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Généralités sur les fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une fonction $f$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique réel $y = f(x)$ .
Parité :
- $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . (Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
- $f$ est impaire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ . (Symétrie par rapport à l'origine).
Variations :
- $f$ est croissante sur $I$ si $\forall a, b \in I, a < b \implies f(a) \leq f(b)$ .
- $f$ est décroissante sur $I$ si $\forall a, b \in I, a < b \implies f(a) \geq f(b)$ .
Taux de variation : $T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$ . Si $T > 0$ alors $f$ est croissante, si $T < 0$ alors $f$ est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent l'intérieur d'une racine négatif.
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Étudier les variations : Utiliser le taux de variation $T$ pour les fonctions affines ou polynômes.

Exemples corrigés

$D_f$ : $f(x) = \frac{1}{x-2}$ . $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
Parité : $f(x) = x^2$ . $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ . Donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre l'image $f(x)$ avec l'antécédent $x$ .
Ne pas préciser l'intervalle lors de l'étude des variations.

L'essentiel du cours

Définition : Une fonction $f$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique réel $y = f(x)$.
Parité :
- $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. (Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
- $f$ est impaire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. (Symétrie par rapport à l'origine).
Variations :
- $f$ est croissante sur $I$ si $\forall a, b \in I, a < b \implies f(a) \leq f(b)$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si $\forall a, b \in I, a < b \implies f(a) \geq f(b)$.
Taux de variation : $T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$. Si $T > 0$ alors $f$ est croissante, si $T < 0$ alors $f$ est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent l'intérieur d'une racine négatif.
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Étudier les variations : Utiliser le taux de variation $T$ pour les fonctions affines ou polynômes.

Exemples corrigés

$D_f$ : $f(x) = \frac{1}{x-2}$. $D_f = {x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0} = \mathbb{R} \setminus {2}$.
Parité : $f(x) = x^2$. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre l'image $f(x)$ avec l'antécédent $x$.
Ne pas préciser l'intervalle lors de l'étude des variations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Généralités sur les fonctions

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L'ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{x-5}$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi l'ensemble de définition ?

C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles on peut calculer $f(x)$ sans erreur mathématique (pas de division par zéro, pas de racine carrée d'un nombre négatif).

💡 À retenir : $D_f$ est le domaine de validité de ton calcul.

C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles on peut calculer $f(x)$ sans erreur mathématique (pas de division par zéro, pas de racine carrée d'un nombre négatif).

💡 À retenir : $D_f$ est le domaine de validité de ton calcul.

Kifach n7seb Df dial wahed l'fonction fih l'kssr ?

Katkhod l'maqam (le dénominateur).
Kat7to kaysawi sifr.
L'hal li lqiti houwa li khassk t7ydo mn $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / \text{dénominateur} \neq 0\}$ .

Katkhod l'maqam (le dénominateur).
Kat7to kaysawi sifr.
L'hal li lqiti houwa li khassk t7ydo mn $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $D_f = {x \in \mathbb{R} / \text{dénominateur} \neq 0}$.

Chno hiya l'farq bin l'image w l'antécédent ?

L'image est le résultat $y$ que tu obtiens après avoir remplacé $x$ dans la fonction. L'antécédent est la valeur de $x$ qui a permis d'obtenir ce résultat.

💡 À retenir : $y = f(x)$ ; $y$ est l'image, $x$ est l'antécédent.

L'image est le résultat $y$ que tu obtiens après avoir remplacé $x$ dans la fonction. L'antécédent est la valeur de $x$ qui a permis d'obtenir ce résultat.

💡 À retenir : $y = f(x)$ ; $y$ est l'image, $x$ est l'antécédent.

Kifach n3ref wach l'fonction zwjiya wla fardiya ?

Chouf wach $D_f$ symétrique (ila kan $x \in D_f$ khass ykon $-x \in D_f$ ).
7seb $f(-x)$ .
Ila lqiti $f(-x) = f(x)$ rah zwjiya. Ila lqiti $f(-x) = -f(x)$ rah fardiya.

💡 À retenir : La parité dépend du signe de $f(-x)$ .

Chouf wach $D_f$ symétrique (ila kan $x \in D_f$ khass ykon $-x \in D_f$).
7seb $f(-x)$.
Ila lqiti $f(-x) = f(x)$ rah zwjiya. Ila lqiti $f(-x) = -f(x)$ rah fardiya.

💡 À retenir : La parité dépend du signe de $f(-x)$.

Comment montrer qu'une fonction est croissante sur un intervalle ?

Il faut prendre deux réels $a$ et $b$ dans l'intervalle tels que $a < b$ , puis calculer le taux de variation $T = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ et montrer qu'il est positif.

💡 À retenir : Si $T > 0$ , la fonction conserve l'ordre, donc elle est croissante.

Il faut prendre deux réels $a$ et $b$ dans l'intervalle tels que $a < b$, puis calculer le taux de variation $T = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ et montrer qu'il est positif.

💡 À retenir : Si $T > 0$, la fonction conserve l'ordre, donc elle est croissante.

Est-ce qu'une fonction peut ne pas être ni paire ni impaire ?

Oui, c'est le cas le plus fréquent. Si $f(-x)$ n'est ni égal à $f(x)$ ni à $-f(x)$ , alors la fonction n'a aucune parité particulière.

💡 À retenir : La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires.

Oui, c'est le cas le plus fréquent. Si $f(-x)$ n'est ni égal à $f(x)$ ni à $-f(x)$, alors la fonction n'a aucune parité particulière.

💡 À retenir : La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires.

Pourquoi on dit que la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ?

Parce que pour chaque point $(x, y)$ , il existe un point $(-x, y)$ sur la courbe. Comme $f(x) = f(-x)$ , les hauteurs sont identiques à gauche et à droite de l'axe $(Oy)$ .

💡 À retenir : $f(x) = f(-x)$ signifie une réflexion miroir par rapport à l'axe vertical.

Parce que pour chaque point $(x, y)$, il existe un point $(-x, y)$ sur la courbe. Comme $f(x) = f(-x)$, les hauteurs sont identiques à gauche et à droite de l'axe $(Oy)$.

💡 À retenir : $f(x) = f(-x)$ signifie une réflexion miroir par rapport à l'axe vertical.

C'est quoi un extremum ?

C'est la valeur la plus grande (maximum) ou la plus petite (minimum) que la fonction peut atteindre sur un intervalle donné.

💡 À retenir : Le sommet d'une parabole est un extremum.

Wach l'fonction li fih l'kssr dima fardiya ?

Non, pas du tout. La parité dépend de la structure de toute l'expression, pas seulement de la présence d'une fraction.

💡 À retenir : Ne jamais généraliser sans calculer $f(-x)$ .

Non, pas du tout. La parité dépend de la structure de toute l'expression, pas seulement de la présence d'une fraction.

💡 À retenir : Ne jamais généraliser sans calculer $f(-x)$.

Comment lire les variations sur une courbe ?

Tu regardes la courbe de gauche à droite : si elle monte, la fonction est croissante ; si elle descend, elle est décroissante.

💡 À retenir : On lit toujours le sens de variation de gauche à droite.

Est-ce que Df peut être vide ?

Oui, si aucune valeur de $x$ ne permet de calculer $f(x)$ (par exemple $f(x) = \frac{1}{0}$ ), mais dans les exercices, $D_f$ est généralement un intervalle ou une réunion d'intervalles.

💡 À retenir : $D_f$ est toujours un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ .

Oui, si aucune valeur de $x$ ne permet de calculer $f(x)$ (par exemple $f(x) = \frac{1}{0}$), mais dans les exercices, $D_f$ est généralement un intervalle ou une réunion d'intervalles.

💡 À retenir : $D_f$ est toujours un sous-ensemble de $\mathbb{R}$.

C'est quoi le taux de variation ?

C'est le rapport qui mesure la pente de la droite reliant deux points de la courbe. Il permet de savoir si la fonction monte ou descend.

💡 À retenir : $T = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

C'est le rapport qui mesure la pente de la droite reliant deux points de la courbe. Il permet de savoir si la fonction monte ou descend.

💡 À retenir : $T = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .
Calculer le taux de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.
Calculer le taux de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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Exercice 2

Soit $g(x) = \frac{2}{x}$ pour $x \neq 0$ .

Montrer que $g$ est impaire.
Étudier les variations de $g$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $g(x) = \frac{2}{x}$ pour $x \neq 0$.

Montrer que $g$ est impaire.
Étudier les variations de $g$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $h(x) = |x|$ .

Déterminer $D_h$ .
Étudier la parité de $h$ .
Donner le tableau de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Soit $h(x) = |x|$.

Déterminer $D_h$.
Étudier la parité de $h$.
Donner le tableau de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$.

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