Calcul barycentrique dans le plan

Non, le barycentre reste le même. C'est la propriété d'homogénéité du barycentre. Si $G$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$, alors pour tout réel $k \neq 0$, $G$ est aussi le barycentre de ${(A, k\alpha), (B, k\beta)}$.

💡 À retenir : Les coefficients peuvent être simplifiés ou multipliés par un facteur commun sans modifier la position du point $G$.

Pour calculer le barycentre $G$ de trois points $A, B, C$ avec des poids $\alpha, \beta, \gamma$, tu utilises la formule des coordonnées :

1. Tu calcules la somme des poids : $S = \alpha + \beta + \gamma$ (il faut que $S \neq 0$).
2. Tu appliques : $x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{S}$ et $y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{S}$.

💡 À retenir : La somme des poids doit toujours être non nulle.

Non, pas forcément. Si les coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ sont tous positifs, alors $G$ est à l'intérieur du triangle $ABC$. Si l'un des coefficients est négatif, le point $G$ peut se trouver à l'extérieur du triangle.

💡 À retenir : La position dépend du signe des coefficients.

Oui, le barycentre de points appartenant à un plan appartient nécessairement à ce même plan. Le calcul barycentrique est une opération qui reste dans le plan défini par les points initiaux.

💡 À retenir : Le barycentre est une combinaison affine des points, il conserve l'appartenance au plan.

Pour démontrer que $G$ est aligné avec $A$ et $B$, il suffit de montrer que $\overrightarrow{AG} = k \overrightarrow{AB}$ pour un réel $k$. Si $G$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$, alors $\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{AB}$, ce qui prouve directement l'alignement.

💡 À retenir : La relation vectorielle du barycentre est la preuve directe de l'alignement.

Pour montrer que trois droites sont concourantes, tu peux montrer que le point d'intersection de deux d'entre elles est le barycentre des sommets du triangle formé par les points de base. Si ce point vérifie la relation barycentrique pour les trois sommets, alors il appartient à la troisième droite.

💡 À retenir : Le barycentre est un outil puissant pour démontrer la concourance des médianes ou des hauteurs.

Oui, tout à fait, tant que la somme des coefficients est différente de zéro. Par exemple, le barycentre de ${(A, 2), (B, -1)}$ existe et est bien défini.

💡 À retenir : La seule condition stricte est $\sum \alpha_i \neq 0$.

Non, la position géométrique du point $G$ est indépendante du repère. Le repère est seulement un outil pour calculer ses coordonnées $(x_G, y_G)$ plus facilement.

💡 À retenir : Le barycentre est une notion géométrique intrinsèque.

Si $\alpha + \beta = 0$ (pour deux points), le système n'a pas de barycentre. Il n'existe aucun point $G$ vérifiant la relation. On dit que le système n'est pas pondéré.

💡 À retenir : La somme des poids doit être non nulle pour que le barycentre existe.

C'est le cas particulier de l'isobarycentre (ou centre de gravité).

1. Tu fais la moyenne des coordonnées : $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$ et $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$.

💡 À retenir : L'isobarycentre est le centre de gravité du triangle.

Oui, pour un système pondéré donné, s'il existe, le barycentre est unique. Il n'y a qu'un seul point dans le plan qui vérifie la relation vectorielle.

💡 À retenir : L'unicité est une propriété fondamentale du barycentre.

Oui, car le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \alpha)}$ est le milieu du segment $[AB]$. Ici, $\alpha=2$, donc c'est bien le milieu.

💡 À retenir : Si les coefficients sont égaux, le barycentre est le milieu.