Mathématiques · Tronc Commun — Technologique

Le produit scalaire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ défini par :

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Sinon, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ . Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer un produit scalaire : Utiliser les coordonnées si elles sont données, ou la formule avec le cosinus si l'angle et les normes sont connus.
Démontrer l'orthogonalité : Montrer que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Calculer une distance : Utiliser $\|\vec{AB}\|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2$ .
Al-Kashi : Pour un triangle $ABC$ , $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\vec{u}(2, 3)$ et $\vec{v}(-3, 2)$ . $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-3) + (3)(2) = -6 + 6 = 0$ . Donc $\vec{u} \perp \vec{v}$ . Exemple 2 : $\|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{3}$ . $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 \times \cos(\frac{\pi}{3}) = 6 \times 0,5 = 3$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le produit scalaire (qui est un nombre) avec le produit de deux vecteurs (qui n'existe pas).
Oublier que le résultat peut être négatif.
Utiliser la formule des coordonnées dans un repère qui n'est pas orthonormé.

L'essentiel du cours

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ défini par :

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Sinon, $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$. Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.

Méthodes à maîtriser

Calculer un produit scalaire : Utiliser les coordonnées si elles sont données, ou la formule avec le cosinus si l'angle et les normes sont connus.
Démontrer l'orthogonalité : Montrer que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Calculer une distance : Utiliser $|\vec{AB}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2$.
Al-Kashi : Pour un triangle $ABC$, $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\vec{u}(2, 3)$ et $\vec{v}(-3, 2)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-3) + (3)(2) = -6 + 6 = 0$. Donc $\vec{u} \perp \vec{v}$. Exemple 2 : $|\vec{u}|=2, |\vec{v}|=3$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{3}$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 \times \cos(\frac{\pi}{3}) = 6 \times 0,5 = 3$.

Erreurs fréquentes

Confondre le produit scalaire (qui est un nombre) avec le produit de deux vecteurs (qui n'existe pas).
Oublier que le résultat peut être négatif.
Utiliser la formule des coordonnées dans un repère qui n'est pas orthonormé.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Le produit scalaire

1/4

Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , alors :

Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, alors :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le produit scalaire peut être négatif ?

Oui, tout à fait. Le signe du produit scalaire dépend du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs :

Si l'angle est aigu ( $0 \le \theta < \pi/2$ ), le produit est positif.
Si l'angle est obtus ( $\pi/2 < \theta \le \pi$ ), le produit est négatif.
Si l'angle est droit ( $\pi/2$ ), le produit est nul.

💡 À retenir : Le signe du produit scalaire indique si l'angle est aigu ou obtus.

Oui, tout à fait. Le signe du produit scalaire dépend du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs :

Si l'angle est aigu ($0 \le \theta < \pi/2$), le produit est positif.
Si l'angle est obtus ($\pi/2 < \theta \le \pi$), le produit est négatif.
Si l'angle est droit ($\pi/2$), le produit est nul.

💡 À retenir : Le signe du produit scalaire indique si l'angle est aigu ou obtus.

Kifach n7seb l-produit scalaire ila 3ndi ghir l-adla3 dyal l-moutallat ?

Ila 3ndek l-adla3 dyal l-moutallat $ABC$ , khassek tsta3mel l-moubarhana dyal Al-Kashi :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .
Donc, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}$ .

💡 À retenir : La formule d'Al-Kashi est l'outil principal pour lier les longueurs au produit scalaire.

Ila 3ndek l-adla3 dyal l-moutallat $ABC$, khassek tsta3mel l-moubarhana dyal Al-Kashi :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Donc, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}$.

💡 À retenir : La formule d'Al-Kashi est l'outil principal pour lier les longueurs au produit scalaire.

Est-ce que vec{u} cdot vec{v} = vec{v} cdot vec{u} ?

Oui, le produit scalaire est commutatif. L'ordre des vecteurs ne change pas le résultat final, car la multiplication des nombres réels est commutative.

💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ est toujours vrai.

Oui, le produit scalaire est commutatif. L'ordre des vecteurs ne change pas le résultat final, car la multiplication des nombres réels est commutative.

💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ est toujours vrai.

Chno hiya l-3alaqa bin l-isqat w l-produit scalaire ?

Ila kan $H$ l-isqat l-3amoudi dyal $C$ 3la $(AB)$ , alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$ .

Ila kan $\vec{AB}$ w $\vec{AH}$ f nafs l-ittijah, l-produit scalaire = $AB \times AH$ .
Ila kanou mota3akissin, l-produit scalaire = $-AB \times AH$ .

💡 À retenir : Le produit scalaire est le produit des longueurs (avec signe) après projection.

Ila kan $H$ l-isqat l-3amoudi dyal $C$ 3la $(AB)$, alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$.

Ila kan $\vec{AB}$ w $\vec{AH}$ f nafs l-ittijah, l-produit scalaire = $AB \times AH$.
Ila kanou mota3akissin, l-produit scalaire = $-AB \times AH$.

💡 À retenir : Le produit scalaire est le produit des longueurs (avec signe) après projection.

Est-ce que |vec{u} + vec{v}| = |vec{u}| + |vec{v}| ?

Non, en général c'est faux. La bonne formule est : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

💡 À retenir : La norme d'une somme n'est pas la somme des normes.

Non, en général c'est faux. La bonne formule est : $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$.

💡 À retenir : La norme d'une somme n'est pas la somme des normes.

Kifach n3ref wach l-moutallat qa'im z-zawiya ?

Bach t3ref wach l-moutallat $ABC$ qa'im z-zawiya f $A$ :

Hseb $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .
Ila lqitiha katساوي 0, ra l-moutallat qa'im f $A$ .

💡 À retenir : L'orthogonalité est équivalente à un produit scalaire nul.

Bach t3ref wach l-moutallat $ABC$ qa'im z-zawiya f $A$ :

Hseb $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Ila lqitiha katساوي 0, ra l-moutallat qa'im f $A$.

💡 À retenir : L'orthogonalité est équivalente à un produit scalaire nul.

Est-ce que (vec{u} cdot vec{v}) cdot vec{w} = vec{u} cdot (vec{v} cdot vec{w}) ?

Non, cette expression n'a aucun sens mathématique.

$\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un nombre réel.
On ne peut pas faire le produit scalaire d'un nombre réel avec un vecteur.

💡 À retenir : Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre.

Non, cette expression n'a aucun sens mathématique.

$\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un nombre réel.
On ne peut pas faire le produit scalaire d'un nombre réel avec un vecteur.

💡 À retenir : Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre.

Comment calculer la norme d'un vecteur avec ses coordonnées ?

Si $\vec{u}(x, y)$ , alors la norme est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

💡 À retenir : C'est une application directe du théorème de Pythagore.

Si $\vec{u}(x, y)$, alors la norme est $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

💡 À retenir : C'est une application directe du théorème de Pythagore.

Est-ce que le produit scalaire est distributif ?

Oui, le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition vectorielle : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ .

💡 À retenir : On peut développer comme avec les nombres réels.

Oui, le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition vectorielle : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.

💡 À retenir : On peut développer comme avec les nombres réels.

Est-ce que vec{u}^2 est toujours positif ?

Oui, $\vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ . Comme c'est un carré de norme, c'est toujours positif ou nul.

💡 À retenir : $\vec{u}^2 = 0$ si et seulement si $\vec{u} = \vec{0}$ .

Oui, $\vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$. Comme c'est un carré de norme, c'est toujours positif ou nul.

💡 À retenir : $\vec{u}^2 = 0$ si et seulement si $\vec{u} = \vec{0}$.

Pourquoi on utilise le produit scalaire dans l'espace ?

Le produit scalaire permet de calculer des angles et des distances dans l'espace de la même manière que dans le plan.

💡 À retenir : Les propriétés fondamentales restent les mêmes.

Est-ce que le produit scalaire dépend du repère choisi ?

Non, le produit scalaire est une valeur géométrique indépendante du repère. Le choix du repère facilite seulement le calcul.

💡 À retenir : Le résultat est le même quel que soit le repère orthonormé choisi.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 2)$ , $B(3, 4)$ et $C(-1, 6)$ trois points dans un repère orthonormé.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .
Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?

Exercice 1

Soient $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ et $C(-1, 6)$ trois points dans un repère orthonormé.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=3$ , $AC=4$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$ . Calculer $BC$ .

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=3$, $AC=4$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Calculer $BC$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\|\vec{u}\|=1$ , $\|\vec{v}\|=2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$ . Calculer $\|\vec{u} + \vec{v}\|$ .

Exercice 3

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $|\vec{u}|=1$, $|\vec{v}|=2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$. Calculer $|\vec{u} + \vec{v}|$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Arithmétique dans IN Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R L'ordre dans IR Les polynômes Équations, inéquations et systèmes Calcul vectoriel dans le plan La projection dans le plan La droite dans le plan Trigonométrie 1 (Règles du calcul trigonométrique)Généralités sur les fonctions Trigonométrie 2 (Équations et inéquations trigonométriques)Transformations du plan Géométrie dans l'espace Statistiques