Mathématiques · Tronc Commun — Sciences Expérimentales

Les ensembles N, Z, D, Q et R

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Hiérarchie des ensembles : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
Définitions :
- $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$
- $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
- $\mathbb{D} = \{ \frac{a}{10^n} / a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$
- $\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} / a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \}$
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ .
Intervalles : $[a, b]$ , $]a, b[$ , $[a, +\infty[$ , etc.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'appartenance d'un nombre à un ensemble (simplifier d'abord).
Écrire un nombre sous forme de fraction irréductible.
Utiliser la valeur absolue pour résoudre des équations simples $|x| = a$ .
Opérations sur les intervalles (intersection et réunion).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $x = \frac{6}{15} \in \mathbb{D}$ . $x = \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 4 \times 10^{-1}$ . Donc $x \in \mathbb{D}$ .
Exemple 2 : Intersection de $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$ . $I \cap J = [1, 3]$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ : tout nombre décimal est rationnel, mais l'inverse est faux (ex: $1/3 \notin \mathbb{D}$ ).
Oublier que $0 \in \mathbb{N}$ .
Erreur de signe avec la valeur absolue : $|-5| = 5$ et non $-5$ .

L'essentiel du cours

Hiérarchie des ensembles : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Définitions :
- $\mathbb{N} = {0, 1, 2, ...}$
- $\mathbb{Z} = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$
- $\mathbb{D} = { \frac{a}{10^n} / a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} }$
- $\mathbb{Q} = { \frac{a}{b} / a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* }$
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.
Intervalles : $[a, b]$, $]a, b[$, $[a, +\infty[$, etc.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'appartenance d'un nombre à un ensemble (simplifier d'abord).
Écrire un nombre sous forme de fraction irréductible.
Utiliser la valeur absolue pour résoudre des équations simples $|x| = a$.
Opérations sur les intervalles (intersection et réunion).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $x = \frac{6}{15} \in \mathbb{D}$. $x = \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 4 \times 10^{-1}$. Donc $x \in \mathbb{D}$.
Exemple 2 : Intersection de $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$. $I \cap J = [1, 3]$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ : tout nombre décimal est rationnel, mais l'inverse est faux (ex: $1/3 \notin \mathbb{D}$).
Oublier que $0 \in \mathbb{N}$.
Erreur de signe avec la valeur absolue : $|-5| = 5$ et non $-5$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Les ensembles N, Z, D, Q et R

1/4

Quel est le plus petit ensemble contenant $\frac{4}{2}$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi mathbb{Z} subset mathbb{D} ?

Parce que n'importe quel entier relatif $n$ peut s'écrire sous la forme $\frac{n}{10^0}$ , donc il vérifie la définition d'un nombre décimal.

💡 À retenir : Tout entier est un décimal.

Parce que n'importe quel entier relatif $n$ peut s'écrire sous la forme $\frac{n}{10^0}$, donc il vérifie la définition d'un nombre décimal.

💡 À retenir : Tout entier est un décimal.

Est-ce que sqrt{2} est un nombre rationnel ?

Non, $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel. On dit qu'il est irrationnel car on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ . Il appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$ .

💡 À retenir : Les nombres dont le développement décimal est infini et non périodique sont irrationnels.

Non, $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel. On dit qu'il est irrationnel car on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$. Il appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$.

💡 À retenir : Les nombres dont le développement décimal est infini et non périodique sont irrationnels.

Kifach n3ref wach l3adad 3achri (décimal) wla la ?

Bach t3ref wach l3adad 3achri, khssk tktbo 3la chkl kssr $\frac{a}{b}$ w tkhlih "irréductible" (mkhztl). Ila kan l'mqam $b$ fih ghir l'3awamil 2 w 5 (ya3ni $b = 2^n \times 5^m$ ), rah 3achri. Ila kan fih chi 3adad akhor (b7al 3 wla 7), rah machi 3achri.

💡 À retenir : Un nombre est décimal si son dénominateur irréductible est de la forme $2^n \times 5^m$ .

Bach t3ref wach l3adad 3achri, khssk tktbo 3la chkl kssr $\frac{a}{b}$ w tkhlih "irréductible" (mkhztl). Ila kan l'mqam $b$ fih ghir l'3awamil 2 w 5 (ya3ni $b = 2^n \times 5^m$), rah 3achri. Ila kan fih chi 3adad akhor (b7al 3 wla 7), rah machi 3achri.

💡 À retenir : Un nombre est décimal si son dénominateur irréductible est de la forme $2^n \times 5^m$.

C'est quoi la différence entre mathbb{D} et mathbb{Q} ?

$\mathbb{D}$ (décimaux) contient les nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule (ex: $0,25 = 1/4$ ).
$\mathbb{Q}$ (rationnels) contient tous les nombres qui peuvent s'écrire en fraction, même ceux qui ont une infinité de chiffres après la virgule mais avec une période (ex: $1/3 = 0,333...$ ).

💡 À retenir : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ , mais $\mathbb{Q}$ est plus grand car il contient les fractions périodiques.

$\mathbb{D}$ (décimaux) contient les nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule (ex: $0,25 = 1/4$).
$\mathbb{Q}$ (rationnels) contient tous les nombres qui peuvent s'écrire en fraction, même ceux qui ont une infinité de chiffres après la virgule mais avec une période (ex: $1/3 = 0,333...$).

💡 À retenir : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$, mais $\mathbb{Q}$ est plus grand car il contient les fractions périodiques.

Chno hiya l'valeur absolue dyal -3,5 ?

L'valeur absolue dyal $-3,5$ hiya $3,5$ . L'valeur absolue kat7yd l'ichara ssaliba.

💡 À retenir : $|x| \geq 0$ toujours.

L'valeur absolue dyal $-3,5$ hiya $3,5$. L'valeur absolue kat7yd l'ichara ssaliba.

💡 À retenir : $|x| \geq 0$ toujours.

Comment simplifier |x-2| si x < 2 ?

Si $x < 2$ , alors $x - 2 < 0$ . Donc, d'après la définition de la valeur absolue, $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$ .

💡 À retenir : Pour enlever les barres de valeur absolue, on regarde le signe de l'intérieur.

Si $x < 2$, alors $x - 2 < 0$. Donc, d'après la définition de la valeur absolue, $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$.

💡 À retenir : Pour enlever les barres de valeur absolue, on regarde le signe de l'intérieur.

Wach 0 kayn f mathbb{N} ?

Oui, $0$ kayn f $\mathbb{N}$ . L'ensemble $\mathbb{N}$ kaybda mn $0, 1, 2, 3...$

💡 À retenir : $0 \in \mathbb{N}$ .

Oui, $0$ kayn f $\mathbb{N}$. L'ensemble $\mathbb{N}$ kaybda mn $0, 1, 2, 3...$

💡 À retenir : $0 \in \mathbb{N}$.

Est-ce que tout nombre réel est rationnel ?

Non, il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, comme $\sqrt{2}$ , $\pi$ ou $\sqrt{3}$ . On les appelle les nombres irrationnels.

💡 À retenir : $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{ \text{irrationnels} \}$ .

Non, il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, comme $\sqrt{2}$, $\pi$ ou $\sqrt{3}$. On les appelle les nombres irrationnels.

💡 À retenir : $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup { \text{irrationnels} }$.

Kifach n7seb l'intersection dyal [1, 4] et [2, 6] ?

L'intersection hiya l'blassa li mchrouka bin l'majmo3at bjouj.

Kanrsmou l'axe.
Kan choufou fin kaytla9aw.
Hna kaytla9aw f $[2, 4]$ .

💡 À retenir : L'intersection est le plus grand des débuts et le plus petit des fins.

L'intersection hiya l'blassa li mchrouka bin l'majmo3at bjouj.

Kanrsmou l'axe.
Kan choufou fin kaytla9aw.
Hna kaytla9aw f $[2, 4]$.

💡 À retenir : L'intersection est le plus grand des débuts et le plus petit des fins.

Est-ce que frac{1}{6} est un nombre décimal ?

Non. Si on simplifie la fraction, on trouve $1/6$ . Le dénominateur est $6 = 2 \times 3$ . Comme il y a un facteur $3$ , ce n'est pas un nombre décimal.

💡 À retenir : Si le dénominateur irréductible contient un facteur premier autre que 2 ou 5, le nombre n'est pas décimal.

Non. Si on simplifie la fraction, on trouve $1/6$. Le dénominateur est $6 = 2 \times 3$. Comme il y a un facteur $3$, ce n'est pas un nombre décimal.

💡 À retenir : Si le dénominateur irréductible contient un facteur premier autre que 2 ou 5, le nombre n'est pas décimal.

Chno lfrq bin l'union et l'intersection ?

L'union ( $\cup$ ) hiya tjam3i kolchi (li kayn hna w li kayn hih). L'intersection ( $\cap$ ) hiya ghir l'blassa li mchrouka binathom.

💡 À retenir : Union = tout, Intersection = commun.

L'union ($\cup$) hiya tjam3i kolchi (li kayn hna w li kayn hih). L'intersection ($\cap$) hiya ghir l'blassa li mchrouka binathom.

💡 À retenir : Union = tout, Intersection = commun.

Est-ce que mathbb{N} est inclus dans mathbb{Q} ?

Oui, car $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ .

💡 À retenir : La hiérarchie est stricte.

Oui, car $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

💡 À retenir : La hiérarchie est stricte.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $x = \frac{12}{3} + \sqrt{25} - \frac{1}{2}$ .

Montrer que $x \in \mathbb{D}$ .
Déterminer l'ensemble le plus petit contenant $x$ .

Exercice 1

Soit $x = \frac{12}{3} + \sqrt{25} - \frac{1}{2}$.

Montrer que $x \in \mathbb{D}$.
Déterminer l'ensemble le plus petit contenant $x$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $I = [-3, 2]$ et $J = [0, 5]$ . Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ .

Exercice 2

Soient $I = [-3, 2]$ et $J = [0, 5]$. Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|x - 1| = 3$ .

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|x - 1| = 3$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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