Mathématiques · Tronc Commun — Technologique

Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Les ensembles : On a l'inclusion suivante : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
$\mathbb{N}$ : $\{0, 1, 2, ...\}$ .
$\mathbb{Z}$ : $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ .
$\mathbb{D}$ : Nombres de la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ .
$\mathbb{Q}$ : Nombres de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ .
$\mathbb{R}$ : Tous les nombres rationnels et irrationnels (comme $\sqrt{2}, \pi$ ).
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ .
Intervalles : $[a, b]$ , $]a, b[$ , $[a, +\infty[$ , etc.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'appartenance d'un nombre à un ensemble.
Simplifier des expressions avec des valeurs absolues.
Écrire un nombre décimal sous forme de fraction.
Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\frac{3}{2} = 1,5 \in \mathbb{D}$ .
Exemple 2 : $|-5| = 5$ et $|3| = 3$ .
Exemple 3 : $[1, 3] \cap [2, 4] = [2, 3]$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ : tout nombre décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse (ex: $1/3 \notin \mathbb{D}$ ).
Oublier que $0$ appartient à tous les ensembles.
Mal gérer le signe dans la valeur absolue : $|a-b| = b-a$ si $a < b$ .

L'essentiel du cours

Les ensembles : On a l'inclusion suivante : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$\mathbb{N}$ : ${0, 1, 2, ...}$.
$\mathbb{Z}$ : ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$.
$\mathbb{D}$ : Nombres de la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$.
$\mathbb{Q}$ : Nombres de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$.
$\mathbb{R}$ : Tous les nombres rationnels et irrationnels (comme $\sqrt{2}, \pi$).
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.
Intervalles : $[a, b]$, $]a, b[$, $[a, +\infty[$, etc.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'appartenance d'un nombre à un ensemble.
Simplifier des expressions avec des valeurs absolues.
Écrire un nombre décimal sous forme de fraction.
Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\frac{3}{2} = 1,5 \in \mathbb{D}$.
Exemple 2 : $|-5| = 5$ et $|3| = 3$.
Exemple 3 : $[1, 3] \cap [2, 4] = [2, 3]$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ : tout nombre décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse (ex: $1/3 \notin \mathbb{D}$).
Oublier que $0$ appartient à tous les ensembles.
Mal gérer le signe dans la valeur absolue : $|a-b| = b-a$ si $a < b$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R

1/4

Quel est le plus petit ensemble contenant $\frac{1}{3}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que sqrt{4} est un nombre rationnel ?

Oui, car $\sqrt{4} = 2$ . Or, $2$ peut s'écrire sous la forme $\frac{2}{1}$ , ce qui correspond à la définition d'un nombre rationnel ( $a/b$ avec $b \neq 0$ ).

💡 À retenir : Toujours simplifier une racine carrée avant de conclure sur l'ensemble.

Oui, car $\sqrt{4} = 2$. Or, $2$ peut s'écrire sous la forme $\frac{2}{1}$, ce qui correspond à la définition d'un nombre rationnel ($a/b$ avec $b \neq 0$).

💡 À retenir : Toujours simplifier une racine carrée avant de conclure sur l'ensemble.

Kifach n3ref wach l'3adad 3achri (décimal) wla la ?

Ktb l'3adad 3la chkl fraction مختزل (irréductible).
Chouf l'maqam (le dénominateur).
Ila kan l'maqam fih ghir l'3awamil 2 aw 5 (ya3ni $2^n \times 5^m$ ), rah 3achri.

💡 À retenir : Si le dénominateur possède un facteur premier autre que 2 ou 5, le nombre n'est pas décimal.

Ktb l'3adad 3la chkl fraction مختزل (irréductible).
Chouf l'maqam (le dénominateur).
Ila kan l'maqam fih ghir l'3awamil 2 aw 5 (ya3ni $2^n \times 5^m$), rah 3achri.

💡 À retenir : Si le dénominateur possède un facteur premier autre que 2 ou 5, le nombre n'est pas décimal.

Quelle est la différence entre mathbb{D} et mathbb{Q} ?

$\mathbb{D}$ (décimaux) sont les nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
$\mathbb{Q}$ (rationnels) incluent les décimaux, mais aussi les nombres avec une période infinie après la virgule (ex: $1/3 = 0,333...$ ).

💡 À retenir : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ , mais $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$ .

$\mathbb{D}$ (décimaux) sont les nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
$\mathbb{Q}$ (rationnels) incluent les décimaux, mais aussi les nombres avec une période infinie après la virgule (ex: $1/3 = 0,333...$).

💡 À retenir : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$, mais $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$.

Chno hiya l'far9 bin l'intersection (cap) o l'union (cup) ?

Intersection ( $\cap$ ) : kankhdo ghir l'blassa li mchtarka bin l'majmo3at b jouj.
Union ( $\cup$ ) : kankhdo kolchi, l'majmo3a loula o taniya f d9i9a wehda.

💡 À retenir : L'intersection est toujours plus petite ou égale à l'union.

Intersection ($\cap$) : kankhdo ghir l'blassa li mchtarka bin l'majmo3at b jouj.
Union ($\cup$) : kankhdo kolchi, l'majmo3a loula o taniya f d9i9a wehda.

💡 À retenir : L'intersection est toujours plus petite ou égale à l'union.

Est-ce que pi appartient à mathbb{Q} ?

Non, $\pi$ est un nombre irrationnel. Il ne peut pas s'écrire sous la forme $a/b$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$ .

💡 À retenir : Les nombres irrationnels sont ceux qui ne sont pas dans $\mathbb{Q}$ .

Non, $\pi$ est un nombre irrationnel. Il ne peut pas s'écrire sous la forme $a/b$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$.

💡 À retenir : Les nombres irrationnels sont ceux qui ne sont pas dans $\mathbb{Q}$.

Kifach n7seb |x-3| ila kan x < 3 ?

Ila kan $x < 3$ , ya3ni $x-3 < 0$ .
L'9a3ida katgoul ila kan l'dakhil ssalib, kankhdo l'mou9abil dyalo.
Donc $|x-3| = -(x-3) = -x + 3$ .

💡 À retenir : La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.

Ila kan $x < 3$, ya3ni $x-3 < 0$.
L'9a3ida katgoul ila kan l'dakhil ssalib, kankhdo l'mou9abil dyalo.
Donc $|x-3| = -(x-3) = -x + 3$.

💡 À retenir : La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.

Est-ce que tout nombre réel est un nombre rationnel ?

Non, il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, on les appelle les irrationnels (ex: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$ ).

💡 À retenir : $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{irrationnels}\}$ .

Non, il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, on les appelle les irrationnels (ex: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$).

💡 À retenir : $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup {\text{irrationnels}}$.

Comment simplifier |x-1| + |x-2| pour 1 < x < 2 ?

Puisque $x > 1$ , alors $x-1 > 0$ , donc $|x-1| = x-1$ .
Puisque $x < 2$ , alors $x-2 < 0$ , donc $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ .
Somme : $(x-1) + (-x+2) = 1$ .

💡 À retenir : Toujours étudier le signe de l'intérieur de la valeur absolue.

Puisque $x > 1$, alors $x-1 > 0$, donc $|x-1| = x-1$.
Puisque $x < 2$, alors $x-2 < 0$, donc $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
Somme : $(x-1) + (-x+2) = 1$.

💡 À retenir : Toujours étudier le signe de l'intérieur de la valeur absolue.

Est-ce que mathbb{N} subset mathbb{D} ?

Oui, car tout entier naturel $n$ peut s'écrire $n/1$ , et comme $1 = 10^0$ , c'est un nombre décimal.

💡 À retenir : L'inclusion est transitive : si $A \subset B$ et $B \subset C$ , alors $A \subset C$ .

Oui, car tout entier naturel $n$ peut s'écrire $n/1$, et comme $1 = 10^0$, c'est un nombre décimal.

💡 À retenir : L'inclusion est transitive : si $A \subset B$ et $B \subset C$, alors $A \subset C$.

Wach l'majmo3a mathbb{Z} m7touya f mathbb{R} ?

Ah, $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ . Kolchi l'a3dad ssa7i7a hiya a3dad 7a9i9iya.

💡 À retenir : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

Ah, $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$. Kolchi l'a3dad ssa7i7a hiya a3dad 7a9i9iya.

💡 À retenir : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Peut-on dire que 0,5 in mathbb{N} ?

Non, $0,5$ n'est pas un entier. C'est un nombre décimal ( $\mathbb{D}$ ) et rationnel ( $\mathbb{Q}$ ).

💡 À retenir : Les entiers n'ont pas de partie décimale non nulle.

Non, $0,5$ n'est pas un entier. C'est un nombre décimal ($\mathbb{D}$) et rationnel ($\mathbb{Q}$).

💡 À retenir : Les entiers n'ont pas de partie décimale non nulle.

Comment représenter l'intervalle ] - infty, 2 ] sur une droite ?

Trace une droite graduée.
Place le point 2.
Hachure toute la partie à gauche de 2.
Utilise un crochet fermé vers la droite en 2.

💡 À retenir : Le crochet est fermé si le nombre est inclus, ouvert sinon.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer l'appartenance des nombres suivants aux ensembles $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ : $A = -5$ ; $B = \frac{12}{3}$ ; $C = \frac{1}{4}$ ; $D = \sqrt{2}$ .
Simplifier l'expression $E = |x-2| + |x-5|$ pour $2 \leq x \leq 5$ .

Exercice 1

Déterminer l'appartenance des nombres suivants aux ensembles $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ : $A = -5$ ; $B = \frac{12}{3}$ ; $C = \frac{1}{4}$ ; $D = \sqrt{2}$.
Simplifier l'expression $E = |x-2| + |x-5|$ pour $2 \leq x \leq 5$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient les intervalles $I = [-3, 2]$ et $J = [0, 5]$ .