Mathématiques · Tronc Commun — Sciences Expérimentales

Projection dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $(\Delta)$ une droite et $(\Delta')$ une droite sécante à $(\Delta)$ (la direction). La projection d'un point $M$ sur $(\Delta)$ parallèlement à $(\Delta')$ est le point $M'$ intersection de $(\Delta)$ et de la droite passant par $M$ et parallèle à $(\Delta')$ .

Si $M \in (\Delta)$ , alors $M' = M$ (point invariant).
La projection orthogonale est un cas particulier où $(\Delta') \perp (\Delta)$ .
Propriété fondamentale : La projection conserve le milieu. Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors $I'$ (projection de $I$ ) est le milieu de $[A'B']$ .

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Tracer la parallèle à la direction passant par le point donné.
Utiliser Thalès : Si $M'$ et $N'$ sont les projections de $M$ et $N$ sur $(\Delta)$ parallèlement à $(\Delta')$ , alors $\frac{AM'}{AN'} = \frac{AM}{AN}$ (si les droites sont concourantes).
Démontrer un milieu : Utiliser la conservation du milieu par projection.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $ABC$ un triangle. Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$ . Réponse : $J$ est la projection de $I$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ . Comme $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors $J$ est le milieu de $[AC]$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la direction de projection avec la droite de projection.
Oublier que si le point est sur la droite, il est son propre projeté.
Mal appliquer Thalès en oubliant les conditions de parallélisme.

L'essentiel du cours

Si $M \in (\Delta)$, alors $M' = M$ (point invariant).
La projection orthogonale est un cas particulier où $(\Delta') \perp (\Delta)$.
Propriété fondamentale : La projection conserve le milieu. Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $I'$ (projection de $I$) est le milieu de $[A'B']$.

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Tracer la parallèle à la direction passant par le point donné.
Utiliser Thalès : Si $M'$ et $N'$ sont les projections de $M$ et $N$ sur $(\Delta)$ parallèlement à $(\Delta')$, alors $\frac{AM'}{AN'} = \frac{AM}{AN}$ (si les droites sont concourantes).
Démontrer un milieu : Utiliser la conservation du milieu par projection.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $ABC$ un triangle. Soit $I$ le milieu de $[AB]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$. Réponse : $J$ est la projection de $I$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$. Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $J$ est le milieu de $[AC]$.

Erreurs fréquentes

Confondre la direction de projection avec la droite de projection.
Oublier que si le point est sur la droite, il est son propre projeté.
Mal appliquer Thalès en oubliant les conditions de parallélisme.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Projection dans le plan

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La projection d'un point $M$ appartenant à l'axe $(\Delta)$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre projection orthogonale et projection parallèle ?

La projection parallèle utilise une direction quelconque (une droite sécante à l'axe).
La projection orthogonale est un cas particulier où la direction est perpendiculaire à l'axe.

💡 À retenir : L'orthogonale est un cas spécial de la parallèle.

Kifach n7seb l-masafa bin les points ila 3ndna isqat ?

Tu dois utiliser le théorème de Thalès.
Si $M'$ et $N'$ sont les projetés de $M$ et $N$ sur $(\Delta)$ , alors le rapport des distances est conservé : $\frac{M'N'}{MN} = k$ (constant).

💡 À retenir : L'isqat kay7afez 3la t-tanasob (Thalès).

Tu dois utiliser le théorème de Thalès.
Si $M'$ et $N'$ sont les projetés de $M$ et $N$ sur $(\Delta)$, alors le rapport des distances est conservé : $\frac{M'N'}{MN} = k$ (constant).

💡 À retenir : L'isqat kay7afez 3la t-tanasob (Thalès).

Est-ce que l'image d'un segment est toujours un segment ?

Oui, si le segment n'est pas parallèle à la direction de projection.
Si le segment est parallèle à la direction, son image est un seul point.

💡 À retenir : L'image d'un segment est soit un segment, soit un point.

Chno hiya "no9ta samida" ?

C'est un point qui ne bouge pas après l'isqat.
Cela arrive quand le point se trouve déjà sur la droite de projection $(\Delta)$ .

💡 À retenir : Si $M \in (\Delta)$ , alors $p(M) = M$ .

C'est un point qui ne bouge pas après l'isqat.
Cela arrive quand le point se trouve déjà sur la droite de projection $(\Delta)$.

💡 À retenir : Si $M \in (\Delta)$, alors $p(M) = M$.

Kifach n-biyen belli wahed l-no9ta hiya montasaf 9it3a b l-isqat ?

Identifie la projection utilisée.
Montre que les points de départ sont alignés et que l'un est le milieu.
Conclus par la propriété : "La projection conserve le milieu".

💡 À retenir : L'isqat kay7afez 3la l-montasaf.

Est-ce que la projection conserve les angles ?

Non, en général, la projection ne conserve pas les mesures des angles, sauf dans des cas très particuliers.

💡 À retenir : La projection conserve le milieu et l'alignement, pas les angles.

Est-ce que l'image d'une droite est toujours une droite ?

Si la droite n'est pas parallèle à la direction de projection, son image est une droite.
Si la droite est parallèle à la direction, son image est un point (celui où elle coupe l'axe).

💡 À retenir : L'image d'une droite est soit une droite, soit un point.

Wach l-isqat kay7afez 3la l-masafa ?

Non, la projection ne conserve pas les distances (sauf si la direction est perpendiculaire et que le segment est parallèle à l'axe).

💡 À retenir : La projection ne conserve pas les longueurs.

Si j'ai trois points alignés, est-ce que leurs projetés sont alignés ?

Oui, la projection conserve l'alignement des points.

💡 À retenir : Si $A, B, C$ sont alignés, alors $A', B', C'$ sont alignés.

Oui, la projection conserve l'alignement des points.

💡 À retenir : Si $A, B, C$ sont alignés, alors $A', B', C'$ sont alignés.

Comment choisir la direction de projection ?

Elle est généralement donnée dans l'énoncé. Si elle n'est pas donnée, on cherche une droite qui permet de simplifier le problème (souvent parallèle à un côté d'un triangle).

💡 À retenir : La direction est imposée par l'énoncé.

Est-ce que la projection est une transformation du plan ?

Oui, c'est une application du plan dans une droite. (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : C'est une application qui transforme tout le plan en une droite.

Est-ce que je peux utiliser la réciproque de Thalès avec l'isqat ?

Oui, si tu as des rapports égaux, tu peux prouver que les droites de projection sont parallèles.

💡 À retenir : Thalès et sa réciproque sont tes meilleurs outils.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle. Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$ .

Montrer que $J$ est le milieu de $[AC]$ .
Soit $K$ un point de $[BC]$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $K$ coupe $(AC)$ en $L$ . Montrer que $\frac{AL}{AC} = \frac{BK}{BC}$ .

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle. Soit $I$ le milieu de $[AB]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$.

Montrer que $J$ est le milieu de $[AC]$.
Soit $K$ un point de $[BC]$. La parallèle à $(AB)$ passant par $K$ coupe $(AC)$ en $L$. Montrer que $\frac{AL}{AC} = \frac{BK}{BC}$.

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Exercice 2

Soit $(\Delta)$ une droite et $A, B$ deux points n'appartenant pas à $(\Delta)$ . Soient $A'$ et $B'$ leurs projetés sur $(\Delta)$ parallèlement à une direction $(\Delta')$ . Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , montrer que $I'$ , projeté de $I$ , est le milieu de $[A'B']$ .

Exercice 2

Soit $(\Delta)$ une droite et $A, B$ deux points n'appartenant pas à $(\Delta)$. Soient $A'$ et $B'$ leurs projetés sur $(\Delta)$ parallèlement à une direction $(\Delta')$. Si $I$ est le milieu de $[AB]$, montrer que $I'$, projeté de $I$, est le milieu de $[A'B']$.

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Exercice 3

Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB) // (CD)$ . Soit $M$ un point sur $[AD]$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $[BC]$ en $N$ . Montrer que $\frac{AM}{AD} = \frac{BN}{BC}$ .

Exercice 3

Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB) // (CD)$. Soit $M$ un point sur $[AD]$. La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $[BC]$ en $N$. Montrer que $\frac{AM}{AD} = \frac{BN}{BC}$.

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