Trigonométrie 2 (Équations et inéquations trigonométriques)
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Équations de base :
$\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
$\sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
$\tan(x) = \tan(a) \iff x = a + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), avec $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
Inéquations de base :
Pour $\cos(x) \geq a$ ou $\sin(x) \leq a$, on utilise le cercle trigonométrique pour identifier l'arc correspondant à l'inégalité.
Méthodes à maîtriser
Résolution dans un intervalle : Trouver les solutions générales, puis encadrer $x$ par les bornes de l'intervalle pour trouver les valeurs de $k$.
Utilisation du cercle : Toujours dessiner le cercle pour visualiser les solutions et éviter les erreurs de signe.
Transformation : Utiliser les formules de Trigonométrie 1 si nécessaire pour se ramener à une équation de base.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$ dans $\mathbb{R}$.
On sait que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Donc $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.
Exemple 2 : Résoudre $\sin(x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $[0, 2\pi]$.
On cherche les points sur le cercle où l'ordonnée est $\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$. C'est l'arc entre $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$. Solution : $S = [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.
Erreurs fréquentes
Oublier le $+ 2k\pi$ dans les solutions générales.
Confondre $\sin(\pi - a)$ avec $\sin(a)$.
Ne pas vérifier les conditions d'existence pour $\tan(x)$.
Se tromper de sens sur le cercle trigonométrique (sens direct = anti-horaire).
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🎯 Trigonométrie 2 (Équations et inéquations trigonométriques)
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Quelle est la solution de $\cos(x) = 0$ dans $[0, 2\pi]$ ?
❓ Questions fréquentes
Est-ce que je dois toujours écrire k in mathbb{Z} ?
Oui, absolument. En mathématiques, $k$ représente un nombre entier relatif quelconque. Si tu ne précises pas $k \in \mathbb{Z}$, ton ensemble de solutions est incomplet car tu ne montres pas que les solutions se répètent à l'infini.
💡 À retenir : $k \in \mathbb{Z}$ est obligatoire pour valider l'ensemble des solutions.
Kifach n7seb lholoul ila kan lmajal sghir bhal [-pi, pi] ?
Tu trouves d'abord la solution générale (ex: $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$).
Tu isoles $k$ en soustrayant $\frac{\pi}{3}$ puis en divisant par $2\pi$.
Tu trouves les valeurs entières de $k$ qui marchent.
💡 À retenir : L'encadrement est la méthode la plus sûre pour ne rater aucune solution.
Est-ce que cos(x) = 2 a des solutions ?
Non, car pour tout réel $x$, on a $-1 \leq \cos(x) \leq 1$. L'équation est impossible dans $\mathbb{R}$.
💡 À retenir : Vérifie toujours si la valeur est comprise entre -1 et 1 avant de chercher.
Chno hiya lfar9 bin cos(x) = cos(a) et cos(x) = sin(a) ?
Si tu as $\cos(x) = \sin(a)$, tu dois d'abord transformer le sinus en cosinus en utilisant la formule $\sin(a) = \cos(\frac{\pi}{2} - a)$. Ensuite, tu appliques la règle classique.
💡 À retenir : Ramène toujours l'équation à la forme $\cos(x) = \cos(A)$ ou $\sin(x) = \sin(B)$.
Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver les angles ?
Oui, pour vérifier, mais à l'examen, tu dois connaître les valeurs remarquables ($\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$). Si l'angle n'est pas remarquable, on utilise souvent la notation $\arccos$ ou $\arcsin$.
💡 À retenir : Apprends par cœur le tableau des valeurs remarquables.
Kifach n3ref wach lhal mojab wla salib f ddayra ?
Le sens direct (positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Si tu pars de 0 vers le haut, tu es dans le positif. Si tu descends vers le bas, tu es dans le négatif.
💡 À retenir : Le sens trigonométrique est toujours anti-horaire.
Pourquoi on ajoute kpi pour la tangente et 2kpi pour le sinus ?
Parce que la période de la fonction sinus est $2\pi$ (un tour complet), alors que la période de la fonction tangente est $\pi$ (un demi-tour suffit pour retrouver la même valeur).
💡 À retenir : La période de $\tan$ est plus courte que celle de $\sin$ et $\cos$.
Comment résoudre cos^2(x) = frac{1}{4} ?
Cela revient à $\cos(x) = \frac{1}{2}$ ou $\cos(x) = -\frac{1}{2}$. Tu dois résoudre les deux équations séparément et réunir les solutions.
💡 À retenir : Ne néglige pas le cas négatif lors d'une racine carrée.
Est-ce que sin(x) = sin(y) implique x = y ?
Pas forcément. Cela implique $x = y + 2k\pi$ ou $x = \pi - y + 2k\pi$. C'est une erreur classique de croire que $x=y$ suffit.
💡 À retenir : Il y a toujours deux familles de solutions pour le sinus.
Est-ce que l'ordre des solutions dans l'ensemble S est important ?
Non, mais par convention, on les écrit de la plus petite à la plus grande dans l'intervalle donné pour plus de clarté.
💡 À retenir : La clarté aide le correcteur à mieux noter ta copie.
Chno ndir ila tlefli l'encadrement dyal k ?
Utilise le cercle trigonométrique ! Place tes points sur le cercle, puis parcours l'intervalle demandé (ex: de 0 à $2\pi$) et note les points que tu rencontres. C'est visuel et très efficace.
💡 À retenir : Le dessin vaut mieux qu'un long calcul.
Est-ce que tan(x) est définie pour tout x ?
Non, $\tan(x)$ n'est pas définie quand $\cos(x) = 0$, c'est-à-dire pour $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Il faut toujours exclure ces valeurs.
💡 À retenir : $\tan(x)$ a des valeurs interdites.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Pour cos(x)≥a ou sin(x)≤a, on utilise le cercle trigonométrique pour identifier l'arc correspondant à l'inégalité.
Méthodes à maîtriser
Résolution dans un intervalle : Trouver les solutions générales, puis encadrer x par les bornes de l'intervalle pour trouver les valeurs de k.
Utilisation du cercle : Toujours dessiner le cercle pour visualiser les solutions et éviter les erreurs de signe.
Transformation : Utiliser les formules de Trigonométrie 1 si nécessaire pour se ramener à une équation de base.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Résoudre cos(x)=21 dans R.
On sait que cos(3π)=21. Donc x=3π+2kπ ou x=−3π+2kπ.
Exemple 2 : Résoudre sin(x)≥22 dans [0,2π].
On cherche les points sur le cercle où l'ordonnée est ≥22. C'est l'arc entre 4π et 43π. Solution : S=[4π,43π].
Erreurs fréquentes
Oublier le +2kπ dans les solutions générales.
Confondre sin(π−a) avec sin(a).
Ne pas vérifier les conditions d'existence pour tan(x).
Se tromper de sens sur le cercle trigonométrique (sens direct = anti-horaire).
Quelle est la solution de cos(x)=0 dans [0,2π] ?
{0,π}
{2π,23π}
{2π}
{π,2π}
Oui, absolument. En mathématiques, k représente un nombre entier relatif quelconque. Si tu ne précises pas k∈Z, ton ensemble de solutions est incomplet car tu ne montres pas que les solutions se répètent à l'infini.
💡 À retenir : k∈Z est obligatoire pour valider l'ensemble des solutions.
Tu trouves d'abord la solution générale (ex: x=3π+2kπ).
Tu écris l'encadrement : −π≤3π+2kπ≤π.
Tu isoles k en soustrayant 3π puis en divisant par 2π.
Tu trouves les valeurs entières de k qui marchent.
💡 À retenir : L'encadrement est la méthode la plus sûre pour ne rater aucune solution.
Non, car pour tout réel x, on a −1≤cos(x)≤1. L'équation est impossible dans R.
💡 À retenir : Vérifie toujours si la valeur est comprise entre -1 et 1 avant de chercher.
Si tu as cos(x)=sin(a), tu dois d'abord transformer le sinus en cosinus en utilisant la formule sin(a)=cos(2π−a). Ensuite, tu appliques la règle classique.
💡 À retenir : Ramène toujours l'équation à la forme cos(x)=cos(A) ou sin(x)=sin(B).
Oui, pour vérifier, mais à l'examen, tu dois connaître les valeurs remarquables (6π,4π,3π,2π). Si l'angle n'est pas remarquable, on utilise souvent la notation arccos ou arcsin.
💡 À retenir : Apprends par cœur le tableau des valeurs remarquables.
Parce que la période de la fonction sinus est 2π (un tour complet), alors que la période de la fonction tangente est π (un demi-tour suffit pour retrouver la même valeur).
💡 À retenir : La période de tan est plus courte que celle de sin et cos.
Cela revient à cos(x)=21 ou cos(x)=−21. Tu dois résoudre les deux équations séparément et réunir les solutions.
💡 À retenir : Ne néglige pas le cas négatif lors d'une racine carrée.
Pas forcément. Cela implique x=y+2kπ ou x=π−y+2kπ. C'est une erreur classique de croire que x=y suffit.
💡 À retenir : Il y a toujours deux familles de solutions pour le sinus.
Utilise le cercle trigonométrique ! Place tes points sur le cercle, puis parcours l'intervalle demandé (ex: de 0 à 2π) et note les points que tu rencontres. C'est visuel et très efficace.
💡 À retenir : Le dessin vaut mieux qu'un long calcul.
Non, tan(x) n'est pas définie quand cos(x)=0, c'est-à-dire pour x=2π+kπ. Il faut toujours exclure ces valeurs.
💡 À retenir : tan(x) a des valeurs interdites.
Exercice 1
Résoudre dans R l'équation : sin(x)=−23.
Exercice 2
Résoudre dans [0,2π] l'inéquation : cos(x)≤21.
Exercice 3
Résoudre dans [−π,π] l'équation : 2sin2(x)−3sin(x)+1=0.