Limites et continuité Développements limités Intégration Équations différentielles