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Généralités sur les fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une fonction $f$ est une relation qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique réel $y = f(x)$ .
Parité :
- $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
- $f$ est impaire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ . Symétrie par rapport à l'origine $O$ .
Sens de variation : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ $T = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}$ avec $x_1 \neq x_2$ $x_{1} \neq = x_{2}$ .
- Si $T > 0$ , $f$ est croissante.
- Si $T < 0$ , $f$ est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les valeurs interdites (dénominateur $\neq 0$ , racine carrée $\geq 0$ ).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ .
Dresser le tableau de variation : Utiliser le taux de variation ou les fonctions usuelles.

Exemples corrigés

$f(x) = \frac{1}{x-2}$ . $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
$f(x) = x^2$ . $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ , donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $D_f$ doit être symétrique par rapport à 0 pour parler de parité.
Confondre le signe du taux de variation avec le signe de la fonction.
Ne pas exclure les valeurs interdites dans le tableau de variation.

L'essentiel du cours

Définition : Une fonction $f$ est une relation qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique réel $y = f(x)$.
Parité :
- $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
- $f$ est impaire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. Symétrie par rapport à l'origine $O$.
Sens de variation : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ avec $x_1 \neq x_2$.
- Si $T > 0$, $f$ est croissante.
- Si $T < 0$, $f$ est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les valeurs interdites (dénominateur $\neq 0$, racine carrée $\geq 0$).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$.
Dresser le tableau de variation : Utiliser le taux de variation ou les fonctions usuelles.

Exemples corrigés

$f(x) = \frac{1}{x-2}$. $D_f = {x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0} = \mathbb{R} \setminus {2}$.
$f(x) = x^2$. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $D_f$ doit être symétrique par rapport à 0 pour parler de parité.
Confondre le signe du taux de variation avec le signe de la fonction.
Ne pas exclure les valeurs interdites dans le tableau de variation.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Généralités sur les fonctions

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x-3}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment interpréter graphiquement f(x1) < f(x2) avec x1 < x2 ?

Cela signifie que la courbe "monte" quand on se déplace de gauche à droite. La fonction est donc croissante.

💡 À retenir : $x$ augmente, $f(x)$ augmente = Croissance.

Cela signifie que la courbe "monte" quand on se déplace de gauche à droite. La fonction est donc croissante.

💡 À retenir : $x$ augmente, $f(x)$ augmente = Croissance.

Chno l'far9 bin l'max w l'min ?

Le maximum est la plus grande valeur que la fonction peut atteindre sur un intervalle.
Le minimum est la plus petite valeur.

💡 À retenir : Ce sont les sommets ou les points bas de la courbe.

C'est quoi la différence entre l'image et l'antécédent ?

L'image est le résultat du calcul $f(x)$ . C'est la valeur de $y$ sur l'axe des ordonnées.
L'antécédent est la valeur de $x$ (sur l'axe des abscisses) qui a permis d'obtenir cette image.

💡 À retenir : $y$ est l'image de $x$ , et $x$ est l'antécédent de $y$ .

L'image est le résultat du calcul $f(x)$. C'est la valeur de $y$ sur l'axe des ordonnées.
L'antécédent est la valeur de $x$ (sur l'axe des abscisses) qui a permis d'obtenir cette image.

💡 À retenir : $y$ est l'image de $x$, et $x$ est l'antécédent de $y$.

Kifach n3ref Df ila kan 3ndi l'kssr (fraction) ?

Chouf l'mou9am (dénominateur).
7el l'mo3adala li katkhli l'mou9am kaysawi sifr.
$D_f$ hiya ga3 l'a3dad $\mathbb{R}$ na9ss hadouk l'7ouloul.

💡 À retenir : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / \text{dénominateur} \neq 0\}$ .

Chouf l'mou9am (dénominateur).
7el l'mo3adala li katkhli l'mou9am kaysawi sifr.
$D_f$ hiya ga3 l'a3dad $\mathbb{R}$ na9ss hadouk l'7ouloul.

💡 À retenir : $D_f = {x \in \mathbb{R} / \text{dénominateur} \neq 0}$.

Chno hiya l'fayda dyal l'parité f l'rsm dyal l'man7ana ?

Si $f$ est paire, tu dessines la moitié droite et tu fais une symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$ .
Si $f$ est impaire, tu fais une symétrie par rapport au point $O(0,0)$ .

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'intervalle d'étude de la fonction.

Si $f$ est paire, tu dessines la moitié droite et tu fais une symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$.
Si $f$ est impaire, tu fais une symétrie par rapport au point $O(0,0)$.

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'intervalle d'étude de la fonction.

Kifach n7seb taux de variation T ?

Khtar joj a3dad $x_1$ et $x_2$ men l'intervalle.
7sseb $f(x_1) - f(x_2)$ .
9ssm had l'far9 3la $x_1 - x_2$ .

💡 À retenir : $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ .

Khtar joj a3dad $x_1$ et $x_2$ men l'intervalle.
7sseb $f(x_1) - f(x_2)$.
9ssm had l'far9 3la $x_1 - x_2$.

💡 À retenir : $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$.

Est-ce qu'une fonction peut ne pas être ni paire ni impaire ?

Oui, c'est le cas de la majorité des fonctions. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$ . $f(-x) = x^2 - x$ , ce qui n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$ .

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une obligation.

Oui, c'est le cas de la majorité des fonctions. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$. $f(-x) = x^2 - x$, ce qui n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$.

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une obligation.

Comment savoir si un point appartient à la courbe Cf ?

Il suffit de vérifier si $f(x_A) = y_A$ . Si le résultat est vrai, le point appartient à la courbe.

💡 À retenir : Le point $M(x,y) \in C_f \iff y = f(x)$ .

Il suffit de vérifier si $f(x_A) = y_A$. Si le résultat est vrai, le point appartient à la courbe.

💡 À retenir : Le point $M(x,y) \in C_f \iff y = f(x)$.

Est-ce que l'ensemble de définition est toujours mathbb{R} ?

Non, seulement pour les fonctions polynômes. Dès qu'il y a une fraction ou une racine, il y a des restrictions.

💡 À retenir : Toujours chercher les valeurs interdites avant de commencer.

Pourquoi on exclut les valeurs interdites dans le tableau de variation ?

Parce que la fonction n'est pas définie en ces points, donc il n'y a pas d'image. On utilise une double barre.

💡 À retenir : La double barre signifie "valeur interdite".

Est-ce que le taux de variation change selon le choix de x1 et x2 ?

Oui, le résultat du calcul de $T$ dépend de $x_1$ et $x_2$ , mais son signe reste constant sur un intervalle où la fonction est monotone.

💡 À retenir : Le signe de $T$ détermine le sens de variation.

Oui, le résultat du calcul de $T$ dépend de $x_1$ et $x_2$, mais son signe reste constant sur un intervalle où la fonction est monotone.

💡 À retenir : Le signe de $T$ détermine le sens de variation.

Comment tracer une fonction à partir de son tableau de variation ?

Place les points donnés par les extremums.
Respecte les flèches (montée ou descente).
Relie les points avec une courbe fluide.

💡 À retenir : Le tableau est le squelette du tracé.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .
Étudier les variations de $f$ sur $]1, +\infty[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.
Étudier les variations de $f$ sur $]1, +\infty[$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Montrer que $f(x) = (x-2)^2 - 1$ .
Déterminer le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Montrer que $f(x) = (x-2)^2 - 1$.
Déterminer le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie sur $[-3, 3]$ dont le tableau de variation est : $x$ | -3 | 0 | 3 $f$ | 5 | | 5 | | -2 | | (Décroissante de 5 à -2, puis croissante de -2 à 5).

Quel est le maximum de $f$ ?
Quel est le minimum de $f$ ?

Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie sur $[-3, 3]$ dont le tableau de variation est : $x$ | -3 | 0 | 3 $f$ | 5 | | 5 | | -2 | | (Décroissante de 5 à -2, puis croissante de -2 à 5).

Quel est le maximum de $f$ ?
Quel est le minimum de $f$ ?

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