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La droite dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équation cartésienne : Toute droite $(D)$ dans le plan est définie par une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$ .
Vecteur directeur : Si $(D): ax + by + c = 0$ , alors $\vec{u}(-b, a)$ est un vecteur directeur de $(D)$ .
Vecteur normal : Le vecteur $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à $(D)$ .
Équation réduite : Si $b \neq 0$ , la droite a pour équation $y = mx + p$ , où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Parallélisme et orthogonalité :
- $(D) \parallel (D')$ si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- $(D) \perp (D')$ si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
Distance d'un point à une droite : La distance de $A(x_A, y_A)$ à $(D): ax + by + c = 0$ est $d(A, (D)) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer une équation cartésienne : Connaissant un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(u_1, u_2)$ , on utilise la condition de colinéarité : $\det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0$ .
Passer de cartésienne à réduite : Isoler $y$ dans l'équation $ax + by + c = 0$ .
Vérifier l'appartenance : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation ; si on obtient $0=0$ , le point appartient à la droite.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A(1, 2)$ et $\vec{u}(-1, 3)$ . L'équation est $3(x-1) - (-1)(y-2) = 0 \iff 3x + y - 5 = 0$ .
Exemple 2 : Distance de $A(0, 1)$ à $(D): 3x - 4y + 2 = 0$ . $d = \frac{|3(0) - 4(1) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-2|}{5} = 0,4$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b) \neq (0, 0)$ pour l'équation cartésienne.
Confondre vecteur directeur $\vec{u}(-b, a)$ et vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ .
Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance.

L'essentiel du cours

Équation cartésienne : Toute droite $(D)$ dans le plan est définie par une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$.
Vecteur directeur : Si $(D): ax + by + c = 0$, alors $\vec{u}(-b, a)$ est un vecteur directeur de $(D)$.
Vecteur normal : Le vecteur $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à $(D)$.
Équation réduite : Si $b \neq 0$, la droite a pour équation $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
Parallélisme et orthogonalité :
- $(D) \parallel (D')$ si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- $(D) \perp (D')$ si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
Distance d'un point à une droite : La distance de $A(x_A, y_A)$ à $(D): ax + by + c = 0$ est $d(A, (D)) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer une équation cartésienne : Connaissant un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(u_1, u_2)$, on utilise la condition de colinéarité : $\det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0$.
Passer de cartésienne à réduite : Isoler $y$ dans l'équation $ax + by + c = 0$.
Vérifier l'appartenance : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation ; si on obtient $0=0$, le point appartient à la droite.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A(1, 2)$ et $\vec{u}(-1, 3)$. L'équation est $3(x-1) - (-1)(y-2) = 0 \iff 3x + y - 5 = 0$.
Exemple 2 : Distance de $A(0, 1)$ à $(D): 3x - 4y + 2 = 0$. $d = \frac{|3(0) - 4(1) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-2|}{5} = 0,4$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b) \neq (0, 0)$ pour l'équation cartésienne.
Confondre vecteur directeur $\vec{u}(-b, a)$ et vecteur normal $\vec{n}(a, b)$.
Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 La droite dans le plan

1/4

Quel est le vecteur directeur de la droite $2x - 5y + 1 = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'équation dyal mosta9im ila 3tani 2 no9at A w B ?

7seb l'ihdatiyat dyal lmotajihah $\vec{AB}(x_B-x_A, y_B-y_A)$ .
Hada howa lmotajihah lmojawihah (vecteur directeur).
St3mel l'i7datiyat dyal no9ta $M(x, y)$ bach tkon $\vec{AM}$ colinéaire m3a $\vec{AB}$ .
7el lmo3adala $\det(\vec{AM}, \vec{AB}) = 0$ .

💡 À retenir : L'équation d'une droite est déterminée par deux points distincts.

7seb l'ihdatiyat dyal lmotajihah $\vec{AB}(x_B-x_A, y_B-y_A)$.
Hada howa lmotajihah lmojawihah (vecteur directeur).
St3mel l'i7datiyat dyal no9ta $M(x, y)$ bach tkon $\vec{AM}$ colinéaire m3a $\vec{AB}$.
7el lmo3adala $\det(\vec{AM}, \vec{AB}) = 0$.

💡 À retenir : L'équation d'une droite est déterminée par deux points distincts.

Chno hiya lfar9 bin l'équation cartésienne w l'équation réduite ?

L'équation cartésienne $ax+by+c=0$ katkteb ga3 lmosta9imat (7ta l3amoudiya).
L'équation réduite $y=mx+p$ katkteb ghir lmosta9imat li machi 3amoudiya 3la lmi7war dyal lfasila.

💡 À retenir : L'équation réduite est un cas particulier de l'équation cartésienne.

L'équation cartésienne $ax+by+c=0$ katkteb ga3 lmosta9imat (7ta l3amoudiya).
L'équation réduite $y=mx+p$ katkteb ghir lmosta9imat li machi 3amoudiya 3la lmi7war dyal lfasila.

💡 À retenir : L'équation réduite est un cas particulier de l'équation cartésienne.

Kifach n3ref wach jawj mosta9imat mtوازيyn ?

7seb lmotajihah lmojawihah dyal kol mosta9im $\vec{u}$ w $\vec{v}$ .
Chof wach mtwaziyn (colinéaires) : $x_u y_v - x_v y_u = 0$ .
Awla chof wach 3ndhom nefs l'mil (coefficient directeur) ila kanou 3la chkel $y=mx+p$ .

💡 À retenir : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

7seb lmotajihah lmojawihah dyal kol mosta9im $\vec{u}$ w $\vec{v}$.
Chof wach mtwaziyn (colinéaires) : $x_u y_v - x_v y_u = 0$.
Awla chof wach 3ndhom nefs l'mil (coefficient directeur) ila kanou 3la chkel $y=mx+p$.

💡 À retenir : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Peut-on toujours trouver une équation réduite pour une droite ?

Non. Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) a une équation de la forme $x = k$ . Dans ce cas, on ne peut pas isoler $y$ car il n'y a pas de coefficient directeur défini.

💡 À retenir : Les droites verticales n'ont pas d'équation réduite.

Non. Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) a une équation de la forme $x = k$. Dans ce cas, on ne peut pas isoler $y$ car il n'y a pas de coefficient directeur défini.

💡 À retenir : Les droites verticales n'ont pas d'équation réduite.

Comment utiliser le vecteur normal pour trouver l'équation d'une droite ?

Si $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à $(D)$ passant par $A(x_0, y_0)$ , alors l'équation est de la forme $ax + by + c = 0$ . On trouve $c$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : $a(x_0) + b(y_0) + c = 0$ .

💡 À retenir : Le vecteur normal est orthogonal au vecteur directeur.

Si $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à $(D)$ passant par $A(x_0, y_0)$, alors l'équation est de la forme $ax + by + c = 0$. On trouve $c$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : $a(x_0) + b(y_0) + c = 0$.

💡 À retenir : Le vecteur normal est orthogonal au vecteur directeur.

Quelle est la condition pour que deux droites soient perpendiculaires ?

Deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul, ou si le produit de leurs coefficients directeurs (s'ils existent) est égal à $-1$ ( $m \times m' = -1$ ).

💡 À retenir : $m \times m' = -1$ pour des droites non verticales.

Est-ce que le vecteur directeur est unique ?

Non, une droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur, alors tout vecteur $k\vec{u}$ (avec $k \neq 0$ ) est aussi un vecteur directeur.

💡 À retenir : Tous les vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires.

Non, une droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur, alors tout vecteur $k\vec{u}$ (avec $k \neq 0$) est aussi un vecteur directeur.

💡 À retenir : Tous les vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires.

Comment trouver l'intersection de deux droites ?

Il faut résoudre le système formé par les deux équations cartésiennes des droites. La solution $(x, y)$ correspond aux coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : Si le système n'a pas de solution, les droites sont parallèles.

Il faut résoudre le système formé par les deux équations cartésiennes des droites. La solution $(x, y)$ correspond aux coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : Si le système n'a pas de solution, les droites sont parallèles.

Est-ce que la distance d'un point à une droite peut être négative ?

Non, une distance est toujours positive ou nulle. C'est pour cela qu'on utilise la valeur absolue dans la formule $d = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .

💡 À retenir : La distance est une mesure de longueur.

Non, une distance est toujours positive ou nulle. C'est pour cela qu'on utilise la valeur absolue dans la formule $d = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

💡 À retenir : La distance est une mesure de longueur.

Comment passer d'une représentation paramétrique à une équation cartésienne ?

Il faut éliminer le paramètre $t$ entre les deux équations $x = x_0 + at$ et $y = y_0 + bt$ en isolant $t$ dans l'une et en le remplaçant dans l'autre.

💡 À retenir : Le paramètre $t$ représente la position sur la droite.

Il faut éliminer le paramètre $t$ entre les deux équations $x = x_0 + at$ et $y = y_0 + bt$ en isolant $t$ dans l'une et en le remplaçant dans l'autre.

💡 À retenir : Le paramètre $t$ représente la position sur la droite.

Qu'est-ce qu'un vecteur normal ?

C'est un vecteur qui est perpendiculaire à la droite. Si la droite a pour équation $ax + by + c = 0$ , alors le vecteur $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal.

💡 À retenir : Le vecteur normal est perpendiculaire au vecteur directeur.

C'est un vecteur qui est perpendiculaire à la droite. Si la droite a pour équation $ax + by + c = 0$, alors le vecteur $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal.

💡 À retenir : Le vecteur normal est perpendiculaire au vecteur directeur.

Pourquoi le coefficient directeur est-il important ?

Il indique la pente de la droite. Si $m > 0$ , la droite monte ; si $m < 0$ , elle descend ; si $m = 0$ , elle est horizontale.

💡 À retenir : Le coefficient directeur définit l'inclinaison de la droite.

Il indique la pente de la droite. Si $m > 0$, la droite monte ; si $m < 0$, elle descend ; si $m = 0$, elle est horizontale.

💡 À retenir : Le coefficient directeur définit l'inclinaison de la droite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $(D): 2x + y - 3 = 0$ et $(D'): x - 2y + 1 = 0$ . Montrer que $(D) \perp (D')$ .

Exercice 1

Soient $(D): 2x + y - 3 = 0$ et $(D'): x - 2y + 1 = 0$. Montrer que $(D) \perp (D')$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la distance du point $A(2, 3)$ à la droite $(D): 3x + 4y - 1 = 0$ .

Exercice 2

Calculer la distance du point $A(2, 3)$ à la droite $(D): 3x + 4y - 1 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(1, -2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3, 4)$ .

Exercice 3

Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(1, -2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3, 4)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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