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Equations et inéquations du premier et second degré à une inconnue

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équation du 1er degré : De la forme $ax + b = 0$ ( $a \neq 0$ ). La solution est $x = -\frac{b}{a}$ .
Équation du 2nd degré : De la forme $ax^2 + bx + c = 0$ $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ $a \neq = 0$ ). On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
- Si $\Delta = 0$ : une solution unique $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .
- Si $\Delta < 0$ : pas de solution dans $\mathbb{R}$ .
Inéquations : On utilise le tableau de signe. Pour $ax^2 + bx + c$ , le signe est celui de $a$ à l'extérieur des racines et le signe opposé à l'intérieur.

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation produit nul : $A \times B = 0 \iff A=0$ ou $B=0$ .
Résoudre une équation avec fraction : toujours déterminer le domaine de définition (dénominateur $\neq 0$ ).
Utiliser le tableau de signe pour les inéquations produit ou quotient.

Exemples corrigés

Équation : $x^2 - 5x + 6 = 0$ . $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$ . $\Delta > 0$ , donc $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$ . $S = \{2, 3\}$ .
Inéquation : $x^2 - 4 \geq 0$ . $(x-2)(x+2) \geq 0$ . Racines : $-2$ et $2$ . Signe de $a=1$ (positif) à l'extérieur. $S = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le domaine de définition avant de résoudre une équation fractionnaire.
Se tromper dans le signe de $\Delta$ ou oublier le $4ac$ .
Confondre le signe de $a$ dans le tableau de signe d'un trinôme.

L'essentiel du cours

Équation du 1er degré : De la forme $ax + b = 0$ ($a \neq 0$). La solution est $x = -\frac{b}{a}$.
Équation du 2nd degré : De la forme $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$). On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une solution unique $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ : pas de solution dans $\mathbb{R}$.
Inéquations : On utilise le tableau de signe. Pour $ax^2 + bx + c$, le signe est celui de $a$ à l'extérieur des racines et le signe opposé à l'intérieur.

Méthodes à maîtriser

Résoudre une équation produit nul : $A \times B = 0 \iff A=0$ ou $B=0$.
Résoudre une équation avec fraction : toujours déterminer le domaine de définition (dénominateur $\neq 0$).
Utiliser le tableau de signe pour les inéquations produit ou quotient.

Exemples corrigés

Équation : $x^2 - 5x + 6 = 0$. $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. $\Delta > 0$, donc $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$. $S = {2, 3}$.
Inéquation : $x^2 - 4 \geq 0$. $(x-2)(x+2) \geq 0$. Racines : $-2$ et $2$. Signe de $a=1$ (positif) à l'extérieur. $S = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le domaine de définition avant de résoudre une équation fractionnaire.
Se tromper dans le signe de $\Delta$ ou oublier le $4ac$.
Confondre le signe de $a$ dans le tableau de signe d'un trinôme.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Equations et inéquations du premier et second degré à une inconnue

1/4

Quelle est la solution de $3x - 6 = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'équation 3ndha 7ouloul wla la?

Pour une équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ , tu dois calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Si $\Delta > 0$ , il y a deux solutions réelles.
Si $\Delta = 0$ , il y a une seule solution.
Si $\Delta < 0$ , il n'y a aucune solution dans $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Le signe de $\Delta$ est la clé pour connaître le nombre de solutions.

Pour une équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$, tu dois calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Si $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles.
Si $\Delta = 0$, il y a une seule solution.
Si $\Delta < 0$, il n'y a aucune solution dans $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : Le signe de $\Delta$ est la clé pour connaître le nombre de solutions.

Chno hiya l'étape li katji mor ma kanl9a l7ouloul f l'inéquation?

Une fois les racines trouvées, tu dois impérativement dresser un tableau de signe.

Place les racines sur la ligne des $x$ dans l'ordre croissant.
Détermine le signe de l'expression sur chaque intervalle.
Choisis les intervalles qui correspondent au signe demandé par l'inéquation ( $\leq 0$ ou $\geq 0$ ).

💡 À retenir : Le tableau de signe est indispensable pour ne pas se tromper sur les intervalles.

Une fois les racines trouvées, tu dois impérativement dresser un tableau de signe.

Place les racines sur la ligne des $x$ dans l'ordre croissant.
Détermine le signe de l'expression sur chaque intervalle.
Choisis les intervalles qui correspondent au signe demandé par l'inéquation ($\leq 0$ ou $\geq 0$).

💡 À retenir : Le tableau de signe est indispensable pour ne pas se tromper sur les intervalles.

Wach momkin nkhdem b delta f l'équation dyal 1er degré?

Non, le discriminant $\Delta$ est réservé exclusivement aux équations du second degré ( $ax^2 + bx + c = 0$ ). Pour une équation du premier degré ( $ax + b = 0$ ), il suffit d'isoler $x$ en déplaçant $b$ puis en divisant par $a$ .

💡 À retenir : Utilise $\Delta$ uniquement quand il y a un $x^2$ .

Non, le discriminant $\Delta$ est réservé exclusivement aux équations du second degré ($ax^2 + bx + c = 0$). Pour une équation du premier degré ($ax + b = 0$), il suffit d'isoler $x$ en déplaçant $b$ puis en divisant par $a$.

💡 À retenir : Utilise $\Delta$ uniquement quand il y a un $x^2$.

Comment gérer le dénominateur dans une équation rationnelle ?

Avant toute résolution, tu dois définir l'ensemble de définition $D$ .

Pose la condition : le dénominateur doit être différent de zéro.
Résous l'équation $Dénominateur = 0$ pour trouver les valeurs interdites.
Résous l'équation normalement.
Compare tes solutions avec les valeurs interdites.

💡 À retenir : Une solution égale à une valeur interdite doit être rejetée.

Avant toute résolution, tu dois définir l'ensemble de définition $D$.

Pose la condition : le dénominateur doit être différent de zéro.
Résous l'équation $Dénominateur = 0$ pour trouver les valeurs interdites.
Résous l'équation normalement.
Compare tes solutions avec les valeurs interdites.

💡 À retenir : Une solution égale à une valeur interdite doit être rejetée.

Kifach n3mel factorisation l'expression ax^2 + bx + c ila 3ndi l7ouloul x1 et x2?

Si ton équation a des racines $x_1$ et $x_2$ , alors la forme factorisée est : $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Si elle n'a qu'une racine $x_0$ , la forme est $a(x - x_0)^2$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais le coefficient $a$ devant la parenthèse.

Si ton équation a des racines $x_1$ et $x_2$, alors la forme factorisée est : $a(x - x_1)(x - x_2)$. Si elle n'a qu'une racine $x_0$, la forme est $a(x - x_0)^2$.

💡 À retenir : N'oublie jamais le coefficient $a$ devant la parenthèse.

Est-ce que l'ordre des racines dans le tableau de signe est important ?

Oui, absolument. Les valeurs sur la ligne des $x$ doivent être rangées de la plus petite à la plus grande (de $-\infty$ vers $+\infty$ ). Si tu inverses les racines, ton tableau sera faux et tes intervalles seront erronés.

💡 À retenir : Toujours ranger les racines par ordre croissant.

Oui, absolument. Les valeurs sur la ligne des $x$ doivent être rangées de la plus petite à la plus grande (de $-\infty$ vers $+\infty$). Si tu inverses les racines, ton tableau sera faux et tes intervalles seront erronés.

💡 À retenir : Toujours ranger les racines par ordre croissant.

Pourquoi on dit "à l'extérieur des racines le signe de a" ?

C'est une propriété du trinôme. Entre les racines, le signe est opposé à celui de $a$ , et à l'extérieur (avant la plus petite et après la plus grande), le signe est le même que celui de $a$ .

💡 À retenir : $a$ est le nombre devant $x^2$ .

C'est une propriété du trinôme. Entre les racines, le signe est opposé à celui de $a$, et à l'extérieur (avant la plus petite et après la plus grande), le signe est le même que celui de $a$.

💡 À retenir : $a$ est le nombre devant $x^2$.

Comment résoudre (x-1)(x+3) < 0 ?

Identifie les racines : $x=1$ et $x=-3$ .
Le produit est un trinôme $x^2 + 2x - 3$ avec $a=1$ (positif).
Le signe est négatif entre les racines.
Donc $S = ]-3, 1[$ .

💡 À retenir : Pour un produit, cherche les racines et utilise le signe de $a$ .

Identifie les racines : $x=1$ et $x=-3$.
Le produit est un trinôme $x^2 + 2x - 3$ avec $a=1$ (positif).
Le signe est négatif entre les racines.
Donc $S = ]-3, 1[$.

💡 À retenir : Pour un produit, cherche les racines et utilise le signe de $a$.

Est-ce que je dois toujours mettre les crochets fermés dans l'inéquation ?

Cela dépend du symbole :

Si tu as $\leq$ ou $\geq$ , les crochets sont fermés vers la racine (car elle est incluse).
Si tu as $<$ ou $>$ , les crochets sont ouverts (car la racine est exclue).

💡 À retenir : $\leq$ et $\geq$ incluent les solutions, $<$ et $>$ les excluent.

Cela dépend du symbole :

Si tu as $\leq$ ou $\geq$, les crochets sont fermés vers la racine (car elle est incluse).
Si tu as $<$ ou $>$, les crochets sont ouverts (car la racine est exclue).

💡 À retenir : $\leq$ et $\geq$ incluent les solutions, $<$ et $>$ les excluent.

Comment faire si Delta = 0 ?

Si $\Delta = 0$ , il y a une racine double $x_0 = -b/2a$ . Dans le tableau de signe, le trinôme garde le même signe que $a$ partout, sauf en $x_0$ où il s'annule.

💡 À retenir : Une racine double ne change pas le signe du trinôme.

Si $\Delta = 0$, il y a une racine double $x_0 = -b/2a$. Dans le tableau de signe, le trinôme garde le même signe que $a$ partout, sauf en $x_0$ où il s'annule.

💡 À retenir : Une racine double ne change pas le signe du trinôme.

Wach l'ensemble de définition kayser f l'inéquation?

Oui, si tu as une inéquation avec une fraction, tu dois exclure les valeurs qui annulent le dénominateur de ton ensemble de solutions final, même si elles semblent "valides" dans le tableau de signe.

💡 À retenir : Les valeurs interdites sont toujours exclues.

Est-ce que je peux multiplier par x des deux côtés d'une inéquation ?

Attention ! Tu ne peux multiplier par $x$ que si tu connais son signe. Si $x$ est négatif, le sens de l'inégalité change. Il est préférable de tout passer d'un côté et de faire un tableau de signe.