Mathématiques · Tronc Commun — Technologique

Arithmétique dans IN

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Divisibilité : $a$ divise $b$ ( $a|b$ ) s'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $b = a \times k$ .
Division euclidienne : Pour $a, b \in \mathbb{N}$ ( $b \neq 0$ ), il existe un unique couple $(q, r)$ tel que $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ .
Nombres premiers : Un nombre $p > 1$ est premier s'il n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs.
Décomposition : Tout entier $n > 1$ s'écrit de façon unique : $n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times ... \times p_k^{\alpha_k}$ .
PGCD et PPCM : Le PGCD est le produit des facteurs communs avec le plus petit exposant. Le PPCM est le produit des facteurs (communs et non communs) avec le plus grand exposant.

Méthodes à maîtriser

Déterminer tous les diviseurs d'un nombre en utilisant sa décomposition.
Utiliser la division euclidienne pour vérifier la divisibilité.
Appliquer les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9).
Calculer le PGCD et le PPCM par décomposition en facteurs premiers.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Décomposer 60. $60 = 6 \times 10 = (2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3 \times 5$ .
Exemple 2 : PGCD(60, 45). $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $45 = 3^2 \times 5$ . PGCD = $3^1 \times 5^1 = 15$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le reste $r$ doit être strictement inférieur au diviseur $b$ .
Confondre nombre premier et nombre impair.
Ne pas décomposer complètement un nombre lors du calcul du PGCD/PPCM.

L'essentiel du cours

Divisibilité : $a$ divise $b$ ($a|b$) s'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $b = a \times k$.
Division euclidienne : Pour $a, b \in \mathbb{N}$ ($b \neq 0$), il existe un unique couple $(q, r)$ tel que $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$.
Nombres premiers : Un nombre $p > 1$ est premier s'il n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs.
Décomposition : Tout entier $n > 1$ s'écrit de façon unique : $n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times ... \times p_k^{\alpha_k}$.
PGCD et PPCM : Le PGCD est le produit des facteurs communs avec le plus petit exposant. Le PPCM est le produit des facteurs (communs et non communs) avec le plus grand exposant.

Méthodes à maîtriser

Déterminer tous les diviseurs d'un nombre en utilisant sa décomposition.
Utiliser la division euclidienne pour vérifier la divisibilité.
Appliquer les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9).
Calculer le PGCD et le PPCM par décomposition en facteurs premiers.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Décomposer 60. $60 = 6 \times 10 = (2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3 \times 5$.
Exemple 2 : PGCD(60, 45). $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $45 = 3^2 \times 5$. PGCD = $3^1 \times 5^1 = 15$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le reste $r$ doit être strictement inférieur au diviseur $b$.
Confondre nombre premier et nombre impair.
Ne pas décomposer complètement un nombre lors du calcul du PGCD/PPCM.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Arithmétique dans IN

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Quel est le reste de la division euclidienne de 17 par 5 ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n'fer9 bin l'qisma l'euclidienne o l'qisma l'3adiya ?

La division euclidienne se fait uniquement dans $\mathbb{N}$ avec un reste entier $r < b$ . La division classique donne un résultat décimal (avec virgule).

💡 À retenir : En arithmétique, on travaille presque toujours avec le reste entier.

La division euclidienne se fait uniquement dans $\mathbb{N}$ avec un reste entier $r < b$. La division classique donne un résultat décimal (avec virgule).

💡 À retenir : En arithmétique, on travaille presque toujours avec le reste entier.

Est-ce que le produit de deux nombres premiers est toujours premier ?

Non, jamais. Si tu multiplies deux nombres premiers $p_1$ et $p_2$ , le résultat aura au moins 4 diviseurs (1, $p_1$ , $p_2$ , et $p_1 \times p_2$ ).

💡 À retenir : Le produit de deux nombres premiers est un nombre composé.

Non, jamais. Si tu multiplies deux nombres premiers $p_1$ et $p_2$, le résultat aura au moins 4 diviseurs (1, $p_1$, $p_2$, et $p_1 \times p_2$).

💡 À retenir : Le produit de deux nombres premiers est un nombre composé.

Est-ce que 1 est un nombre premier ?

Non, 1 n'est pas un nombre premier. Par définition, un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur.

💡 À retenir : Les nombres premiers commencent à 2.

Kifach n3ref wach l'adad 3ndou qawassim bezzaf wla la ?

Pour savoir combien de diviseurs a un nombre $n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times ...$ , tu ajoutes 1 à chaque exposant et tu les multiplies : $(\alpha_1 + 1) \times (\alpha_2 + 1) \times ...$

💡 À retenir : Le nombre de diviseurs dépend uniquement des exposants de la décomposition.

Pour savoir combien de diviseurs a un nombre $n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times ...$, tu ajoutes 1 à chaque exposant et tu les multiplies : $(\alpha_1 + 1) \times (\alpha_2 + 1) \times ...$

💡 À retenir : Le nombre de diviseurs dépend uniquement des exposants de la décomposition.

Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise les deux nombres en même temps.
Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre qui est un multiple des deux.

💡 À retenir : PGCD utilise les exposants minimaux, PPCM utilise les exposants maximaux.

Wach ay adad pair howa adad awwali ?

Non, pas du tout. Le seul nombre pair qui est premier est 2. Tous les autres nombres pairs (4, 6, 8, 10...) sont divisibles par 2, donc ils ne sont pas premiers.

💡 À retenir : Un nombre pair supérieur à 2 est toujours composé.

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

Il suffit d'additionner tous ses chiffres. Si la somme obtenue est divisible par 3, alors le nombre entier est divisible par 3.

💡 À retenir : La règle est la même pour le chiffre 9 (somme divisible par 9).

Comment décomposer un grand nombre comme 1260 ?

Divise par le plus petit nombre premier possible (2) : $1260 = 2 \times 630$ .
Continue avec 2 : $630 = 2 \times 315$ .
315 n'est pas pair, essaie 3 : $315 = 3 \times 105$ .
$105 = 3 \times 35$ .
$35 = 5 \times 7$ .
Résultat : $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ .

💡 À retenir : Procède toujours par ordre croissant des nombres premiers.

Divise par le plus petit nombre premier possible (2) : $1260 = 2 \times 630$.
Continue avec 2 : $630 = 2 \times 315$.
315 n'est pas pair, essaie 3 : $315 = 3 \times 105$.
$105 = 3 \times 35$.
$35 = 5 \times 7$.
Résultat : $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.

💡 À retenir : Procède toujours par ordre croissant des nombres premiers.

Pourquoi on dit que 0 n'est pas un nombre premier ?

Parce que 0 est divisible par tous les nombres entiers non nuls, ce qui ne respecte pas la définition d'un nombre premier.

💡 À retenir : Les nombres premiers sont strictement supérieurs à 1.

Est-ce que le PGCD de deux nombres peut être 1 ?

Oui, dans ce cas on dit que les deux nombres sont "premiers entre eux". Par exemple, PGCD(8, 9) = 1.

💡 À retenir : "Premiers entre eux" ne signifie pas que les nombres eux-mêmes sont premiers.

Chno hiya l'3ala9a bin PGCD o PPCM ?

Pour deux nombres $a$ et $b$ , on a toujours : $PGCD(a, b) \times PPCM(a, b) = a \times b$ .

💡 À retenir : Cette formule est très utile pour trouver le PPCM rapidement.

Pour deux nombres $a$ et $b$, on a toujours : $PGCD(a, b) \times PPCM(a, b) = a \times b$.

💡 À retenir : Cette formule est très utile pour trouver le PPCM rapidement.

Est-ce qu'un nombre peut être son propre multiple ?

Oui, tout nombre $n$ est un multiple de lui-même car $n = n \times 1$ .

💡 À retenir : Le plus petit multiple d'un nombre est lui-même.

Oui, tout nombre $n$ est un multiple de lui-même car $n = n \times 1$.

💡 À retenir : Le plus petit multiple d'un nombre est lui-même.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Décomposer 180 et 252 en produits de facteurs premiers.
En déduire le PGCD(180, 252) et le PPCM(180, 252).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Effectuer la division euclidienne de 543 par 12.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $n = 2^3 \times 5^2 \times 7$ . Déterminer le nombre de diviseurs de $n$ .

Exercice 3

Soit $n = 2^3 \times 5^2 \times 7$. Déterminer le nombre de diviseurs de $n$.

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