💡 À retenir : Dima 9lb 3la l-majhoul li s-s-hel f t-t-3zal (li ma3ndouch mo3amil).
Est-ce que le point d'intersection appartient toujours aux deux droites ?
Oui, par définition. Si le couple $(x, y)$ est solution du système, il vérifie simultanément les deux équations des droites. Graphiquement, cela signifie que le point appartient à la droite $(D)$ et à la droite $(D')$.
💡 À retenir : La solution du système est le point commun aux deux droites.
chno hiya l-far9 bin l-mo3adala o l-motaraji7a?
L-mo3adala (équation) katkon fiha "=" o l-hal dyalha kikon bointa (couple).
L-motaraji7a (inéquation) katkon fiha "<", ">", "$\leq$" aw "$\geq$" o l-hal dyalha kikon manti9a (demi-plan).
💡 À retenir : L-mo3adala k-t-3tina bointa, l-motaraji7a k-t-3tina blassa kbira (demi-plan).
Pourquoi le déterminant doit-il être non nul ?
Si $\Delta = 0$, les droites sont parallèles. Si elles sont strictement parallèles, il n'y a pas de point d'intersection (pas de solution). Si elles sont confondues, il y a une infinité de points. Pour avoir une intersection unique, il faut que les pentes soient différentes, ce qui revient à $\Delta \neq 0$.
💡 À retenir : $\Delta \neq 0$ garantit que les droites ne sont pas parallèles.
wach momkin n-l9a 7al f r-r-som bla ma n-7seb?
Oui, c'est la méthode graphique.
Trace les deux droites dans un repère orthonormé.
Repère le point où elles se croisent.
Lis les coordonnées $(x, y)$ de ce point.
💡 À retenir : La méthode graphique est utile pour visualiser, mais le calcul algébrique est plus précis.
kifach n-mthl l-hal dyal motaraji7a f l-m-stawa?
Tracer la droite d'équation $ax + by + c = 0$.
Choisir un point qui n'est pas sur la droite (souvent $(0,0)$).
Tester si ce point vérifie l'inéquation.
Hachurer la partie qui ne vérifie pas l'inéquation.
💡 À retenir : La zone non hachurée est l'ensemble des solutions.
Que faire si le système a une infinité de solutions ?
Cela signifie que les deux équations représentent la même droite. Dans ce cas, on exprime $y$ en fonction de $x$ dans l'équation : $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. L'ensemble des solutions est l'ensemble des couples $(x, -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b})$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
💡 À retenir : On écrit $S = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 / ax + by = c}$.
Est-ce que l'ordre des inconnues change le résultat ?
Non, tant que tu restes cohérent. Si tu notes le couple $(x, y)$, le premier nombre est toujours pour $x$ et le deuxième pour $y$. Si tu inverses, tu dois être rigoureux dans toute la résolution.
💡 À retenir : Le couple $(x, y)$ est ordonné, ne pas confondre $x$ et $y$.
Comment vérifier mon résultat à l'examen ?
Prends les valeurs de $x$ et $y$ trouvées et remplace-les dans les deux équations initiales du système. Si tu obtiens les bonnes égalités (ex: $5=5$), ton résultat est correct.
💡 À retenir : La vérification prend 30 secondes et garantit tes points.
wach n-9dr n-khdm b l-m-thod dyal l-m-7addida (déterminant) f l-fard?
Oui, c'est une méthode très rapide appelée "règle de Cramer". Si $\Delta \neq 0$, alors $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$ et $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$.
💡 À retenir : C'est une méthode puissante, mais assure-toi de bien calculer les déterminants.
Est-ce qu'une inéquation peut ne pas avoir de solution ?
Oui, si l'inéquation est contradictoire, comme $0x + 0y + 5 \leq 0$, ce qui est faux. Dans ce cas, l'ensemble des solutions est vide : $S = \emptyset$.
💡 À retenir : Vérifie toujours la cohérence de l'inéquation finale.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :
$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \ 2x - y = 7 \end{cases}$
Un système de deux équations à deux inconnues (x,y) s'écrit sous la forme :
(S):{ax+by=ca′x+b′y=c′
Méthode algébrique : Substitution ou Combinaison linéaire.
Déterminant : Δ=aa′bb′=ab′−a′b.
Si Δ=0, le système admet un couple unique (x,y).
Si Δ=0, le système n'a pas de solution ou une infinité.
Inéquations : L'ensemble des solutions d'une inéquation ax+by+c≥0 est un demi-plan.
Méthodes à maîtriser
Résoudre par combinaison : Multiplier les équations pour éliminer une inconnue en additionnant.
Résoudre par substitution : Isoler x ou y dans une équation et remplacer dans l'autre.
Interprétation graphique : Tracer les deux droites (D):ax+by=c et (D′):a′x+b′y=c′. Le point d'intersection est la solution.
Exemples corrigés
Résoudre : {2x+y=5x−y=1
Additionnons les deux : (2x+x)+(y−y)=5+1⇒3x=6⇒x=2.
On remplace dans x−y=1 : 2−y=1⇒y=1.
Solution : S={(2,1)}.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier le couple (x,y) dans les deux équations.
Confondre le signe lors de la multiplication par un nombre négatif dans une inéquation.
Tracer une droite sans calculer au moins deux points.
Quel est le déterminant du système {x+2y=33x+4y=5 ?
Pour savoir si un système a une solution unique, on calcule le déterminant Δ=ab′−a′b.
Si Δ=0, alors le système possède un couple unique (x,y).
Si Δ=0, le système est soit impossible (droites parallèles distinctes), soit indéterminé (droites confondues).
💡 À retenir : Le déterminant est la clé pour connaître la nature des solutions avant même de commencer les calculs.
Oui, par définition. Si le couple (x,y) est solution du système, il vérifie simultanément les deux équations des droites. Graphiquement, cela signifie que le point appartient à la droite (D) et à la droite (D′).
💡 À retenir : La solution du système est le point commun aux deux droites.
L-mo3adala (équation) katkon fiha "=" o l-hal dyalha kikon bointa (couple).
L-motaraji7a (inéquation) katkon fiha "<", ">", "≤" aw "≥" o l-hal dyalha kikon manti9a (demi-plan).
💡 À retenir : L-mo3adala k-t-3tina bointa, l-motaraji7a k-t-3tina blassa kbira (demi-plan).
Si Δ=0, les droites sont parallèles. Si elles sont strictement parallèles, il n'y a pas de point d'intersection (pas de solution). Si elles sont confondues, il y a une infinité de points. Pour avoir une intersection unique, il faut que les pentes soient différentes, ce qui revient à Δ=0.
💡 À retenir : Δ=0 garantit que les droites ne sont pas parallèles.
Oui, c'est la méthode graphique.
Trace les deux droites dans un repère orthonormé.
Repère le point où elles se croisent.
Lis les coordonnées (x,y) de ce point.
💡 À retenir : La méthode graphique est utile pour visualiser, mais le calcul algébrique est plus précis.
Tracer la droite d'équation ax+by+c=0.
Choisir un point qui n'est pas sur la droite (souvent (0,0)).
Tester si ce point vérifie l'inéquation.
Hachurer la partie qui ne vérifie pas l'inéquation.
💡 À retenir : La zone non hachurée est l'ensemble des solutions.
Cela signifie que les deux équations représentent la même droite. Dans ce cas, on exprime y en fonction de x dans l'équation : y=−bax+bc. L'ensemble des solutions est l'ensemble des couples (x,−bax+bc) pour tout x∈R.
💡 À retenir : On écrit S={(x,y)∈R2/ax+by=c}.
Non, tant que tu restes cohérent. Si tu notes le couple (x,y), le premier nombre est toujours pour x et le deuxième pour y. Si tu inverses, tu dois être rigoureux dans toute la résolution.
💡 À retenir : Le couple (x,y) est ordonné, ne pas confondre x et y.
Prends les valeurs de x et y trouvées et remplace-les dans les deux équations initiales du système. Si tu obtiens les bonnes égalités (ex: 5=5), ton résultat est correct.
💡 À retenir : La vérification prend 30 secondes et garantit tes points.
Oui, c'est une méthode très rapide appelée "règle de Cramer". Si Δ=0, alors x=ΔΔx et y=ΔΔy.
💡 À retenir : C'est une méthode puissante, mais assure-toi de bien calculer les déterminants.
Oui, si l'inéquation est contradictoire, comme 0x+0y+5≤0, ce qui est faux. Dans ce cas, l'ensemble des solutions est vide : S=∅.
💡 À retenir : Vérifie toujours la cohérence de l'inéquation finale.
Exercice 1
Résoudre dans R2 le système :
{3x+2y=72x−y=7
Exercice 2
Déterminer graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation : x−y+1≥0.