Mathématiques · Tronc Commun — Sciences Expérimentales

Transformations du plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Les transformations du plan sont des applications qui transforment chaque point $M$ en un point unique $M'$ .

La Translation de vecteur $\vec{u}$ : $t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \vec{MM'} = \vec{u}$ .
La Symétrie axiale d'axe $(\Delta)$ : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $(\Delta)$ .
La Symétrie centrale de centre $\Omega$ : $\Omega$ est le milieu du segment $[MM']$ .
La Rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ : $M'$ est tel que $\Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha [2\pi]$ .
L'Homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ : $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$ .

Méthodes à maîtriser

Pour démontrer qu'un point $M'$ est l'image de $M$ par une translation, utiliser l'égalité vectorielle $\vec{MM'} = \vec{u}$ .
Pour construire l'image d'une figure par une homothétie, relier le centre aux sommets et multiplier les distances par $|k|$ .
Utiliser les propriétés de conservation : la translation et la rotation conservent les distances et les angles (isométries). L'homothétie ne conserve que les angles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A(1, 2)$ et $\vec{u}(3, -1)$ . Trouver $A'$ image de $A$ par $t_{\vec{u}}$ . $A'(x', y')$ tel que $\vec{AA'} = \vec{u} \implies x'-1=3$ et $y'-2=-1$ . Donc $A'(4, 1)$ . Exemple 2 : Homothétie $h$ de centre $O(0,0)$ et rapport $k=2$ . Image de $M(1, 3)$ est $M'(2, 6)$ car $\vec{OM'} = 2\vec{OM}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le rapport d'homothétie $k$ : si $k < 0$ , le point $M'$ est de l'autre côté du centre $\Omega$ .
Oublier le modulo $2\pi$ dans les angles de rotation.
Penser que l'homothétie conserve les longueurs (elle les multiplie par $|k|$ ).

L'essentiel du cours

Les transformations du plan sont des applications qui transforment chaque point $M$ en un point unique $M'$.

La Translation de vecteur $\vec{u}$ : $t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \vec{MM'} = \vec{u}$.
La Symétrie axiale d'axe $(\Delta)$ : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $(\Delta)$.
La Symétrie centrale de centre $\Omega$ : $\Omega$ est le milieu du segment $[MM']$.
La Rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ : $M'$ est tel que $\Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha [2\pi]$.
L'Homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ : $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$.

Méthodes à maîtriser

Pour démontrer qu'un point $M'$ est l'image de $M$ par une translation, utiliser l'égalité vectorielle $\vec{MM'} = \vec{u}$.
Pour construire l'image d'une figure par une homothétie, relier le centre aux sommets et multiplier les distances par $|k|$.
Utiliser les propriétés de conservation : la translation et la rotation conservent les distances et les angles (isométries). L'homothétie ne conserve que les angles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A(1, 2)$ et $\vec{u}(3, -1)$. Trouver $A'$ image de $A$ par $t_{\vec{u}}$. $A'(x', y')$ tel que $\vec{AA'} = \vec{u} \implies x'-1=3$ et $y'-2=-1$. Donc $A'(4, 1)$. Exemple 2 : Homothétie $h$ de centre $O(0,0)$ et rapport $k=2$. Image de $M(1, 3)$ est $M'(2, 6)$ car $\vec{OM'} = 2\vec{OM}$.

Erreurs fréquentes

Confondre le rapport d'homothétie $k$ : si $k < 0$, le point $M'$ est de l'autre côté du centre $\Omega$.
Oublier le modulo $2\pi$ dans les angles de rotation.
Penser que l'homothétie conserve les longueurs (elle les multiplie par $|k|$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Transformations du plan

1/4

Quelle transformation conserve les distances ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'tahawoul li 3ndi translation wla homothétie ?

La translation garde la direction et la longueur (vecteur constant).
L'homothétie change la taille de la figure selon le rapport $k$ et passe toujours par le centre.

💡 À retenir : Si les droites $(MM')$ sont parallèles, c'est une translation. Si elles sont concourantes en un point, c'est une homothétie.

La translation garde la direction et la longueur (vecteur constant).
L'homothétie change la taille de la figure selon le rapport $k$ et passe toujours par le centre.

💡 À retenir : Si les droites $(MM')$ sont parallèles, c'est une translation. Si elles sont concourantes en un point, c'est une homothétie.

Est-ce que la rotation change la taille de la figure ?

Non, la rotation est une isométrie. Elle ne change ni la taille, ni la forme, elle fait juste tourner la figure autour d'un point fixe.

💡 À retenir : La rotation conserve les distances.

Chno hiya l'far9 bin symétrie centrale o homothétie ?

La symétrie centrale est un cas particulier de l'homothétie où le rapport $k = -1$ .

💡 À retenir : $h(\Omega, -1) = S_{\Omega}$ .

La symétrie centrale est un cas particulier de l'homothétie où le rapport $k = -1$.

💡 À retenir : $h(\Omega, -1) = S_{\Omega}$.

Comment construire l'image d'un triangle par une homothétie ?

Trace les droites passant par le centre $\Omega$ et chaque sommet du triangle.
Calcule la nouvelle distance pour chaque sommet en multipliant par $|k|$ .
Place les nouveaux points et relie-les.

💡 À retenir : Le triangle image est semblable au triangle original.

Trace les droites passant par le centre $\Omega$ et chaque sommet du triangle.
Calcule la nouvelle distance pour chaque sommet en multipliant par $|k|$.
Place les nouveaux points et relie-les.

💡 À retenir : Le triangle image est semblable au triangle original.

Kifach n7seb l'i7datayat dyal l'image dyal no9ta b'rotation ?

C'est complexe au niveau Tronc Commun sans les nombres complexes. On utilise généralement la règle et le rapporteur pour construire géométriquement.

💡 À retenir : Utilise la construction géométrique (compas et rapporteur).

Est-ce que l'homothétie transforme une droite en une droite parallèle ?

Oui, l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle à la droite initiale.

💡 À retenir : L'homothétie conserve le parallélisme.

Est-ce que la symétrie axiale conserve l'orientation ?

Non, la symétrie axiale est une isométrie indirecte, elle inverse l'orientation (comme un effet miroir).

💡 À retenir : Elle ne conserve pas l'orientation.

Chno hiya l'no9ta samda (invariant point) ?

C'est le point qui ne bouge pas après la transformation. Par exemple, le centre d'une rotation est sa seule point invariant.

💡 À retenir : $f(M) = M$ .

C'est le point qui ne bouge pas après la transformation. Par exemple, le centre d'une rotation est sa seule point invariant.

💡 À retenir : $f(M) = M$.

Si k=1, c'est quoi l'homothétie ?

C'est l'identité : chaque point reste à sa place.

💡 À retenir : $h(M) = M$ .

C'est l'identité : chaque point reste à sa place.

💡 À retenir : $h(M) = M$.

Est-ce que la translation transforme un cercle en un cercle de même rayon ?

Oui, la translation conserve toutes les propriétés métriques, donc le cercle garde son rayon.

💡 À retenir : La translation est une isométrie.

Comment savoir si une transformation est une isométrie ?

Si elle conserve la distance entre deux points quelconques $A$ et $B$ , alors c'est une isométrie.

💡 À retenir : $d(f(A), f(B)) = d(A, B)$ .

Si elle conserve la distance entre deux points quelconques $A$ et $B$, alors c'est une isométrie.

💡 À retenir : $d(f(A), f(B)) = d(A, B)$.

Est-ce que l'homothétie peut transformer un segment en un segment plus petit ?

Oui, si $|k| < 1$ , le segment image est plus petit.

💡 À retenir : La longueur est multipliée par $|k|$ .

Oui, si $|k| < 1$, le segment image est plus petit.

💡 À retenir : La longueur est multipliée par $|k|$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit un triangle $ABC$ . Construire $A'B'C'$ l'image de $ABC$ par l'homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $k=2$ .

Exercice 1

Soit un triangle $ABC$. Construire $A'B'C'$ l'image de $ABC$ par l'homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $k=2$.

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Exercice 2

Soit $\vec{u}(2, 3)$ . Déterminer l'image de la droite $(D) : x + y - 1 = 0$ par la translation $t_{\vec{u}}$ .

Exercice 2

Soit $\vec{u}(2, 3)$. Déterminer l'image de la droite $(D) : x + y - 1 = 0$ par la translation $t_{\vec{u}}$.

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Exercice 3

Soit $\Omega$ un point. Montrer que la composée de deux symétries centrales de centres distincts $A$ et $B$ est une translation.

Exercice 3

Soit $\Omega$ un point. Montrer que la composée de deux symétries centrales de centres distincts $A$ et $B$ est une translation.

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