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Géométrie dans l'espace

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Détermination d'un plan : Un plan est défini par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires, ou par trois points non alignés.
Représentation paramétrique d'une droite : $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$
Équation cartésienne d'un plan : Tout plan $(P)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ . Le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est normal au plan.
Orthogonalité : Une droite $(D)$ est perpendiculaire à un plan $(P)$ si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.

Méthodes à maîtriser

Déterminer une représentation paramétrique d'une droite.
Vérifier si un point appartient à une droite ou à un plan.
Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan.
Calculer la distance d'un point à un plan : $d(A, P) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(D)$ passant par $A(1, 0, -1)$ et $\vec{u}(2, -1, 3)$ . Représentation : $x=1+2t, y=-t, z=-1+3t$ .
Exemple 2 : Soit $(P) : x + 2y - z + 3 = 0$ . Le vecteur normal est $\vec{n}(1, 2, -1)$ .

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier le paramètre $t \in \mathbb{R}$ dans la représentation paramétrique.
Se tromper dans le signe de la constante $d$ lors du calcul de la distance.

L'essentiel du cours

Détermination d'un plan : Un plan est défini par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires, ou par trois points non alignés.
Représentation paramétrique d'une droite : $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ : $$\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$$
Équation cartésienne d'un plan : Tout plan $(P)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est normal au plan.
Orthogonalité : Une droite $(D)$ est perpendiculaire à un plan $(P)$ si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.

Méthodes à maîtriser

Déterminer une représentation paramétrique d'une droite.
Vérifier si un point appartient à une droite ou à un plan.
Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan.
Calculer la distance d'un point à un plan : $d(A, P) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(D)$ passant par $A(1, 0, -1)$ et $\vec{u}(2, -1, 3)$. Représentation : $x=1+2t, y=-t, z=-1+3t$.
Exemple 2 : Soit $(P) : x + 2y - z + 3 = 0$. Le vecteur normal est $\vec{n}(1, 2, -1)$.

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier le paramètre $t \in \mathbb{R}$ dans la représentation paramétrique.
Se tromper dans le signe de la constante $d$ lors du calcul de la distance.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Géométrie dans l'espace

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Le vecteur normal au plan $x - 3z + 5 = 0$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

Identifie les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des deux droites.
Vérifie s'ils sont colinéaires (c'est-à-dire $\vec{u} = k\vec{v}$ ).
Si oui, les droites sont parallèles. Si elles ont un point commun, elles sont confondues.

💡 À retenir : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Identifie les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des deux droites.
Vérifie s'ils sont colinéaires (c'est-à-dire $\vec{u} = k\vec{v}$).
Si oui, les droites sont parallèles. Si elles ont un point commun, elles sont confondues.

💡 À retenir : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Kifach n7seb l'intersection dyal mostaqim o mostawa ?

Remplace les expressions de $x, y, z$ de la droite (en fonction de $t$ ) dans l'équation du plan.
Résous l'équation obtenue pour trouver la valeur de $t$ .
Remplace cette valeur de $t$ dans les équations de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : L'intersection est un système d'équations à résoudre par substitution.

Remplace les expressions de $x, y, z$ de la droite (en fonction de $t$) dans l'équation du plan.
Résous l'équation obtenue pour trouver la valeur de $t$.
Remplace cette valeur de $t$ dans les équations de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : L'intersection est un système d'équations à résoudre par substitution.

Est-ce qu'un plan peut avoir plusieurs équations cartésiennes ?

Oui. Si $ax + by + cz + d = 0$ est une équation d'un plan, alors $k(ax + by + cz + d) = 0$ (pour tout $k \neq 0$ ) est une équation du même plan.

💡 À retenir : Les coefficients $(a, b, c)$ sont proportionnels au vecteur normal.

Oui. Si $ax + by + cz + d = 0$ est une équation d'un plan, alors $k(ax + by + cz + d) = 0$ (pour tout $k \neq 0$) est une équation du même plan.

💡 À retenir : Les coefficients $(a, b, c)$ sont proportionnels au vecteur normal.

Chno hiya l'equation dyal mostawa ila 3twna 3 dyal noqat ?

Soient $A, B, C$ les points. Calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Cherche un vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$ .
Utilise le point $A$ pour trouver $d$ dans $ax + by + cz + d = 0$ .

💡 À retenir : Le vecteur normal est orthogonal aux deux vecteurs directeurs du plan.

Soient $A, B, C$ les points. Calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Cherche un vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$.
Utilise le point $A$ pour trouver $d$ dans $ax + by + cz + d = 0$.

💡 À retenir : Le vecteur normal est orthogonal aux deux vecteurs directeurs du plan.

Comment montrer qu'une droite est incluse dans un plan ?

Montre que deux points distincts de la droite appartiennent au plan.
Ou montre qu'un point de la droite est dans le plan et que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan.

💡 À retenir : Un point + orthogonalité des vecteurs = inclusion.

Kifach n3ref wach mostaqim 3amoudi 3la mostawa ?

Il suffit de vérifier si le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ est colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}$ .

💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ signifie droite perpendiculaire au plan.

Il suffit de vérifier si le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ est colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}$.

💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ signifie droite perpendiculaire au plan.

Est-ce que le produit scalaire est utilisé dans l'espace ?

Oui, exactement comme dans le plan. Pour deux vecteurs $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ , $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ .

💡 À retenir : Le produit scalaire permet de tester l'orthogonalité dans l'espace.

Oui, exactement comme dans le plan. Pour deux vecteurs $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.

💡 À retenir : Le produit scalaire permet de tester l'orthogonalité dans l'espace.

Peut-on avoir une équation de droite sans paramètre t ?

Dans l'espace, une droite est définie par un système de deux équations cartésiennes (intersection de deux plans), mais la représentation paramétrique est la plus utilisée.

💡 À retenir : La représentation paramétrique est plus simple pour manipuler les points.

Comment calculer la distance d'un point à une droite ?

Il faut projeter le point sur la droite, puis calculer la distance entre le point et son projeté (à vérifier par le professeur : méthode complexe au TC).

💡 À retenir : Utilise le projeté orthogonal.

Est-ce que tous les vecteurs sont des vecteurs normaux ?

Non, un vecteur normal doit être perpendiculaire au plan. Tout vecteur colinéaire à ce vecteur normal est aussi un vecteur normal.

💡 À retenir : Le vecteur normal définit l'orientation du plan.

Chno l'farq bin mostaqim o mostawa ?

Le plan est une surface (2D dans l'espace), la droite est une ligne (1D dans l'espace).

💡 À retenir : Le plan a une équation, la droite a une représentation paramétrique.

Pourquoi on utilise t dans la représentation paramétrique ?

$t$ est un paramètre qui permet de "parcourir" tous les points de la droite en faisant varier sa valeur dans $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Chaque valeur de $t$ donne un point unique de la droite.

$t$ est un paramètre qui permet de "parcourir" tous les points de la droite en faisant varier sa valeur dans $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : Chaque valeur de $t$ donne un point unique de la droite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 0, 2)$ et $B(2, 1, 0)$ . Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ .

Exercice 1

Soient $A(1, 0, 2)$ et $B(2, 1, 0)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(P) : 2x - y + z - 1 = 0$ et $A(1, 1, 1)$ . Calculer la distance $d(A, P)$ .

Exercice 2

Soit $(P) : 2x - y + z - 1 = 0$ et $A(1, 1, 1)$. Calculer la distance $d(A, P)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(D) : \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2-t \\ z = 3t \end{cases}$ et $(P) : x + y + z - 1 = 0$ . Déterminer l'intersection.

Exercice 3

Soit $(D) : \begin{cases} x = 1+t \ y = 2-t \ z = 3t \end{cases}$ et $(P) : x + y + z - 1 = 0$. Déterminer l'intersection.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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