Mathématiques · Tronc Commun — Sciences Expérimentales

L’ordre dans l’ensemble R

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ordre et addition : Si $a \leq b$ , alors $a+c \leq b+c$ .
Ordre et multiplication :
- Si $c > 0$ , alors $a \leq b \implies ac \leq bc$ .
- Si $c < 0$ , alors $a \leq b \implies ac \geq bc$ (changement de signe).
Inverse et carré : Si $0 < a \leq b$ , alors $\frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ et $a^2 \leq b^2$ .
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ . Propriété : $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$ (pour $a > 0$ ).
Intervalles : $[a, b]$ , $]a, b[$ , $[a, +\infty[$ , etc.

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence : Pour comparer $a$ et $b$ , on calcule $a-b$ et on étudie son signe.
Encadrement : Pour encadrer $x+y$ ou $xy$ , on utilise les propriétés de l'ordre en respectant les signes des bornes.
Utilisation de la valeur absolue : Pour résoudre $|x-a| \leq r$ , on transforme en $-r \leq x-a \leq r$ .

Exemples corrigés

Comparaison : Comparer $x^2$ et $x$ pour $x \in [0, 1]$ . On calcule $x^2 - x = x(x-1)$ . Comme $x \geq 0$ et $x-1 \leq 0$ , alors $x^2-x \leq 0$ , donc $x^2 \leq x$ .
Encadrement : Si $2 \leq x \leq 3$ et $-1 \leq y \leq 1$ , alors $2+(-1) \leq x+y \leq 3+1 \implies 1 \leq x+y \leq 4$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Croire que si $a^2 \leq b^2$ alors $a \leq b$ (c'est faux si $a$ ou $b$ sont négatifs).
Confusion entre intersection ( $\cap$ ) et réunion ( $\cup$ ).

L'essentiel du cours

Ordre et addition : Si $a \leq b$, alors $a+c \leq b+c$.
Ordre et multiplication :
- Si $c > 0$, alors $a \leq b \implies ac \leq bc$.
- Si $c < 0$, alors $a \leq b \implies ac \geq bc$ (changement de signe).
Inverse et carré : Si $0 < a \leq b$, alors $\frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ et $a^2 \leq b^2$.
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$. Propriété : $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$ (pour $a > 0$).
Intervalles : $[a, b]$, $]a, b[$, $[a, +\infty[$, etc.

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence : Pour comparer $a$ et $b$, on calcule $a-b$ et on étudie son signe.
Encadrement : Pour encadrer $x+y$ ou $xy$, on utilise les propriétés de l'ordre en respectant les signes des bornes.
Utilisation de la valeur absolue : Pour résoudre $|x-a| \leq r$, on transforme en $-r \leq x-a \leq r$.

Exemples corrigés

Comparaison : Comparer $x^2$ et $x$ pour $x \in [0, 1]$. On calcule $x^2 - x = x(x-1)$. Comme $x \geq 0$ et $x-1 \leq 0$, alors $x^2-x \leq 0$, donc $x^2 \leq x$.
Encadrement : Si $2 \leq x \leq 3$ et $-1 \leq y \leq 1$, alors $2+(-1) \leq x+y \leq 3+1 \implies 1 \leq x+y \leq 4$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Croire que si $a^2 \leq b^2$ alors $a \leq b$ (c'est faux si $a$ ou $b$ sont négatifs).
Confusion entre intersection ($\cap$) et réunion ($\cup$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 L’ordre dans l’ensemble R

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Si $x \leq y$ , alors $x-5 \leq y-5$ est :

Si $x \leq y$, alors $x-5 \leq y-5$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que si a < b, alors a^2 < b^2 est toujours vrai ?

Non, c'est faux. Cela dépend du signe de $a$ et $b$ .

Si $0 \leq a < b$ , alors $a^2 < b^2$ est vrai.
Si $a < b \leq 0$ , alors $a^2 > b^2$ (exemple : $-3 < -2$ , mais $(-3)^2 = 9$ et $(-2)^2 = 4$ ).
Si $a < 0 < b$ , on ne peut pas conclure sans comparer les valeurs absolues.

💡 À retenir : La fonction carré est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ mais strictement décroissante sur $]-\infty, 0]$ .

Non, c'est faux. Cela dépend du signe de $a$ et $b$.

Si $0 \leq a < b$, alors $a^2 < b^2$ est vrai.
Si $a < b \leq 0$, alors $a^2 > b^2$ (exemple : $-3 < -2$, mais $(-3)^2 = 9$ et $(-2)^2 = 4$).
Si $a < 0 < b$, on ne peut pas conclure sans comparer les valeurs absolues.

💡 À retenir : La fonction carré est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ mais strictement décroissante sur $]-\infty, 0]$.

kifach n7seb l'intersection dial joj majalat?

Bach t7seb l'intersection ( $I \cap J$ ) :

Rsm khatt modarradj (droite graduée).
Lon l'intervalle $I$ b'lon, w $J$ b'lon akhor.
Chof fin kaytla9aw (fin kayn l'lon mchtarek).
Dak l'partie li mchtarka hiya l'intersection.

💡 À retenir : L'intersection contient les éléments qui appartiennent aux deux intervalles en même temps.

Bach t7seb l'intersection ($I \cap J$) :

Rsm khatt modarradj (droite graduée).
Lon l'intervalle $I$ b'lon, w $J$ b'lon akhor.
Chof fin kaytla9aw (fin kayn l'lon mchtarek).
Dak l'partie li mchtarka hiya l'intersection.

💡 À retenir : L'intersection contient les éléments qui appartiennent aux deux intervalles en même temps.

Est-ce que |x+y| = |x| + |y| ?

En général, non. C'est l'inégalité triangulaire : $|x+y| \leq |x| + |y|$ . L'égalité n'est vraie que si $x$ et $y$ sont de même signe (ou si l'un est nul).

💡 À retenir : $|x+y| \leq |x| + |y|$ est toujours vrai.

En général, non. C'est l'inégalité triangulaire : $|x+y| \leq |x| + |y|$. L'égalité n'est vraie que si $x$ et $y$ sont de même signe (ou si l'un est nul).

💡 À retenir : $|x+y| \leq |x| + |y|$ est toujours vrai.

chno hiya l'valeur absolue b'darija?

L'valeur absolue hiya lmasafa dial 3adad 3la sifr f lkhatt lmodarradj.

Ila kan l3adad mojab, kyb9a kifma howa.
Ila kan salib, kankhdo lmo9abil dialo bach ywali mojab.

💡 À retenir : $|x|$ est toujours positif ou nul.

L'valeur absolue hiya lmasafa dial 3adad 3la sifr f lkhatt lmodarradj.

Ila kan l3adad mojab, kyb9a kifma howa.
Ila kan salib, kankhdo lmo9abil dialo bach ywali mojab.

💡 À retenir : $|x|$ est toujours positif ou nul.

Comment encadrer 1/x si 2 leq x leq 5 ?

On vérifie que $x$ est strictement positif ( $2 > 0$ ).
La fonction inverse $x \mapsto 1/x$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ .
Donc, on inverse les bornes : $1/5 \leq 1/x \leq 1/2$ .

💡 À retenir : Quand on passe à l'inverse, si les nombres sont de même signe, on change l'ordre des bornes.

On vérifie que $x$ est strictement positif ($2 > 0$).
La fonction inverse $x \mapsto 1/x$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$.
Donc, on inverse les bornes : $1/5 \leq 1/x \leq 1/2$.

💡 À retenir : Quand on passe à l'inverse, si les nombres sont de même signe, on change l'ordre des bornes.

wach momkin n9smo l'inégalités?

Non, on ne divise jamais des inégalités.

Si tu as $a \leq b$ et $c \leq d$ , tu ne peux pas dire que $a/c \leq b/d$ .
Il faut toujours transformer la division en multiplication par l'inverse : $a/c = a \times (1/c)$ .

💡 À retenir : Ne jamais diviser membre à membre.

Non, on ne divise jamais des inégalités.

Si tu as $a \leq b$ et $c \leq d$, tu ne peux pas dire que $a/c \leq b/d$.
Il faut toujours transformer la division en multiplication par l'inverse : $a/c = a \times (1/c)$.

💡 À retenir : Ne jamais diviser membre à membre.

kifach n3ref wach x majour b'chi 3adad?

Khass t9elleb 3la 3adad $M$ tkon $x \leq M$ lkol $x$ f lmoujmo3a.
Ila l9iti $x \leq 5$ dima, 5 hiya majour.

💡 À retenir : Un ensemble peut avoir une infinité de majorants.

Khass t9elleb 3la 3adad $M$ tkon $x \leq M$ lkol $x$ f lmoujmo3a.
Ila l9iti $x \leq 5$ dima, 5 hiya majour.

💡 À retenir : Un ensemble peut avoir une infinité de majorants.

Est-ce que x^2 geq 0 est toujours vrai ?

Oui, pour tout nombre réel $x$ , le carré est toujours positif ou nul.

Si $x > 0$ , $x^2 > 0$ .
Si $x < 0$ , $x^2 > 0$ .
Si $x = 0$ , $x^2 = 0$ .

💡 À retenir : $x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Oui, pour tout nombre réel $x$, le carré est toujours positif ou nul.

Si $x > 0$, $x^2 > 0$.
Si $x < 0$, $x^2 > 0$.
Si $x = 0$, $x^2 = 0$.

💡 À retenir : $x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Comment résoudre |x| < 3 ?

La définition de $|x| < r$ (avec $r > 0$ ) est $-r < x < r$ .
Ici, $-3 < x < 3$ .
L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-3, 3[$ .

💡 À retenir : $|x| < r$ signifie que la distance de $x$ à 0 est inférieure à $r$ .

La définition de $|x| < r$ (avec $r > 0$) est $-r < x < r$.
Ici, $-3 < x < 3$.
L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-3, 3[$.

💡 À retenir : $|x| < r$ signifie que la distance de $x$ à 0 est inférieure à $r$.

Est-ce que l'union de deux intervalles est toujours un intervalle ?

Non, pas forcément.

Si les intervalles sont disjoints, comme $[1, 2] \cup [5, 6]$ , ce n'est pas un seul intervalle.
Si les intervalles se chevauchent ou se touchent, comme $[1, 3] \cup [2, 4]$ , alors c'est un intervalle $[1, 4]$ .

💡 À retenir : L'union est un intervalle seulement si les ensembles sont "connectés".

Non, pas forcément.

Si les intervalles sont disjoints, comme $[1, 2] \cup [5, 6]$, ce n'est pas un seul intervalle.
Si les intervalles se chevauchent ou se touchent, comme $[1, 3] \cup [2, 4]$, alors c'est un intervalle $[1, 4]$.

💡 À retenir : L'union est un intervalle seulement si les ensembles sont "connectés".

wach n9der n9aren a et b ila kano salibin?

Oui, bien sûr.

Tu peux calculer $a-b$ et voir son signe.
Ou utiliser la règle : si $a < b < 0$ , alors $|a| > |b|$ .

💡 À retenir : Plus un nombre négatif est "loin" de zéro, plus il est petit.

Oui, bien sûr.

Tu peux calculer $a-b$ et voir son signe.
Ou utiliser la règle : si $a < b < 0$, alors $|a| > |b|$.

💡 À retenir : Plus un nombre négatif est "loin" de zéro, plus il est petit.

Pourquoi on dit que l'ordre est compatible avec l'addition ?

Parce que ajouter le même nombre aux deux côtés d'une inégalité ne change pas le sens de celle-ci.

Si $a \leq b$ , alors $a+c \leq b+c$ .
C'est comme une balance : si un côté est plus lourd, il le restera si on ajoute le même poids des deux côtés.

💡 À retenir : L'addition ne modifie jamais le sens de l'inégalité.

Parce que ajouter le même nombre aux deux côtés d'une inégalité ne change pas le sens de celle-ci.

Si $a \leq b$, alors $a+c \leq b+c$.
C'est comme une balance : si un côté est plus lourd, il le restera si on ajoute le même poids des deux côtés.

💡 À retenir : L'addition ne modifie jamais le sens de l'inégalité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $1 \leq x \leq 2$ et $-3 \leq y \leq -1$ . Encadrer $x+y$ , $x-y$ et $xy$ .

Exercice 1

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $1 \leq x \leq 2$ et $-3 \leq y \leq -1$. Encadrer $x+y$, $x-y$ et $xy$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $|2x - 4| \leq 6$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $|2x - 4| \leq 6$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $x \in [2, 3]$ . Montrer que $\frac{1}{3} \leq \frac{x-1}{x} \leq \frac{1}{2}$ .

Exercice 3

Soit $x \in [2, 3]$. Montrer que $\frac{1}{3} \leq \frac{x-1}{x} \leq \frac{1}{2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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