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Transformations du plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Translation de vecteur $\vec{u}$ : L'image d'un point $M$ est $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$ .
Symétrie axiale d'axe $(\Delta)$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $(\Delta)$ est la médiatrice de $[MM']$ .
Symétrie centrale de centre $I$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $I$ est le milieu de $[MM']$ .
Homothétie de centre $\Omega$ et rapport $k$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$ .
Rotation de centre $\Omega$ et angle $\alpha$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $\Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha [2\pi]$ .

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un segment ou d'un triangle par une transformation.
Utiliser la relation vectorielle pour prouver qu'un point est l'image d'un autre.
Utiliser les propriétés de conservation (les distances, les angles, le parallélisme).

Exemples corrigés

Translation : Si $t_{\vec{u}}(A) = B$ , alors $\vec{AB} = \vec{u}$ .
Homothétie : Si $h_{(\Omega, 2)}(A) = A'$ , alors $\vec{\Omega A'} = 2\vec{\Omega A}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le rapport $k$ d'une homothétie (si $k < 0$ , l'image est de l'autre côté du centre).
Oublier le sens de la rotation (positif = sens inverse des aiguilles d'une montre).
Ne pas vérifier si le point est invariant (ex: le centre d'une rotation est invariant).

L'essentiel du cours

Translation de vecteur $\vec{u}$ : L'image d'un point $M$ est $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$.
Symétrie axiale d'axe $(\Delta)$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $(\Delta)$ est la médiatrice de $[MM']$.
Symétrie centrale de centre $I$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $I$ est le milieu de $[MM']$.
Homothétie de centre $\Omega$ et rapport $k$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$.
Rotation de centre $\Omega$ et angle $\alpha$ : L'image de $M$ est $M'$ tel que $\Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha [2\pi]$.

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un segment ou d'un triangle par une transformation.
Utiliser la relation vectorielle pour prouver qu'un point est l'image d'un autre.
Utiliser les propriétés de conservation (les distances, les angles, le parallélisme).

Exemples corrigés

Translation : Si $t_{\vec{u}}(A) = B$, alors $\vec{AB} = \vec{u}$.
Homothétie : Si $h_{(\Omega, 2)}(A) = A'$, alors $\vec{\Omega A'} = 2\vec{\Omega A}$.

Erreurs fréquentes

Confondre le rapport $k$ d'une homothétie (si $k < 0$, l'image est de l'autre côté du centre).
Oublier le sens de la rotation (positif = sens inverse des aiguilles d'une montre).
Ne pas vérifier si le point est invariant (ex: le centre d'une rotation est invariant).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Transformations du plan

1/4

Quelle transformation conserve les distances ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'image dyal point b homothétie s7i7a?

Vérifie la relation vectorielle : $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$ .
Si $k > 0$ , $M'$ est sur la demi-droite $[\Omega M)$ .
Si $k < 0$ , $M'$ est sur la demi-droite opposée à $[\Omega M)$ .

💡 À retenir : La position de $M'$ dépend toujours du signe et de la valeur absolue de $k$ .

Vérifie la relation vectorielle : $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$.
Si $k > 0$, $M'$ est sur la demi-droite $[\Omega M)$.
Si $k < 0$, $M'$ est sur la demi-droite opposée à $[\Omega M)$.

💡 À retenir : La position de $M'$ dépend toujours du signe et de la valeur absolue de $k$.

Chno lfarq bin symétrie centrale o homothétie?

La symétrie centrale est un cas particulier d'homothétie.
La symétrie centrale a un rapport $k = -1$ .
L'homothétie peut avoir n'importe quel rapport $k \in \mathbb{R}^*$ .

💡 À retenir : Toute symétrie centrale est une homothétie de rapport $-1$ .

La symétrie centrale est un cas particulier d'homothétie.
La symétrie centrale a un rapport $k = -1$.
L'homothétie peut avoir n'importe quel rapport $k \in \mathbb{R}^*$.

💡 À retenir : Toute symétrie centrale est une homothétie de rapport $-1$.

Kifach nrssem l'image dyal wahed l qit3a b rotation?

Trace le cercle de centre $\Omega$ passant par l'extrémité $A$ .
Utilise le rapporteur pour mesurer l'angle $\alpha$ à partir de $[\Omega A)$ .
Place $A'$ sur le cercle à la distance $\Omega A$ .
Répète pour l'autre extrémité $B$ et relie $A'B'$ .

💡 À retenir : La rotation conserve les longueurs, donc $AB = A'B'$ .

Trace le cercle de centre $\Omega$ passant par l'extrémité $A$.
Utilise le rapporteur pour mesurer l'angle $\alpha$ à partir de $[\Omega A)$.
Place $A'$ sur le cercle à la distance $\Omega A$.
Répète pour l'autre extrémité $B$ et relie $A'B'$.

💡 À retenir : La rotation conserve les longueurs, donc $AB = A'B'$.

Est-ce que la translation conserve les aires ?

Oui, toutes les transformations étudiées (translation, symétries, rotation) sont des isométries, elles conservent les distances et donc les aires.

💡 À retenir : Seule l'homothétie (si $k \neq \pm 1$ ) change l'aire des figures.

Oui, toutes les transformations étudiées (translation, symétries, rotation) sont des isométries, elles conservent les distances et donc les aires.

💡 À retenir : Seule l'homothétie (si $k \neq \pm 1$) change l'aire des figures.

Comment démontrer que M' est l'image de M par une translation ?

Il suffit de montrer que le vecteur $\vec{MM'}$ est égal au vecteur de translation $\vec{u}$ donné dans l'énoncé.

💡 À retenir : $\vec{MM'} = \vec{u} \iff t_{\vec{u}}(M) = M'$ .

Il suffit de montrer que le vecteur $\vec{MM'}$ est égal au vecteur de translation $\vec{u}$ donné dans l'énoncé.

💡 À retenir : $\vec{MM'} = \vec{u} \iff t_{\vec{u}}(M) = M'$.

Le rapport d'une homothétie peut-il être nul ?

Non, par définition, le rapport $k$ d'une homothétie doit être non nul ( $k \neq 0$ ), sinon tous les points seraient envoyés sur le centre $\Omega$ .

💡 À retenir : Une homothétie de rapport 0 n'est pas une transformation géométrique valide.

Non, par définition, le rapport $k$ d'une homothétie doit être non nul ($k \neq 0$), sinon tous les points seraient envoyés sur le centre $\Omega$.

💡 À retenir : Une homothétie de rapport 0 n'est pas une transformation géométrique valide.

Est-ce que l'ordre des points est conservé par une homothétie ?

Oui, l'homothétie est une transformation affine qui conserve l'alignement et l'ordre des points sur une droite.

💡 À retenir : Les droites restent parallèles à leurs images.

Comment trouver le centre d'une rotation si on connaît deux points et leurs images ?

Trace la médiatrice du segment $[AA']$ .
Trace la médiatrice du segment $[BB']$ .
Le point d'intersection de ces deux médiatrices est le centre $\Omega$ .

💡 À retenir : Le centre est équidistant des points et de leurs images.

Trace la médiatrice du segment $[AA']$.
Trace la médiatrice du segment $[BB']$.
Le point d'intersection de ces deux médiatrices est le centre $\Omega$.

💡 À retenir : Le centre est équidistant des points et de leurs images.

Est-ce que la symétrie axiale change l'orientation ?

Oui, la symétrie axiale est une transformation indirecte, elle inverse l'orientation des figures (comme un miroir).

💡 À retenir : Contrairement à la translation ou la rotation, elle ne conserve pas l'orientation.

Si k=1, quelle est la nature de l'homothétie ?

Si $k=1$ , alors $\vec{\Omega M'} = \vec{\Omega M}$ , donc $M' = M$ . C'est l'identité du plan.

💡 À retenir : L'identité est une homothétie de rapport 1.

Si $k=1$, alors $\vec{\Omega M'} = \vec{\Omega M}$, donc $M' = M$. C'est l'identité du plan.

💡 À retenir : L'identité est une homothétie de rapport 1.

Est-ce que la rotation conserve le parallélisme ?

Oui, la rotation est une isométrie, elle conserve toutes les propriétés géométriques : distances, angles, parallélisme et aires.

💡 À retenir : Les isométries sont des transformations "rigides".

Peut-on faire une homothétie avec un rapport négatif ?

Oui, si $k < 0$ , le point $M'$ se trouve de l'autre côté du centre $\Omega$ par rapport à $M$ .

💡 À retenir : Le centre $\Omega$ est toujours situé entre $M$ et $M'$ si $k < 0$ .

Oui, si $k < 0$, le point $M'$ se trouve de l'autre côté du centre $\Omega$ par rapport à $M$.

💡 À retenir : Le centre $\Omega$ est toujours situé entre $M$ et $M'$ si $k < 0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle. Construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$ .

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle. Construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $I$ un point du plan. Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ et de rapport $k = -2$ . Soit $M$ un point tel que $\vec{IM} = 3\vec{u}$ . Exprimer $\vec{IM'}$ en fonction de $\vec{u}$ où $M' = h(M)$ .

Exercice 2

Soit $I$ un point du plan. Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ et de rapport $k = -2$. Soit $M$ un point tel que $\vec{IM} = 3\vec{u}$. Exprimer $\vec{IM'}$ en fonction de $\vec{u}$ où $M' = h(M)$.

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Exercice 3

Soit $(\Delta)$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à $(\Delta)$ . Soit $s$ la symétrie axiale d'axe $(\Delta)$ . Démontrer que $s(A) = A'$ implique que $(\Delta)$ est la médiatrice de $[AA']$ .

Exercice 3

Soit $(\Delta)$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à $(\Delta)$. Soit $s$ la symétrie axiale d'axe $(\Delta)$. Démontrer que $s(A) = A'$ implique que $(\Delta)$ est la médiatrice de $[AA']$.

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